冲刺2023年上海中考数学满分复习攻略第02讲二次函数中特殊三角形存在性问题含详解.pdf

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1、第 02 讲 二次函数中特殊三角形存在性问题 【考点梳理】一、等腰三角形 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有 2 个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意 1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：2、解题思路：（1）利用几何或代数的

2、手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之 二、直角三角形 在考虑是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：；在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得 以函数为背景的直角三角形存在性问题 1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造

3、直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形 2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标【典型例题】题型一：二次函数中等腰直角三角形的存在性 1（2021上海）已知抛物线yax2+c（a0）经过点P（3，0）、Q（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC 当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标 2（2022徐汇区模拟）如图所示，抛物线ya（x+1）（x5

4、）（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）当a时，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值 3（2021浦东新区校级二模）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，联结PB（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将BDP绕点

5、B旋转得到BDP，且旋转角PBPOAC，当点P对应点P落在y轴上时，求点P的坐标 4（2022虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+6 与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E（1）求抛物线的表达式；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果SPDBSCDB，求点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标 5（2022 春浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+c（a0）经过P（3，0）和Q（1，

6、4）（1）求这条抛物线的表达式；（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标 题型二：二次函数中直角三角形的存在性 1（2022徐汇区模拟）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3 分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴的平行线交抛物线于M，当

7、PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围 2.（2019 嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与 轴的交点为点 （1）求此抛物线的表达式；（2）点 为 轴上一点，如果直线和直线的夹角为 15，求线段的长度；（3）设点 为此抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点 的坐标 3.（2019 宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与 轴交于、两点，与 轴交于 C 点，其中.（1）求点 B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点 D 为 y 轴上一点，若直线 BD 和直线 BC 的

8、夹角为 15，求线段 CD 的长度；（3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点的坐标.题型三：二次函数中的等腰三角形分类讨论 1.(2019 闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax22x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴相交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）求证：DAB=ACB；（3）点 Q 在抛物线上，且ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形，求 Q 点的坐标 2（2020浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc 与x轴的两个交点分别为(1,0)A，(3,0)B，

9、与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且PABACB，求点P的坐标 第 02 讲 二次函数中特殊三角形存在性问题 【考点梳理】一、等腰三角形 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有 2 个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意 1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，

10、将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之 二、直角三角形 在考虑是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：；在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得 以函数为背景的直角三角形存在性

11、问题 1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形 2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标【典型例题】题型一：二次函数中等腰直角三角形的存在性 1（2021上海）已知抛物线yax2+c（a0）经过点P（3，0）、Q（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）若点A在直线PQ上，过点A作ABx轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC

12、 当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；若C在抛物线上，求C的坐标 【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c即可得抛物线的解析式为yx2+；（2）过C作CHAB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，由ABC是等腰直角三角形，得CHAHBHAB2，C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，先求出直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB2m+6，yCm+3，xC（m+3m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+解得m或m3（与P重合，舍去），即可求出C（2，）【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c得：，解得，抛物

13、线的解析式为：yx2+；（2）过C作CHAB于H，交y轴于G，如图：当A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，ABC是等腰直角三角形，ACH和BCH也是等腰直角三角形，CHAHBHAB2，CGCHGH1，而抛物线yx2+的对称轴是y轴（x0），C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，如图：设直线PQ解析式为ykx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB|2m+6|，CHAHBHAB|m+3|，当m+30，yCm+3 时，xC（m+3m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+得：m+3（2m3）2+，解得m或m3（与P重

14、合，舍去），m，2m32，m+3，C（2，）当m+30，yCm+3 时，xCm（m3）3，C（3，m+3），由P（3，0）可知m3，此时A、B、C重合，舍去，C（2，）【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标 2（2022徐汇区模拟）如图所示，抛物线ya（x+1）（x5）（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）当a时，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；（2）点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四

15、边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值 【分析】（1）当a时，函数的表达式为y（x+1）（x5），即可求解；证明PFMOEP（AAS），则PEMF，则（x+1）（x5）x2，解得x或 4，即可求解；（2）当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，故OQDQ，即可求解【解答】解：对于ya（x+1）（x5）（a0），令ya（x+1）（x5）0，解得x5或1，令x0，则y5a，故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（5，0）、（0，5a），当x2 时，ya（x+1）（x5）9a，顶点的坐标为（2，9a）（1）当a时，函数的表达式为y（x+1）（x5），则点A、B、C的坐标分别为

