2021-2022年上海市华师大二附中高二上10月月考数学试卷含详解.pdf

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1、2021-2022 年上海市华师大二附中高二上 10 月月考 一选择题（共 4 小题）1当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A三点确定一平面 B不共线三点确定一平面 C两条相交直线确定一平面 D两条平行直线确定一平面 2若直线 l 不平行于平面 a，且 la，则（）Aa 内所有直线与 l 异面 Ba 内不存在与 l 平行的直线 Ca 内存在唯一的直线与 l 平行 Da 内的直线与 l 都相交 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 D1C1的中点设 AM 与平面 BB1D1D 的交点为 O，则（）A三点 D1，O，B 共线，且 OB2OD1

2、B三点 D1，O，B 不共线，且 OB2OD1 C三点 D1，O，B 共线，且 OBOD1 D三点 D1，O，B 不共线，且 OBOD1 4如图，用斜二测画法作ABC 水平放置的直观图形得A1B1C1，其中 A1B1B1C1，A1D1是 B1C1边上的中线，由图形可知在ABC 中，下列四个结论中正确的是（）AABBCAC BADBC CACADAB DACADABBC 二填空题（共 10 小题）5平面 外的两条直线 a、b，且 a，则 ab 是 b 的 条件（填充分必要性）6正三棱锥的两个侧面所成二面角 大小的取值范围是 7三条不同的直线，、为三个不同的平面：若，则；若 ab，bc，则 ac

3、或 ac；若 a，b、c，ab，ac，则；若 a，b，ab，则，上面四个命题中真命题的个数是 8棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，对棱 AB、CD 之间的距离为 9正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则异面直线 A1E 与 C1F所成角的余弦值为 10棱长为 a 正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 A1B1，B1C1的中点，点 P 是棱AB 上一点，且 AP，过点 P，M，N 的平面与直线 CD 交于一点 Q，则 PQ 的长为 11如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPDa，则它的

4、 5 个面中，互相垂直的面有 对 12在 120的二面角 l 内有一点 P，P 在平面、内的射影 A、B 分别落在半平面 内，且 PA3，PB4，则 P 到 l 的距离为 13给出下列 4 个命题：过平面外一点，与该平面成 角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；过空间任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行；与确定的两条异面直线所成的角相等的平面有无数个 其中正确命题的序号有 （请把所有正确的序号都填上）14给出下列四个命题：过平面外一点作与该平面成 角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两

5、条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等 其中正确的命题的序号是 （请把所有正确命题的序号都填上）三解答题（共 4 小题）15（1）请用文字语言叙述直线与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理写成“已知：，求证”的形式，并用反证法证明；（3）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CMDN，求证：MN平面 AA1B1B（用（1）中所写定理证明）16某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力

6、和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：凳子高度为 30cm，三根细钢管相交处的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面（1）若凳面是边长为 20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为 45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到 0.01）；（2）若凳面是顶角为 120的等腰三角形，腰长为 24cm，节点 O 分细钢管上下两段之比为 2：3、确定三根细钢管的长度（精确到 0.1cm）17如图所示，球 O 的球心 O 在空间直角坐标系 Oxyz 的原点，半径为 1，且球 O 分别与x，y，z 轴的正半轴交于 A，B，C 三点已知球面上一点（1）求 D，C 两点在球 O

7、上的球面距离；（2）求直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小 18在 120的二面角 l 的两个面内分别有点 A，B，A，B，A，B 到棱 l 的距离AC，BD 分别是 2，4，且线段 AB10（1）求 C，D 间的距离；（2）求直线 AB 与平面 所成角的正弦值 2021-2022 年上海市华师大二附中高二上 10 月月考 一选择题（共 4 小题）1当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A三点确定一平面 B不共线三点确定一平面 C两条相交直线确定一平面 D两条平行直线确定一平面【解答】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可

8、以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定 故选：B【点评】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题 2若直线 l 不平行于平面 a，且 la，则（）Aa 内所有直线与 l 异面 Ba 内不存在与 l 平行的直线 Ca 内存在唯一的直线与 l 平行 Da 内的直线与 l 都相交【解答】解：a 内与 l 相交的直线在同一面内，故 A 选项错误 直线 l 与面相交的点，过此点的所有直线均与 l 相交，平面内其他的线则不与其相交，故C，D 项说法错误 若 a 内存在与 l 平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知 l 与面 a 平行，已知直线 l不平行于平面 a，故 a 内不存在与 l 平行的

9、直线，B 项说法正确 故选：B【点评】本题主要考查了直线与平面的位置关系，线面平行判定定理的运用考查了学生逻辑推理能力 3如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为棱 D1C1的中点设 AM 与平面 BB1D1D 的交点为 O，则（）A三点 D1，O，B 共线，且 OB2OD1 B三点 D1，O，B 不共线，且 OB2OD1 C三点 D1，O，B 共线，且 OBOD1 D三点 D1，O，B 不共线，且 OBOD1【解答】解：【解法一】如图 1，连接 AD1，BC1，利用公理 2 可直接证得，并且由 D1MAB 且 D1MAB，OD1BO，D1，O，B 三点共线，且 OB2OD1【解法二

