黄金卷06【黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）含答案.pdf

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1、试卷第 1页，共 4页【黄金 8 卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷 06【黄金 8 卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷 06考试时间：120 分钟；满分：150 分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，所给四个选项中只有一个正确选项）一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，所给四个选项中只有一个正确选项）1设全集U=2,1,0,1,2,3 A =1,2,B =x x2 4x +3 =0，集合A =

2、1,2,B =x x2 4x +3 =0，则()UAB（）A1,3B0,3C 2,1D 2,02函数()21lg(2)f xxx定义域为（）A0 2，B2，C122，D12，3设命题0:pxR，2010 x，则命题 p 的否定为（）Ax R，210 x Bx R，210 x C0 xR，2010 x D0 xR，2010 x 4某疫情防控志愿者小组有 20 名志愿者，由党员和大学生组成，其中有 15 人是党员，有 9 人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（）A2B3C4D55已知等差数列 na，nS是数列 na的前 n 项和，对任意的*Nn，均有6nSS成立，则107aa不可能的值为

3、（）A3B4C5D66记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且222sinsinsinsincos1BCBCA，则A（）A6B56C3D237第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢试卷第 2页，共 4页结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨

4、架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于916，则椭圆的离心率为（）A34B74C916D328已知函数2()e2lnaxf xxxax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A1,eB(1,)C2,eD(e,)二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，所给四个选项中有多个正确选项，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选错选得 0 分）二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，所给四个选项中有多个正确选项，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选错选得 0 分）9

5、设mR，i是虚数单位，复数 22 izmm.则下列说法正确的是（）A若z为实数，则2m B若z为纯虚数，则2m C当1m 时，在复平面内z对应的点为3,1ZDz的最小值为2 210 若甲组样本数据1x，2x，nx（数据各不相同）的平均数为 2，方差为 4，乙组样本数据13xa，23xa，3nxa的平均数为 4，则下列说法正确的是（）Aa 的值为-2B乙组样本数据的方差为 36C两组样本数据的样本中位数一定相同D两组样本数据的样本极差不同11下列说法正确的有（）A若12x，则1221xx的最大值是1B若 x，y，z 都是正数，且2xyz，则411xyz的最小值是 3C若0 x，0y，228xyx

6、y，则2xy的最小值是 2D若实数 x，y 满足0 xy，则22xyxyxy的最小值是42 212已知 F 为椭圆22:142xyC的左焦点，直线:0l ykx k与椭圆 C 交于 A、B 两点，AEx 轴，垂足为 E，BE 与椭圆 C 的另一个交点为 P，则（）试卷第 3页，共 4页A14AFBF的最小值为 2BABE的面积的最大值为2C直线 BE 的斜率为2kDPAB为直角第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13长方体1111ABCDABC D中，2ABAD，

7、14DD，则点 B 到平面11AC D的距离为_14已知单位向量,a b 的夹角为60，kab与a垂直，则k _15若函数 211,1,26,1axxf xxaxx的值域为R，则实数a的取值范围是_.16已知1F，2F是双曲线222210,0 xyabab的左右焦点，P 为曲线上一点，1260FPF，12PFF的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍.若该双曲线的离心率为 e，则2e _.四、解答题（共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）四、解答题（共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（10 分）已知数列 na的前 n 项和为nS

8、，且21nnSa.（1）求数列 na的通项公式na；（2）若127nS ，求 n.18（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是 4 长为的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，M 为PA 的中点，PAPD10(1)求证：PC平面 BMD；(2)求二面角 MBDP 的大小19（12 分）某校在 2021 年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率分布直方图如图所示且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩

9、在85分及以上的学生为“优秀”，且只有试卷第 4页，共 4页成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前 18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？20（12 分）在2223sin2acbBac且4B；sin31 cosbAaB；sinsinsinsinBCa

10、ACbc这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题问题：在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且_(1)求B；(2)若D为边AC的中点，且3,4ac，求中线BD长21（12 分）已知二项式*12Nnxnx的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：(1)求n的值；(2)求展开式中31x的系数；(3)计算式子061524334251606666666C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 2的值.22（12 分）已知双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点为2,0F，O 为坐标原点，点 A，B 分别在 C的两条渐近线上，点 F 在线段

11、AB 上，且OAAB，3OAOBAB.(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 F 作直线 l 交 C 于 P，Q 两点，问；在 x 轴上是否存在定点 M，使222MPMQPQ为定值？若存在，求出定点 M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.【赢在高考黄金 8 卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷 06【赢在高考黄金 8 卷】备战 2023 年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷 06考试时间：120 分钟；满分：150 分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）第 I 卷（选择题）一、单选题一、单选题1设全集 2,

12、1,0,1,2,3U ，集合2 1,2,430ABx xx，则()UAB（）A1,3B0,3C 2,1D 2,0【答案】D【分析】解方程求出集合 B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，2=4301,3Bx xx，所以1,1,2,3AB,所以U2,0AB.故选：D.2函数()21lg(2)f xxx定义域为（）A0 2，B2，C122，D12，【答案】B【分析】利用根号下的数大于等于 0，对数真数大于 0，解得函数的定义域.【详解】由题意可得：21020 xx，解得2x，故选：B.3设命题0:pxR，2010 x，则命题 p 的否定为（）Ax R，210 x Bx R，210 x C0 x