16、（1，0）、（5，0）、（0，2）；过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为（x，（x+1）（x5），MPO90，MPF+OPE90，OPE+POE90，POEMPF，PFMOEP90，PMPO，PFMOEP（AAS），PEMF，则|（x+1）（x5）|x2，解得x或 4 或 0 或，故点P的坐标为（，）或（4，2）或（0，2）或（，）；（2）点B、C的坐标分别为（1，0）、（0，5a），顶点D的坐标为（2，9a）当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q（，a），则OQDQ，即（）2+（）2（

17、2）2+（9a+a）2，解得a【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形全等、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中 3（2021浦东新区校级二模）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BDPD于点D，联结PB（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将BDP绕点B旋转得到BDP，且旋转角PBPOAC，当点P对应点P落在y轴上时，求点P的坐标 【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛

18、物线解析式；（2）根据BDP为等腰直角三角形，则PDBD，分两种情况进行讨论：当点P在直线BD上方时，当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；（3）分点P在y轴右侧，BDP绕点B逆时针旋转，且点P落在y轴上时或BDP绕点B顺时针旋转，且点P落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论，【解答】解：（1）点C（0，4）在直线yx+n上，n4，yx+4，令y0，x3，A（3，0），抛物线yx2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，2），c2，6+3b20，b，抛物线解析式为yx2x2；（2）P的横坐标为m（m0），且点P在抛物线上，P（m，m2m2），PDx轴，BDPD，点D坐标为（m，2）

19、，若BDP为等腰直角三角形，则PDBD，当点P在直线BD上方时，PDm2m2（2）m2m，如图 1，BDm m2mm，解得：m10，m2，m0，m；当点P在直线BD下方时，如图 2，m0，BDm，PDm2+m，m2+mm，解得：m10，m2，m0，m；综上所述，m或；即当BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或（3）PBPOAC，OA3，OC4，AC5，sinPBP，cosPBP，若点P在y轴右侧，当BDP绕点B逆时针旋转，且点P落在y轴上时，如图 3，过点D作DMx轴，交BD于M，过点P作PNy轴，交MD的延长线于点N，DBDNDPPBP，由旋转知，PDPDm2m，在 RtPDN中，sin

20、NDPsinPBP，PNPD（m2m），在 RtBDM中，BDm，cosDBDcosPBP，BMBDm，PNBM，（m2m）m，m，P（，）；当BDP绕点B顺时针旋转，且点P落在y轴上时，如图 4，过点P作PTy轴于点T，PTm，BTOTOB（m2m2）2m2+m，PBPOAC，tanPBPtanOAC，PTBT，m（m2+m），解得：m0（舍去）或m，P（，）；若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P；综上所述，点P的坐标为（，）或（，）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形

21、 4（2022虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+6 与x轴交于点A（2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E（1）求抛物线的表达式；（2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果SPDBSCDB，求点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得BCD是直角三角形，BCD90，可得SBCDBCCD12，由三角形的面积

22、公式结合SPDBSCDB可得出PD6，即可求解；（3）设M（m，m+6），且 2m6，分两种情况：当MEN90，EMEN时，当EMN90，EMMN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入yax2+bx+6，得：，解得：，二次函数的解析式为yx2+2x+6；（2）如图：yx2+2x+6（x2）2+8，C（0，6）、D（2，8），B（6，0），BC6，CD2，BD4，BC2+CD2BD2，BCD是直角三角形，BCD90，SBCDBCCD12，SPDBPD（62）2PDSCDB12，PD6，P（2，2）；（3）B（6，0），C（0，6）直线BC

23、的解析式为yx+6，OBOC，OBCOCB45，yx2+2x+6，对称轴l为x2，当x2 时，yx+64，E（2，4），设M（m，m+6），且 2m6，当MEN90，EMEN时，过点E作EHMN于H，MN2EH，EMNENM45，OBCOCB45，NMEOCB，MNy轴，N（m，m2+2m+6），MNm2+2m+6+m6m2+3m，EHm2，m2+3m2（m2），解得m4 或m2（不合题意，舍去），M（4，2）；当EMN90，EMMN时，EHNHMHEN，MENENM45，OBCOCB45，MENOBC，ENx轴，点N的纵坐标为 4，当y4 时，x2+2x+64，解得x2+2或x22（不合题意

24、，舍去），N（2+2，4），EN2+222，EHMHEN，m2+，M（2+，4）；综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2+，4）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题关键是运用分类讨论思想，避免漏解 5（2022 春浦东新区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+c（a0）经过P（3，0）和Q（1，4）（1）求这条抛物线的表达式；（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；如果点C在

25、这条抛物线上，求点C的坐标 【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c即可得抛物线的解析式为yx2+；（2）过C作CHAB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，由ABC是等腰直角三角形，得CHAHBHAB2，C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，先求出直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB2m+6，yCm+3，xC（m+3m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+解得m或m3（与P重合，舍去），即可求出C（2，）【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入yax2+c得：，解得，抛物线的解析式为：yx2+；（2）过C作CHAB