10、】以正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，DD1所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为 1，则 A（1，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），M（0，1）；设点 O（x，x，z），（x1，x，z），（1，1）；又与共线，（x1，x，z）（，），即，解得，点 O（，）；（，），又（1，1，1），D1，O，B 三点共线，且 OB2OD1 故选：A【点评】本题考查了利用空间向量求证三点共线的应用问题，也考查了逻辑推理能力与空间想象能力的应用问题，是综合性题目 4如图，用斜二测画法作ABC

11、水平放置的直观图形得A1B1C1，其中 A1B1B1C1，A1D1是 B1C1边上的中线，由图形可知在ABC 中，下列四个结论中正确的是（）AABBCAC BADBC CACADAB DACADABBC【解答】解：根据斜二测画法，把直观图形中的A1B1C1，还原成原图形，如图所示；AB2A1B1B1C1BC，ACADAB 故选：C【点评】本题考查了斜二测画法画直观图形的应用问题，是基础题 二填空题（共 10 小题）5平面 外的两条直线 a、b，且 a，则 ab 是 b 的 充分不必要 条件（填充分必要性）【解答】解：平面 外的两条直线 a、b，若 a 且 ab，则根据直线与平面平行的判定定理可

12、知 b；若 a 且 b，则不一定有 ab，故答案为：充分不必要【点评】本题考查直线与平面平行，要注意判定定理与性质定理的综合应用 6正三棱锥的两个侧面所成二面角 大小的取值范围是 60180 【解答】解：假设顶点无限趋近于底面的中心，那么这 3 个侧面就趋向一个平面，那夹角 180 假设顶点无限远离，那么三个侧面都垂直于底面，底面边的夹角就是侧面二面角的大小为 60 故答案为：60180【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查极限思想，考查学生逻辑思维能力，是中档题 7三条不同的直线，、为三个不同的平面：若，则；若 ab，bc，则 ac 或 ac；若 a，b、c，ab，ac，则；若 a，b，ab，

13、则，上面四个命题中真命题的个数是 【解答】解：若，则，或 与 相交，如一本书打开，直立在桌上，此两平面相交，故不正确 若 ab，bc，则 ac 或 ac，也有可能异面，故不正确；若 a，b、c，ab，ac，不能推出，缺少 b 与 c 相交，故不正确；若 a，b，ab，则，根据面面垂直的判定定理可得，故正确 故答案为：【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及平面与平面之间的位置关系，属于基础题常规题 8棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，对棱 AB、CD 之间的距离为 【解答】解：设 AB，CD 的中点为 E，F，连接 AF，BF；因为其为正四面体，各面均为等边三角形，边长为

14、 1；AFBF，EFAB，同理可得 EFCD 即 EF 的长即为 AB、CD 之间的距离 EF 即 AB、CD 之间的距离为 故答案为：【点评】本题主要考查点、线、面间的距离计算解决本题的关键在于分析出 EF 的长即为 AB、CD 之间的距离 9正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别是棱 AB、BB1的中点，则异面直线 A1E 与 C1F所成角的余弦值为 【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1中棱长为 2，则 A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），（

15、0，1，2），（2，0，1），设异面直线 A1E 与 C1F 所成角为，则异面直线 A1E 与 C1F 所成角的余弦值为：cos 故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力等数学核心素养，是基础题 10棱长为 a 正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 A1B1，B1C1的中点，点 P 是棱AB上一点，且AP，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为 【解答】解：如图，在 BC 上取，连接 PP1；则 MNPP1，延长 PP1，则交 DC 延长线于 Q；PQPP1+P1Q 故答案为：

16、【点评】考查正方体的画法，数形结合解题的方法，以及平行线分线段成比例定理，两平行线可确定一平面，直角三角形的边的关系，三角函数定义 11如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPDa，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 5 对 【解答】解：底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPDa，可得 PA底面 ABCD PA平面 PAB，PA平面 PAD，可得：面 PAB面 ABCD，面 PAD面 ABCD，AB面PAD，可得：面 PAB面 PAD，BC面 PAB，可得：面 PAB面 PBC，CD面 PAD，可得：面 PAD面 PCD

17、；故答案为：5【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题 12在 120的二面角 l 内有一点 P，P 在平面、内的射影 A、B 分别落在半平面 内，且 PA3，PB4，则 P 到 l 的距离为 【解答】解：在 120的二面角 l 内有一点 P，P 在平面、内的射影 A、B 分别落在半平面 内，APB60 又PA3，PB4，AB，而 P 到 l 的距离即为PAB 的外接圆直径，由正弦定理得 2R，故答案为：【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，二面角的平面角及求法，其中将空间问题转化为平面问题后，得到 P 到 l 的距离即为PAB 的外接圆直径是解答本题的

