2023届江苏省南通市区、启东市、通州区高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf

《2023届江苏省南通市区、启东市、通州区高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届江苏省南通市区、启东市、通州区高三上学期期末联考数学试题(解析版).pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 1 页 共 19 页 2023 届江苏省南通市区、启东市、通州区高三上学期期末联考数学试题 一、单选题 1已知集合2N13,3AxxBx x，则AB（）A13xx B03xx C 0,1 D1【答案】C【分析】先化简集合 A、B，再利用交集定义即可求得AB.【详解】N130,1,2Axx，2333Bx xxx，则 0,1,2330,1ABxx 故选：C.23icos60isin60（）Ai B2 C13i D3i【答案】D【分析】利用复数乘法规则即可求得该式的值.【详解】1333133iiii3i222222，故选：D.3已知向量2,3,1abm，若|2|2|abab，则m（）A32 B3

2、2 C23 D23【答案】A【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示，列出关于 m 的方程，解之即可求得 m的值.【详解】由2,3,1abm，可得222,1,222,5abmabm，第 2 页 共 19 页 又|2|2|abab，则22|2|2|abab，即22(22)1(22)25mm，解之得32m 故选：A.4已知一个正四棱台形油槽可以装煤油200L，若它的上下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度约为（）A115cm B79cm C56cm D26cm【答案】B【分析】设出深度，利用棱台的体积计算公式即可求解.【详解】设深度为h，由棱台的体积计算公式可得：1360016

3、002400200 10003h，解得：79h，故选：B.5南通地铁 1 号线从文峰站到南通大学站共有 6 个站点，甲乙二人同时从文峰站上车，准备在世纪大道站图书馆站和南通大学站中的某个站点下车，若他们在这 3 个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲乙二人在不同站点下车的概率为（）A14 B13 C23 D34【答案】C【分析】首先求出两人在相同站点下的概率，然后可得答案.【详解】两人在相同站点下的概率为：1113333，所以甲乙二人在不同站点下车的概率为12133P ，故选：C.6已知定义在 R 上的函数 f x的图象连续不间断，有下列四个命题：甲：f x是奇函数；乙：f x的图象关于点2,

4、0对称；丙:220f；:6f xf x丁 如果有且仅有一个假命题，则该命题是（）A甲 B乙 C丙 D丁 第 3 页 共 19 页【答案】D【分析】先假设四个命题全正确，再利用这些条件推出矛盾，进而得到唯一的假命题.【详解】甲正确时，=f xfx；乙正确时，=4f xfx 则=4f xfxfx，则周期4T，则由 22ff，22ff，可得 20f，则 2220ff，故丙正确；丁正确时，则 f x的周期为 6，这与上面得到的周期4T 互相矛盾.由四个命题有且仅有一个假命题，则丁错.故选：D.7已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，若MOF的重心G

5、在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A2 2 B7 C6 D5【答案】B【分析】依次求出点M、G的坐标，然后由点G在双曲线上可建立方程求解.【详解】不妨设M在byxa，令00,M x y，则有0000byxayaxcb，解得200axcabyc，所以2,aabMcc，2,33acabcGc，因为点G在双曲线上，所以22222199accaac，解得7e，故选：B.8已知1.11e,1 ln e 12abc，则,a b c的大小关系为（）Acab Babc Cacb Dcba【答案】C【分析】利用作差法结合对数的运算性质分析判断即可.第 4 页 共 19 页【详解】解：11e1ln e 1ln e

6、 1ln eln e 1ln,22e 1cb，e1,0,e 1cb cb 1.1111ee2a ab 21.11.11.11111ee 11 ln e 111e 1e 1e 10eeeecae ,caacb 故选：C.二、多选题 9下列说法正确的是（）A数据1,3,3,5,5,5,7,9,11的众数和第 60 百分位数都为 5 B样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C若随机变量服从二项分布38,4B，则方差26D D若随机变量X服从正态分布0,1N，则11222PXP X【答案】AC【分析】利用众数和第 60 百分位数的定义判断 A，利用相关系数的意义判断 B，利用方差的性质

7、判断 C，利用正态曲线的性质判断 D 即可求解.【详解】数据中的众数为5,960%5.4，第 6 个数据为5，选项 A 正确；r越大成对样本数据的线性相关程度也越强，选项 B 错误；233138,8,2264442BDDD，选项 C 正确；11110,1,2 12222XNPXPXP X，选项 D 错误，故选：AC 10已知函数 sin3cos(0)f xxx 的最小正周期为，则（）A2 B点5,06是 f x图象的一个对称中心 C f x在 11,3 12上单调递减 第 5 页 共 19 页 D将 f x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，可得到cos 26yx的图象【答案】AB【分析】将