26、于H，交y轴于G，如图：当A与Q（1，4）重合时，AB4，GH1，ABC是等腰直角三角形，ACH和BCH也是等腰直角三角形，CHAHBHAB2，CGCHGH1，而抛物线yx2+的对称轴是y轴（x0），C到抛物线对称轴的距离是CG1；过C作CHAB于H，如图：设直线PQ解析式为ykx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：，解得，直线PQ为y2x+6，设A（m，2m+6），则AB|2m+6|，CHAHBHAB|m+3|，当m+30，yCm+3 时，xC（m+3m）2m3，将C（2m3，m+3）代入yx2+得：m+3（2m3）2+，解得m或m3（与P重合，舍去），m，2m32，m+3，C（2，）

27、当m+30，yCm+3 时，xCm（m3）3，C（3，m+3），由P（3，0）可知m3，此时A、B、C重合，舍去，C（2，）【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标 题型二：二次函数中直角三角形的存在性 1（2022徐汇区模拟）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3 分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0），点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）过P作y轴

28、的平行线交抛物线于M，当PBM是MP为腰的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），求m的取值范围 【分析】（1）先求出点B（0，3），运用待定系数法可求得抛物线的解析式为yx22x+3，令y0，可求得A（3，0），把点A的坐标代入ykx+3，即可求得直线AB的解析式为yx+3；（2）设P（m，m+3），且3m0，则M（m，m22m+3），可得PMm23m，运用两点间距离公式可得PBm，根据PBM是MP为腰的等腰三角形，分两种情况：MPPB或MPMB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）利用待定系数法可求得经过点D（1，4）且平行直线AB的直

29、线DG的解析式yx+5，联立，得x+5x22x+3，可得点G的横坐标为2，根据题意可知：点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，故2m1【解答】解：（1）直线ykx+3 交y轴于点B，B（0，3），抛物线yx2+bx+c经过点B（0，3），点C（1，0），解得：，抛物线的解析式为yx22x+3，令y0，得x22x+30，解得：x13，x21，A（3，0），把点A的坐标代入ykx+3，得3k+30，解得：k1，直线AB的解析式为yx+3；（2）点P为线段AB上的点，且点P的横坐标为m，P（m，m+3），且3m0，过P作y轴的平行线交抛物线于M，M（m，m22m+3），PMm22m+3（m+3）m2

30、3m，PB2（m0）2+（m+33）22m2，且3m0，PBm，PBM是MP为腰的等腰三角形，B（0，3），MPPB或MPMB，OAOB3，AOB90，AOB是等腰直角三角形，ABO45，PMOB，BPM45，当MPPB时，m23mm，解得：m0（舍去）或m3+，P（3+，）；当MPMB时，则PBMBPM45，BMP90，BMx轴，即点M的纵坐标为 3，m22m+33，解得：m10（舍去），m22，P（2，1），综上所述，点P的坐标为（3+，）或（2，1）；（3）yx22x+3（x+1）2+4，抛物线的顶点D（1，4），设经过点D（1，4）且平行直线AB的直线DG的解析式为yx+n，如图 2，

31、则1+n4，解得：n5，yx+5，联立，得x+5x22x+3，解得：x11，x22，点G的横坐标为2，顶点D在以PM、PB为邻边的平行四边形的形内（不含边界），点M必须在直线DG上方的抛物线上运动，m的取值范围为：2m1【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用分类讨论思想和方程思想解决问题，属于中考压轴题 2.（2019 嘉定二模）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与 轴的交点为点 （1）求此抛物线的表达式；（2）点 为 轴上一点，如果直线和直线的夹角为 15，求线段的长度；（3

32、）设点 为此抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，求点 的坐标 【分析】（1）将点 A 和点 B 坐标代入解析式求解可得；（2）先求出点 C 坐标，从而得出 OC=OB=3，CBO=45，据此知DBO=30或 60，依据 DO=BOtanDBO 求出得 DO或 3，从而得出答案；（3）设 P（-1，t），知 BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点 B、点 C 和点 P直角顶点三种情况分别求解可得【详解】（1）依题意得：，解得：抛物线的表达式是（2）抛物线与 轴交点为点 点 的坐标是，又点 的坐标是 或 在直角中，或，或.（3）由抛物线得：对称轴是直线 根据题意

