2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期12月月考数学试卷含详解.pdf

《2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期12月月考数学试卷含详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期12月月考数学试卷含详解.pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第1页（共14页）2021-2022 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（12 月份）一、填空题（本大题共有 10 题，只要求直接写结果）1直线的倾斜角范围是 2直线 l1：ax+y+10 与直线 l2：axy+10 垂直，则实数 a 3已知直线 l1：xy+20，l2：3x+y50，则直线 l1与 l2的夹角是 4过点 P（2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 5一条光线经过点 A（2，3）射到直线 x+y+10 上，被反射后经过点 B（1，1），则入射光线所在直线的方程为 6 与圆 C1：（x1）2+（y2）24，C2：（x+1）2+（y2）24 同时相切的直线

2、有 条 7若方程 x+y6+3k0 仅表示一条直线，则实数 k 的取值范围是 8瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知ABC的顶点 A（4，0），B（0，4），其欧拉线方程为 xy+20，则顶点 C 的坐标可以是 9直线系 A：（x3）cos+ysin2 中，能组成的正三角形的面积等于 10在直角坐标平面 xoy 中，已知两定点 F1（1，0）与 F2（1，0）位于动直线 l：ax+by+c0 的同侧，设集合 Pl|点 F1与点 F2到直线 l 的距离之差等于 1，Q（x

3、，y）|x2+y21，yR，记 S（x，y）|（x，y）l，lP，T（x，y）|（x，y）QS则由 T 中的所有点所组成的图形的面积是 二、选择题（本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，）11已知下列命题：直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 tan；直线的斜率为 tan，则直线的倾斜角为；直线的倾斜角为，则 sin0 上述命题中不正确的是（）A B C D 12“a0”是直线（a+1）x+（a1）y+2a0（aR）与圆 x2+y24 相交的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 第2页（共14页）C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 13已知实数 x1，x2

4、，y1，y2满足 x12+y124，x22+y224，x1x2+y1y20，则|x1+y14|+|x2+y24|的最大值是（）A6 B8 C6 D12 14 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），定 义为点 P1，P2之间的极距，已知点 P 是直线 l：2x+y90 上的动点，已知点 Q 是圆 O：x2+y25 上的动点，则 P，Q 两点之间距离最小时，其极距为（）A1 B C D 三、解答题：（本大题共有 4 题，解答下列各题必项写出必要的步骤）15已知点 A（1，3）、B（3，1）、C（1，0），求：（1）BC 边上的中线所在直线的方程；（2）BC

5、边上的高所在的直线的方程；（3）三角形 ABC 的面积 16疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过 200 米、k 米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北 45方向，以点 O 为坐标原点，l1、l2为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点 M（100，400）和平安检查点（即点 N（400，700）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点（1）求出 k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线 l：x

6、y+10000）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由 第3页（共14页）17已知点 P（x0，y0），直线 l：Ax+By+C0，且点 P 不在直线 l 上（1）若点 P（x0，y0）关于直线 xy+30 的对称点为 Q（x，y），求 Q 点坐标；（2）求证：点 P 到直线 l 的距离 d；（3）当点 P（x0，y0）在函数 yf（x）图象上时，（2）中的公式变为 d，请参考该公式，求|x+3|+|t3+|（x，tR）的最小值 18 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过T 外一点 P 引它的两条切线，切点分别为 M，N，若 60MPN180，则称 P

7、 为T 的环绕点（1）当O 半径为 1 时，在 P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，O 的环绕点是 直线 y2x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若线段 AB 上存在的环绕点，求 b的取值范围；（2）T 的半径为 1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形 H，若在图形 H 上存在T 的环绕点，直接写出 t 的取值范围 第4页（共14页）2021-2022 学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（12 月份）参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 10 题，只要求直接写结果）1【解答】解：直线的倾斜角的范围是0，），故答案为：0，）

8、2【解答】解：直线 l1：ax+y+10 与直线 l2：axy+10 垂直，aa+1（1）0，解得 a1 故答案为：1 3【解答】解：因为直线 l1的斜率为，故倾斜角为 60，直线 l2的斜率为，倾斜角为 120，故两直线的夹角为 60，即两直线的夹角为，故答案为 4【解答】解：若直线的截距不为 0，可设为，把 P（2，3）代入，得，a5，直线方程为 x+y50 若直线的截距为 0，可设为 ykx，把 P（2，3）代入，得 32k，k，直线方程为 3x2y0 所求直线方程为 x+y50，或 3x2y0 故答案为 x+y50，或 3x2y0 5【解答】解：设点 A（2，3）关于直线 l 的对称点