8、 sin3cos(0)f xxx 化简，由其周期求得，判断 A;将56x 代入解析式验证，判断 B；根据正弦函数的单调性判断 C；根据正弦函数图象的平移变换判断 D.【详解】由题意知 2sin3cos2sin,23f xxxxT,A 正确.552sin 2,2sin03633f xxf，故 f x关于5,06对称，B 正确.令32 22,Z232kxk k，则511,Z1212kxkk，当0k 时，511,Z1212xk，令2 22,Z232kxk k，则5,Z1212kxkk，当0k 时，5,Z1212xk，即 f x在5,12 12上单调递增，在5 11,12 12上单调递减，而51231

9、2，故 f x在 11,3 12上不单调递减，C 错误；将 f x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到3fx的图象,而2sin 22sin 22sin 2333362fxxxx 2cos 2cos 266xx，D 错，故选：AB 11过直线:25lxy上一点P作圆22:1O xy的切线,切点分别为,A B,则（）A若直线ABl,则5AB BcosAPB的最小值为35 C直线AB过定点2 1,5 5 D线段AB的中点D的轨迹长度为510【答案】BC【分析】根据题意设出点P坐标,求出直线AB方程,若ABl,则,斜率相等,进而求出直线方程,进而求第 6 页 共 19 页 出弦长即可;根据直线A

10、B方程,求出定点即可;由,APBAOB进而转化为与cosAOQ的关系,即圆心到直线的距离与半径的比值的最值,根据直线AB过的定点即可得出选项B正误;由定点,弦AB中点,圆心所形成的角为直角,即可判断线段AB的中点的轨迹,进而求出长度即可.【详解】解:由题知,设00,P x y,因为过点P作圆22:1O xy的切线,切点分别为,A B,所以,A B在以OP为直径的圆上,即,A B在222200020222xyxyxy上,因为,A B是切点,所以,A B在221xy上,故,A B是两圆的交点,故两圆方程相减可得,A B所在的直线方程,化简可得00:1AB x xy y,因为P在l上,所以0025x

11、y,故直线00:521AB x xxy;关于选项 A,若ABl,则00252xx ,解得:02,x 所以:210ABxy,故圆心O到AB的距离1,5d 所以14 52 15,55AB 故选项 A 错误;由00:521AB x xxy,即0251xxyy,联立2051xyy,第 7 页 共 19 页 解得:2515xy,所以AB过定点2 1,5 5M 故选项 C 正确;因为,APBAOB 所以coscos cos,APBAOBAOB 由于AB过定点2 1,5 5M 所以O到AB距离max5,5dOM 记AB中点为Q,则OMOQ,coscosAPBAOB cos2AOQ 22cos1AOQ 212

12、cosAOQ 21 2OQr 131255 ,故选项 B 正确;因为D为线段AB的中点,且M在AB上,所以2MDO,所以D点轨迹为以OM为直径的圆,所以5,210OMr 周长为52,5r 故选项 D 错误.故选:BC 12 已知在三棱锥PABC中，PAPB，ABBC，1PAPB，ABBC，设二面角PABC的大小为，M是PC的中点，当变化时，下列说法正确的是（）第 8 页 共 19 页 A存在，使得PABC B存在，使得PC 平面PAB C点M在某个球面上运动 D当2时，三棱锥PABC外接球的体积为43【答案】ACD【分析】取AB、AC中点D、E，连接PD，DE，PE，ME，BE，即可得到PDE

13、即为二面角PABC，求出线段BC、AB、DE、AC、PD的长度，假设PABC，求出的值，即可判断A，假设PC 平面PAB，即可得到ABPB，推出矛盾，即可判断 B，由12ME 为定值，即可判断 C，结合 A 可得1EPEAECEB，即可求出三棱锥外接球的半径，从而求出体积，即可判断 D.【详解】解：对于 A：取AB、AC中点D、E，连接PD，DE，PE，ME，BE，因为1PAPB，所以PDAB，又ABBC，/DE BC，所以DEAB，所以PDE即为二面角PABC的平面角，又PAPB，ABBC，所以222BCABPBPA，所以1222DEBC，则222ACABBC，1222PDAB，若PABC，