33、：设，又点 的坐标是，点 的坐标是，若点 为直角顶点，则即：解之得：，若点 为直角顶点，则即：解之得：，若点 为直角顶点，则即：解之得：，.综上所述 的坐标为或或或.【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点 3.（2019 宝山二模）如图，已知对称轴为直线的抛物线与 轴交于、两点，与 轴交于 C 点，其中.（1）求点 B 的坐标及此抛物线的表达式；（2）点 D 为 y 轴上一点，若直线 BD 和直线 BC 的夹角为 15，求线段 CD 的长度；（3）设点 为抛物线的对称轴上的一个动点，当为直角三角形时，

34、求点的坐标.【分析】（1）将 A、C 坐标代入抛物线，结合抛物线的对称轴，解得 a、b、c 的值，求得抛物线解析式;（2）求出直线 BC 的解析式为，得出CBA=45再求出DBA=30或DBA=60,再求出 DO 即可;（3）设点 P 的坐标，分别以 B、C、P 为直角顶点，进行分类讨论，再运用勾股定理得到方程式进行求解.【详解】解：（1）根据对称轴 x=-1,A（1,0），得出 B 为(-3,0)依题意得：，解之得：，抛物线的解析式为.（2）对称轴为，且抛物线经过，直线 BC 的解析式为.CBA=45 直线 BD 和直线 BC 的夹角为 15，DBA=30或DBA=60 在BOD，BO=3

35、DO=或，CD=或.（3）设，又，若点 为直角顶点，则即：解之得：，若点 为直角顶点，则即：解之得：，若点 为直角顶点，则即：解之得：，.综上所述 的坐标为或或或.【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质是解题的关键.题型三：二次函数中的等腰三角形分类讨论 1.(2019 闵行区二模）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax22x+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（1，0），与 y 轴相交于点 C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）求证：DAB=ACB；（3）点 Q 在抛物线上，且

36、ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形，求 Q 点的坐标 整体分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；（2）由 tanOCB=13OBOCtanDAC=13DCAC，得到DAC=OCB，从而得到结论；（3）令Q（x，y）且满足223yxx，由ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0解方程组222023xyyxx，即可得到结论 满分解答：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入22yaxxc中，得：9603acc，解得：13ac 抛物线的解析式是：223yxx，顶点坐标D（1，4）（2）令y=0，则2x

37、2x30，x1=3，x2=1，A（3，0），OA=OC=3，CAO=OCA在 RtBOC中，tanOCB=13OBOC AC=3 2，DC=2，AD=2 5，AC2+DC2=20，AD2=20，AC2+DC2=AD2，ACD是直角三角形且ACD=90，tanDAC=13DCAC 又DAC和OCB都是锐角，DAC=OCB，DAC+CAO=BCO+OCA，即DAB=ACB（3）令Q（x，y）且满足223yxx，A(3，0），D（1，4）ADQ是以AD为底的等腰三角形，QD2=QA2，即2222(3)(1)(4)xyxy，化简得：x-2+2y=0 由222023xyyxx，解得：1134141141

38、8xy，11341411418xy，点Q的坐标是（3414，11418），（3414，11418）2（2020浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2yxbxc 与x轴的两个交点分别为(1,0)A，(3,0)B，与y轴相交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）联结AC、BC，求ACB的正切值；（3）点P在抛物线上，且PABACB，求点P的坐标 【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线2yxbxc 即可；（2）如图 1，过点A作AHBC于H，分别证OBC和AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt AHC中，直接求出ACB的正切值；（3）此问需分类讨论，当PABACB 时，

39、过点P作PMx轴于点M，设2(,23)P aaa，由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况【解答】解：（1）将点(1,0)A，(3,0)B代入抛物线2yxbxc 中，得10930bcbc ，解得，2b，3c，抛物线的表达式为223yxx；（2）在223yxx 中，当0 x 时，3y，(0,3)C，3OCOB，OBC为等腰直角三角形，45OBC，23 2BCOC，如图 1，过点A作AHBC于H，则45HABHBA，AHB是等腰直角三角形，4AB，22 22AHBHAB，2CHBCBH，在Rt AHC中，2 2tan22AHACHCH，即ACB的正切值为 2；（3）如图 2，当PABACB 时，过点P作PMx轴于点M，设2(,23)P aaa，则(,0)M a，由（1）知，tan2ACB，tan2PAM，2PMAM，22321aaa，解得，11a （舍去），21a，1(1,4)P；取 点(1,4)P关 于x轴 的 对 称点(1,4)Q，延 长AQ交 抛 物 线 于2P，则 此 时2P ABPAMACB ，设直线PQ的解析式为ykxb，将(1,0)A，(1,4)Q代入，得，04kbkb ，解得，2k ，2b ，22AQyx，联立，22223yxyxx ，解得，10 xy 或512xy，2(5,12)P；综上所述，点P的坐标为(1,4)或(5,12)