9、为 A（x0，y0），则，解得：A（4，3），由于反射光线所在直线经过点 A（4，3）和 B（1，1），所以反射光线所在直线的方程为 y1（x1），即 4x5y+10 解方程组，解得反射点 P（，）所以入射光线所在直线的方程为：5x4y+20 第5页（共14页）故答案为：5x4y+20 6【解答】解：根据题意，圆 C1：（x1）2+（y2）24，其圆心为（1，2），半径为 2，C2：（x+1）2+（y2）24，其圆心为（1，2），半径为 2，圆心距|C1C2|2，则两圆相交，两圆的公切线有 2 条，故答案为：2 7【解答】解：原方程可变形为（3）293k，+3 显然，k3 时，x+y9；当 0

10、k3 时，式右边有两值，则直线不唯一；当 k0 时，式右边一正一负，负值不满足，故所求 k 的取值范围是 k3 或 k0 故答案为：k3 或 k0 8【解答】解：A（4，0），B（0，4），AB 的垂直平分线方程为 x+y0，又外心在欧拉线 xy+20 上，联立，解得三角形 ABC 的外心 G（1，1），又 r|GA|，ABC 外接圆的方程为（x+1）2+（y1）210 设 C（x，y），则三角形 ABC 的重心（，）在欧拉线上，即+20，整理得 xy20 联立，解得或 所以顶点 C 的坐标可以是（0，2）或（2，0），故答案为：（0，2）或（2，0），9【解答】解：直线系 A：（x3）cos

11、+ysin2 可变形为sin（+）2，sin（+），而|sin（+）|1，1，（x3）2+y24，其几何意义为圆（x3）2+y24 外的点的集合，第6页（共14页）直线系 A：（x3）cosx+ysin2 是圆（x3）2+y24 的切线的包络，即圆（x3）2+y24 上所有点的切线的集合，如图，把圆心平移到原点，由过圆 x2+y2r2上一点 P（x0，y0）的切线，而圆 x2+y2r2的参数形式为，0，2，令，则以 P（x0，y0）为切点的切线方程为 x（rcos）+y（rsin）r2，即x（cos）+y（sin）r，由 圆 心（0，0）到 切 线 x（cos）+y（sin）r 的 距 离 等

12、 于 半 径，有r，sin2+cos21，0，2时，直线系 x（cos）+y（sin）r 是圆 x2+y2r2上所有点的切线方程系，也是圆的包络线，由题意知，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个，如取 r2，如图，第7页（共14页）设直线 AB 的方程为 y，圆心到直线的距离等于半径，则2，b4，则 AB：y，当 BC：y2，B（，2），|BC|，则 SABC，当 BC：y2，B（，2），|BC|，则 SABC12，将圆 x2+y24 向右平移 3 个单位即为（x3）2+y24，不改变正三角形的面积，直线系 A 中组成正三角形的面积为或 12 故答案为：或 12 10【

13、解答】解：过 F1（1，0）与 F2（1，0）分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 B，C，则由题意值 F1BF2C1，即 F1A1 三角形 AF1 B 为正三角形，边长为 1，正三角形的高为，且F1AF290 集合 P 对应的轨迹为线段 AF2的上方部分，Q 对应的区域为半径为 1 的单位圆内部 根据 T 的定义可知，T 中的所有点所组成的图形为图形阴影部分 阴影部分的面积为 2（）故答案为：第8页（共14页）二、选择题（本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，）11【解答】解：对于，直线的倾斜角为，90，直线的斜率不存在，90时，直线的斜率为 tan，所以错误；

14、对于，直线的斜率为 tan 时，不一定是直线的倾斜角，如 45时，直线的斜率为1，倾斜角为 135，所以错误；对于，直线的倾斜角为，0 时，sin0，所以错误 综上知，错误的命题序号是 故选：D 12【解答】解：根据题意，圆 x2+y24 的圆心为（0，0），半径为 2，直线（a+1）x+（a1）y+2a0，即 a（x+y+2）+xy0，则有，解可得，直线恒过点（1，1），又由点（1，1）在圆 x2+y24 的内部，故对于任意的实数 a，直线与圆相交，即当 a0 时，直线（a+1）x+（a1）y+2a0（aR）与圆 x2+y24 相交，反之不一定成立，故“a0”是直线（a+1）x+（a1）y+

15、2a0（aR）与圆 x2+y24 相交的充分而不必要条件，故选：A 13【解答】解：由 x12+y124，x22+y224，x1x2+y1y20，可设 M（x1，y1），N（x2，y2），且0，可得 M，N 在圆 x2+y24 上，第9页（共14页）|x1+y14|+|x2+y24|（+）所求最大值可看作是 M，N 到直线 x+y40 的距离的和的最大值，且可得 M，N 在直线 x+y40 的下方，取 MN 的中点 C，过 M，N，C 点分别作直线的垂线，垂足分别为 A，B，D，CD 为梯形 ABNM 的中位线，2CDMA+NB，OMON，OC，O 到直线的距离为2，CD2+3，MA+NB6，