14、又PAPB，PBBCB，,PB BC 平面PBC，则PA 平面PBC，因为PC 平面PBC，所以PAPC，所以112PEAC，则222PDDEPE，即2PDE，即2，故 A 正确；对于 B：若PC 平面PAB，AB平面PAB，则PCAB，又ABBC，PCBCC，,PC BC 平面PBC，所以AB平面PBC，PB 平面PBC，ABPB，在ABP中ABPB与PAPB矛盾，故 B 错误；对于 C：1122MEPA，M在半径为12的球面上，故 C 正确；第 9 页 共 19 页 对于 D，当2时，1PE，所以1EPEAECEB，E为三棱锥PABC外接球的球心，外接球的半径为1，所以三棱锥PABC外接球

15、的体积344 133V，故 D 正确.故选：ACD.三、填空题 13522xx的展开式中x项的系数是_.【答案】80【分析】根据二项式的特点，先将分解52522(2)(1)xxxx，然后分两部分求解，最后求和即可得出结果.【详解】因为52522(2)(1)xxxx，5(2)x展开式第1r 项55155C(2)C(2)rrrrrrrTxx 5(1)x展开式第1p项55155C(1)CppppppTxx 当5,4rp时，55455C(2)C160 xx；当4,5rp时，44555C(2)C80 xx，所以展开式中x项为1608080 xxx，则x的系数为80，故答案为：80.14若抛物线212xy

16、上的一点P到坐标原点O的距离为2 7，则点P到该抛物线焦点的距离为_.【答案】5【分析】设出点P的坐标，利用OP的长度计算出0y，再利用抛物线的定义即可求解.【详解】设点00,P x y，由题意可知：2220000122 7OPxyyy，解得：02y，所以02352pPFy，故答案为：5.15已知直线ykxb是曲线ln 1yx与2lnyx的公切线，则kb_.【答案】3 ln2 第 10 页 共 19 页【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算kb.【详解】设曲线ln 1yx上切点11,ln 1A xx，11yx，切线斜率111kx，切线方程1111ln 11yx

17、xxx，即11111ln 111xyxxxx 同理，设曲线2lnyx上切点22,2lnB xx，1yx，切线斜率21kx，切线方程22212lnyxxxx，即2211lnyxxx，所以121121111ln(1)1ln1xxxxxx，解得121212xx，所以2k，1 ln2b ，3 ln2kb.故答案为：3 ln2.16已知数列 na满足：21110,nnnnnaaaaa，则首项1a的取值范围是:_当165a 时，记(1)1nnnba，且202311iikbk，则整数k _.【答案】(0,2)5【分析】根据递推关系可得：112na，利用2122aaa即可得到1a的取值范围；然后得到11111

18、1nnnaaa，利用裂项相消即可求得2023125162023iib，进而求解.【详解】由211nnnaaa，可得1111nnnnaaaa，所以112na，即212a，则2122aaa，21,2a，所以10,2a，211nnnaaa，2111111111nnnnnaaaaa，所以111111nnnaaa(1)1nnnba，所以122023123202311111111bbbaaaa 11223202220232023111111125116aaaaaaaa，因为112na，所以120232aa，则有20236,25a，第 11 页 共 19 页 所以122023145,3bbb，则5k ，故答

19、案为：0,2;5.四、解答题 17已知数列 na满足：111,234nnaaan(1)求证：31nan是等比数列；(2)设数列 na的前n项和为nS，求nS【答案】(1)证明见解析；(2)nS313 212nnn.【分析】（1）利用等比数列定义即可证明31nan是等比数列；（2）利用分组求和法即可求得数列 na的前n项和nS.【详解】（1）由1234nnaan，得132231nnanan，由11a，可得13 1 130a ，所以310nan，所以1311231nnanan，所以31nan是等比数列，且首项为 3 公比为 2.（2）由（1）得，1313 2nnan，即13 231nnan 所以1

20、213 1 22225 831nnSn 231123122nnn 313 212nnn 18记ABC中，角,A B C所对边分别为,a b c，且3cos2sin sinCAB(1)求sinsin sinCAB的最小值；(2)若,76Aa，求c及ABC的面积.【答案】(1)2 33 第 12 页 共 19 页(2)5，15 34 【分析】（1）先利用题给条件求得tan tan3AB，再利用均值定理即可求得sinsin sinCAB的最小值；（2）先求得3 217sin,cos1414BB，再利用正弦定理即可求得c及ABC的面积.【详解】（1）因为3cos2sin sinCAB，所以3 cos