18、关键 13给出下列 4 个命题：过平面外一点，与该平面成 角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；过空间任意一点有且只有一个平面与两条异面直线都平行；与确定的两条异面直线所成的角相等的平面有无数个 其中正确命题的序号有 （请把所有正确的序号都填上）【解答】解：过平面外一点，与该平面成 角的直线中，当 90时，满足条件的直线只有一条，不正确；由线面平行的性质定理和判定定理可以证明，此直线与交线平行，正确；当该点位于其中任意一条异面直线上时，此时满足直线和平面平行的平面不存在，错误；两异面直线与同一个平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，正

19、确 故答案为：【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系及异面直线的有关性质，在解题时要注意线面关系的判定、性质定理的综合应用 14给出下列四个命题：过平面外一点作与该平面成 角的直线一定有无穷多条；一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一一个平面与这两条异面直线都平行；对两条异面直线，都存在无穷多个平面与这两条异面直线所成的角相等 其中正确的命题的序号是 （请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：考虑圆锥的母线与地面所成角，将其顶点看为底面所在平面外一点，不正确；90不正确，由线面平行的性质定理和判定定理可以证明，此直线与交

20、线平行，正确；，如果此点选在其中一条异面直线上，则此平面不存在，错误；可以考虑：两异面直线与同一个平面所成角可以相等，而与此平面平行的平面有无穷多个，故正确 故答案为：【点评】本题考查直线与平面的位置关系及异面直线的有关性质，在解题时要注意线面关系的判定、性质定理的综合应用 三解答题（共 4 小题）15（1）请用文字语言叙述直线与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理写成“已知：，求证”的形式，并用反证法证明；（3）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CMDN，求证：MN平面 AA1B1B（用（1）中所写定理证明）【解答】解：（1）

21、如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行（2）已知直线 a，b，平面，若 b，a，ab，求证 a 证明：用反证法，假设直线 a 与平面 不平行，a，a 与 相交，设 aA，则 A，若 Ab，过 A 在 内作直线 cb，则 a 与 c 相交，ab，ac，与已知 a 与 c 相交矛盾 综上，假设不成立，原命题成立，即 a（3）如图，作 MPBB1，交 BC 于点 P，连接 NP MPBB1，BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB，NP平面 AA1B1B，AB平面 AA1B1B，NP平面 AA1B1B，MPBB1，MP平面 AA1B1B，BB1平面 AA1

22、B1B，MP平面 AA1B1B，又MP平面 MNP，NP平面 MNP，MPNPP，平面 MNP平面 AA1B1B，又 MN平面 MNP，MN平面 AA1B1B【点评】本题主要考查了在正方体中的线面平行的证明，考查学生的空间想象力，识图能力，属于中档题 16某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）、凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管、考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：凳子高度为 30cm，三根细钢管相交处的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面（1）若凳面是边长为 20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为 45，确定节点O 分细钢管上下两段的比

23、值（精确到 0.01）；（2）若凳面是顶角为 120的等腰三角形，腰长为 24cm，节点 O 分细钢管上下两段之比为 2：3、确定三根细钢管的长度（精确到 0.1cm）【解答】解：（1）设ABC 的重心为 H，连接 OH 由题意可得，设细钢管上下两段之比为 已知凳子高度为 30、则 节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行 OBH 就是 OB 与平面 ABC 所成的角，亦即OBH45 BHOH，解得 即节点 O 分细钢管上下两段的比值约为 0.63 （2）设B120，ABBC24，设ABC 的重心为 H，则，由节点 O 分细钢管上下两段之比为 2：3，可知 OH1

24、2 设过点 A、B、C 的细钢管分别为 AA、BB、CC，则，对应于 A、B、C 三点的三根细钢管长度分别为 60.8cm，36.1cm 和 60.8cm 【点评】本题主要考查了直线与平面所成的角，以及三角形重心的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题 17如图所示，球 O 的球心 O 在空间直角坐标系 Oxyz 的原点，半径为 1，且球 O 分别与x，y，z 轴的正半轴交于 A，B，C 三点已知球面上一点（1）求 D，C 两点在球 O 上的球面距离；（2）求直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小 【解答】解：（1）由题意，cosCOD，COD，D，C 两点在球 O 上的

25、球面距离为；（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐标为（，），平面 ABC 的法向量为（，），（0，），直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦|，直线 CD 与平面 ABC 所成角的大小为【点评】本题考查球面距离，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 18在 120的二面角 l 的两个面内分别有点 A，B，A，B，A，B 到棱 l 的距离AC，BD 分别是 2，4，且线段 AB10（1）求 C，D 间的距离；（2）求直线 AB 与平面 所成角的正弦值 【解答】解：（1），设 C，D 间的距离为 a，在 120的二面角 l 的两个面内分别有点 A，B，A，B，A，B 到棱 l 的距离 AC，BD 分别是 2，4，且线段 AB10（）2+2，即 1004+a2+16+224cos60，解得 a6，C，D 间的距离为 6（2）过点 C 在平面 内作 CEDB，且 CEBD，连结 BE，AE，过点 A 作 AO平面，交 EC 延长线于 O，由题意得 CO，AO，连结 BO，则ABO 是直线 AB 与平面 所成角，sin 直线 AB 与平面 所成角的正弦值为 【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题