16、|x1+y14|+|x2+y24|的最大值为612 故选：D 14【解答】解：如图所示，在平面直角坐标系内，P1（x1，y1），P2（x2，y2），作出直角三角形 P1RP2，则由极距的定义可知，就是直角三角形 P1RP2中较小的直角边的大小，因为点 P 是直线 l：2x+y90 上的动点，Q 是圆 O：x2+y25 上的动点，要使得 PQ 最小，则 OPl，PQOP最小，此时，设直线 l 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，因为直线 l 的斜率为2，则，过点 P 作 PRx 轴，过点 Q 作 QRy 轴，则PQRBAO，所以，在直角三角形 PRQ 中，P，Q 两点之间的极距即为 RQ，设

17、 RQt，则 RP2t，第10页（共14页）所以，解得，即，所以 P，Q 两点之间的距离最小时的极距为 故选：C 三、解答题：（本大题共有 4 题，解答下列各题必项写出必要的步骤）15【解答】解：（1）A（1，3）、B（3，1）、C（1，0），线段 BC 的中点坐标为（1，），易知 BC 边上的中线所在的直线的斜率不存在，BC 边上的中线所在直线的方程为 x1（2），BC 边上的高所在直线的斜率为 k4，BC 边上的高所在直线的方程为 y34（x1），即 4x+y70（3）直线 BC 的方程为，即 x4y+10，则点到直线 BC 的距离 d，又，故 第11页（共14页）16【解答】解：（1）王

18、阿姨负值区域边界的曲线方程为 x2+y22002，李叔叔家在王阿姨家的东偏北 45方向，设李叔叔家所在的位置为（c，c），因为离 M（100，400）和 N（400，700）距离相等，所以，解得 c400，所以 k300，故李叔叔负值区域边界的曲线方程为（x400）2+（y400）23002；（2）圆心 O 关于 l：xy+10000 的对称点 P（a，b），则有，解得 a1000，b1000，所以，直线 PC 的方程为：，联立，解得 x300，y700，所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点（300，700）碰面，距离之和最近 17【解答】解：（1）因为点 P，Q 关于直线 xy+3

19、0 对称，所以，解得，所以 Q（y03，x0+3）（2）证明：设 A0，根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长，如图：过点 P 作 PQ直线 l，垂足为 Q，作 l 的垂线 l，第12页（共14页）由 ll 可知 l的斜率为，所以 l的方程为 yy0（xx0），与直线 l 联立方程组解得交点 Q（，），所以|PQ|2（x0）2+（y0）2，+（）2+（）2，所以 d，可证明，当 A0 时仍成立，综上 d（3）令 u（+），u1，u2，则 u1表示函数 y图象上的点到直线 xy+30 的距离，u2表示函数 y图象上的点到直线 x+y30 的距离，所以 2（1）62

20、 18【解答】解：（1）如图，PM，PN 是O 的两条切线，M，N 为切点，连接 TM，TN，当MPN60时，PT 平分MPN，TPNMPT30，TMPM，TNPN，TNPPMT90，TP2TM、以 T 为圆心，TP 为半径作T 观察图象可知：当 60MPN180时，T 的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上的点）故答案为：P2（1，1），P3（0，2）；第13页（共14页）如图 2 中，设小圆交 y 轴的正半轴于 E，当直线 y2x+b 经过点 E 时，b1，当直线 y2x+b 与大圆相切于 K（在第二象限）时，连接 OK，由题意 B（0，b），A（，0）所以 OBb，OA，A

21、B，OK2，ABOKOAOB，所以 b2，观察图象可知，当 1b2时，线段 AB 上存在的环绕点，根据对称怀可知：当2b1 时，线段 AB 上存在的环绕点，综上所述，满足条件的 b 的值为 1b2或2b1；（2）如图 3 中，不妨设 E，则点 E 直线 yx 上，m0点 E 在射线 OE 上运动，作 EMx 轴；E，OMm，EMm，以 E为圆心，m 为半径的E 与 x 轴相切，作E 的切线 ON，观察图象可知：以 E为圆心，m 为半径的所有圆构成图形 H，图形 H 即为MON 的内部，包括射线 OM，ON 上，当T 的圆心在 y 轴的正半轴上时，假设以 T 为圆心，2 为半径的圆与射线 ON 相切于 D，连接 TD，tanEOM，EOM30，又因为 OM，ON 是E 的切线EONEOM30 所以TOD30，所以 OT2DT4，T（0，4）当T 的圆心在 y 轴的负半轴上时，且经过点 O（0.0）时，T（0，2），观 察 图 象 可 知，当 2 t 4时，在 图 象 上 存 在 T的 环 绕点第14页（共14页）