21、cossin sin2sin sinABABAB，即sin sin3cos cosABAB，因为cos cos0AB，所以tan tan3AB，所以sinsin coscos sintantansin sinsin sintan tanCABABABABABAB 11112 32tantantantan3ABAB，（当且仅当tantan3AB时等号成立.）所以sinsin sinCAB的最小值为2 33.（2）因为6A，由（1）得，3tan3 3tanBA，因为0,B，所以3 217sin,cos1414BB，所以315 7sinsinsinsincos62214CBABBB，由正弦定理sin

22、sinacAC，得5 7sin14751sin2aCcA，所以ABC的面积为113 2115 3sin7522144acB .19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA 平面ABCD，平面PAB 平面PBC.(1)证明：ABBC；(2)若,PAAB M为PC上的点，当PC与平面ABM所成角的正弦值最大时，求PMPC的值.【答案】(1)证明见解析 第 13 页 共 19 页(2)12PMPC 【分析】（1）由面面垂直的性质证得AE平面PBC，过点 A作AEPB可证得AEBC，再由线面垂直的性质证得PABC，进而证得BC平面PAB，进而证得ABBC.（2）建立空间直角坐标系，设01P

23、MPC，分类讨论01与1时，分别计算线面角的正弦值比较即可.【详解】（1）如图，过点 A 作AEPB，垂足为E，平面PAB 平面PBC，平面PAB 平面PBCPB，AE 平面,PAB AEPB，AE平面PBC 又BC平面PBC，AEBC.又PA 平面ABCD，BC平面ABCD,PABC.又AEPAA，PA、AE平面PAB，BC平面PAB，又AB平面PAB，ABBC.（2）由（1）知，以 A 为坐标原点，,AB AD AP分别为,x y z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，底面ABCD是菱形，且ABBC，底面ABCD为正方形，第 14 页 共 19 页 设1PAAB，则1,0,0,1,1,

24、0,0,0,1BCP，所以1,0,0,1,1,1ABPC，设,01PMPC，则,1AMAPPM.设平面ABM的一个法向量为,nx y z，则00(1)00nABn ABxxyznAMn AM 当01时，取0,1,1n.设PC与平面ABM所成角为，则22111sincos3221311n PC，当12时，sin的最大值为63.当1时，取0,0,1n，则|1|36sin|cos,|333 1n PC，综述：PC与平面ABM所成角的正弦值最大时为63，此时12PMPC.202022 年卡塔尔世界杯决赛于当地时间 12 月 18 日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7:5战胜法国，夺得冠军.根据比赛规

25、则：淘汰赛阶段常规比赛时间为 90 分钟，若在 90 分钟结束时进球数持平，需进行 30 分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：两队各派 5 名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；如果在踢满 5 轮前，一队的进球数已多于另一队踢满 5 轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第 4 轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0，则不需要再踢第 5 轮）；若前 5 轮“点球大战中双方进球数持平，则从第 6 轮起，双方每轮各派 1 人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.(1)假设踢点球

26、的球员等可能地随机选择球门的左中右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左中右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战中，求门将在前 4 次扑出点球的个数X的分布列期望；(2)现有甲乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0:0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.第 15 页 共 19 页 设甲队每名队员射进点球的概率均为34，乙队每名队员射进点球的概率均为23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（i）若甲队先踢点球，求在第 3 轮结束时，甲队踢进了 3 个球并获得冠军的概率；（ii）求“点球大战”在第 7

27、 轮结束，且乙队以6:5获得冠军的概率.【答案】(1)分布列见解析，45(2)（i）164；（ii）131152 【分析】（1）根据题意可得门将每次扑中点球的概率131355p，且14,5XB，进而根据二项分布求解即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【详解】（1）根据题意门将每次扑中点球的概率131355p，X的可能取值为0,1,2,3,4，且14,5XB，004113442562560C(1);1C(1);625625P XppP Xpp 222334496162C(1);3C1;625625P XppP Xpp 440414C(1)625P Xpp；所以X的概率

28、分布为 X 0 1 2 3 4 P X 256625 256625 96625 16625 1625 数学期望 14455E X.（2）（i）甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了 3 个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为3332114364.（ii）点球在第 7 轮结束，且乙队以6:5获胜，所以前 5 轮战平，且第 6 轮战平，第 7 轮乙队1:0胜甲队 当前 5 轮两队为时，第 16 页 共 19 页 乙队胜出的概率为4444553121321225CC443343432304 当前 5 轮两队为5:5时，乙队胜出的概率为5555553211121CC434343230

29、4 ，因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为25113230423041152.21已知椭圆2222:1(10)xyCabab 的左右焦点分别为12,F F，过点2F作直线l（与x轴不重合）交C于,M N两点，且当M为C的上顶点时，1MNF的周长为 8，面积为8 37(1)求C的方程；(2)若A是C的右顶点，设直线,l AM AN的斜率分别为12,k k k，求证：1211kkk为定值.【答案】(1)2214xy;(2)证明见解析.【分析】（1）利用三角形周长求出 a，当M为C的上顶点时，求出直线 l方程，进而求出点N的坐标，利用三角形面积求出 b 作答.（2）设出直线 l的方程，与椭圆方

30、程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算推理作答.【详解】（1）依题意，1MNF的周长111221|48MFMNNFMFMFNFNFa，解得2a，则椭圆222:14xyCb，令椭圆C的半焦距为 c，当M为C的上顶点时，直线l为：1xycb，由222114xycbxyb消去 y得22(4)80cxcx，解得0 x 或284cxc，于是得点2228(4)(,)44cb cNcc，又1MNF的面积为8 37，则221(4)8 32 247b cc bc，整理得273(4)bcc，则有22743(4)ccc，解得23c 或2413c，有21b 或24813b，因为01b，则21b，所以椭圆C的方程为2

31、214xy.（2）由（1）知，2(3,0)F，(2,0)A，直线l的方程为(3)yk x，第 17 页 共 19 页 由22(3)44yk xxy消去y得2222(41)8 31240kxk xk，设1122,M x yN xy，则221212228 3124,4141kkxxx xkk，而1122122121,2(3)(3)222ykkxyk xxxxkx，12121212121212222(23)(4 31111()333(3)xxx xxxkkkkxxx xxx 222222222(23)4 31331248 341411248 34141kkkkkkkkk2222221 2(124)(

32、23)8 34 3(1(84 3)(41)41)124)3 8 33(kkkkkkkk，所以1211()84 3kkk为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 22已知函数 1ln1a xf xxx(1)当1a 时，求 f x的单调区间；(2)若 f x有两个零点1212,x xxx，求a的范围，并证明12110lnlnxaxa【答案】(1)单调增区间为0,23和23,，单调减区间为23,1和1,23(2)a的范围是0,，证明见解析 【分析】（1）1a 求出导函数 f

33、x，令0fx、0fx解不等式可得答案；（2）当0a、0a 讨论不符合题意；当0a 时求出 fx得 f x在0,1和1,均单调递增，当1x 时，由 0eaf、31e0af得 f x在1,上有一个零点；当01x，312e0,e0e1aaaaff，f x在0,1上有一个零点，所以a的范围是0,，可得11111ln2xxaax，22211ln2xxaax，再由1211lnlnxaxa1211122axx，0f x 得 f x的第 18 页 共 19 页 两个零点12,x x，再利用基本不等式得121120 xx可得答案.【详解】（1）f x的定义域为 0,11,，当1a 时，1ln1xf xxx，导函

34、数 2241(1)xxfxx x，令0fx，得023x或23x；令 0fx，得2323x 且1x；所以 f x的单调增区间为0,23和23,，单调减区间为23,1和1,23；（2）当0a 时，f x只有 1 个零点，不符合题意；当0a时，若01x，则 0f x；若1x，则 0f x，不符合题意，所以0a.当0a 时，2120(1)afxxx，所以 f x在0,1和1,均单调递增.当1x 时，由 2e0e1aaaf，31313131313131e131 e1e1elnee1e1aaaaaaaaaaf 31313131313e1e12e20e1e1aaaaaaaa，所以 f x在1,上有一个零点；

35、当01x，同理 312e0,e0e1aaaaff，所以 f x在0,1上有一个零点，所以a的范围是0,，因为 f x的两个零点为12,x x，所以1111ln1a xxx，即1112ln1axxax，所以11111ln2xxaax，同理，22211ln2xxaax，所以1212121211111112lnln222xxxaxaaxaxaxx，若 0f x，即1ln01a xxx，第 19 页 共 19 页 则 1111lnln0111aa xxxf xxxx ，所以 f x的两个零点12,x x互为倒数，即211xx，所以11211112xxxx（等号不成立），所以121120 xx，所以12121212111111120lnln222xxxaxaaxaxaxx，所以得证.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用导数判断出两个零点12,x x互为倒数，本题考查了学生的分析问题、解决问题以及运算能力，属于难题.