13、R，2010 x D0 xR，2010 x【答案】B【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结果.【详解】存在命题的否定为全称命题，试卷第 2页，共 18页命题 p 的否定为“x R，210 x ”，故选：B4某疫情防控志愿者小组有 20 名志愿者，由党员和大学生组成，其中有 15 人是党员，有 9 人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（）A2B3C4D5【答案】C【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果【详解】因为志愿者小组有 20 名志愿者，由党员和大学生组成，其中有 15 人是党员，有 9 人是大学生，所以由 Venn 可得既是党员又是大学生的

14、志愿者人数为159204故选：C5已知等差数列 na，nS是数列 na的前 n 项和，对任意的*Nn，均有6nSS成立，则107aa不可能的值为（）A3B4C5D6【答案】A【分析】由已知分析可得10a，公差0d，讨论当60a 时，当670,0aa，时，1a与d的关系，计算即求得107aa的取值范围,得出结果.【详解】等差数列 na，对任意的*Nn，均有6nSS成立，即6S是等差数列 na的前n项和中的最小值，必有10a，公差0d，当60a，此时56SS，5S、6S是等差数列 na的前n项和中的最小值，此时6150aad，即1=5ad，则11017944,6addaddaa当670,0aa，此

15、时6S是等差数列 na的前n项和中的最小值，此时1650aad，7160aad，即165ad ，则111171109931666aaaddaaaddda,则有1074aa，综合可得：1074aa分析选项可得：BCD 符合题意；故选：A6记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且222sinsinsinsincos1BCBCA，则A（）A6B56C3D23【答案】C【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：由题意得222222sinsincos1sinsinsinsinsinBCABCABC，由正弦定理可得222bcabc所以222

16、1cos22bcaAbc，又0,A，所以3A故选：C7第 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于916

17、，则椭圆的离心率为（）A34B74C916D32【答案】B【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)xyabab、22221(1)()()xymmamb，进而设切线AC、BD分别为1()yk xma、2yk xmb，联立方程组整理并结合0 求1k、2k关于 a、b、m 的关系式，再结合已知得到 a、b 的齐次方程求离心率即可.试卷第 4页，共 18页【详解】若内层椭圆方程为22221(0)xyabab，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()xymmamb，(,0),(0,)AmaBmb，设切线AC为1()yk xma，切线BD为2yk xmb，12222()1yk xma

18、xyab，整理得22223224222111()20a kb xma k xm a ka b，由0 知：32 222224222111(2)4()()0ma ka kbm a ka b，整理得2212211bkam，同理，222221yk xmbxyab，可得22222(1)bkma，4221249()()16bk ka，即22916ba，故22274cabeaa.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0 及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.8已知函数2()e2lnaxf xxxax，若()0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围

19、为（）A1,eB(1,)C2,eD(e,)【答案】C【分析】依题意可得22lne2lne2lnaxxaxxxx，进而可得2lnxax在0,x上恒成立，构造函数2ln()xh xx，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】()0f x 等价于22lne2lne2lnaxxaxxxx令函数()exg xx，则()e10 xg x，故()g x是增函数2lnee2lnaxxaxx等价于2ln(0)axx x，即2lnxax令函数2ln()xh xx，则222ln()xh xx当(0,e)x时，()0h x，()h x单调递增：当(e,)x时，()0h x，()h x单调递减

20、max2()(e)eh xh.故实数 a 的取值范围为2,e故选：C.二、多选题二、多选题9设mR，i是虚数单位，复数 22 izmm.则下列说法正确的是（）A若z为实数，则2m B若z为纯虚数，则2m C当1m 时，在复平面内z对应的点为3,1ZDz的最小值为2 2【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若z为实数，则虚部为 0，即2m，故A正确；若z为纯虚数，则实部为 0，即2m ，故B正确；当1m 时，3 iz，则在复平面内z对应的点为3,1Z，故C错误；22222282 2zmmm（当且仅当0m 时取等号），

21、故D正确，故选:ABD.10 若甲组样本数据1x，2x，nx（数据各不相同）的平均数为 2，方差为 4，乙组样本数据13xa，23xa，3nxa的平均数为 4，则下列说法正确的是（）Aa 的值为-2B乙组样本数据的方差为 36C两组样本数据的样本中位数一定相同D两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：3 24a，故2a ，故 A 正确；乙组样本数据方差为9 436，故 B 正确；设甲组样本数据的中位数为ix，则乙组样本数据的中位数为3

22、2ix，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故 C 错误；甲组数据的极差为maxminxx，则甲组数据的极差为 maxminmaxmin32323xxxx，所以两组样本数据的样本极差不同，故 D 正确；故选：ABD.试卷第 6页，共 18页11下列说法正确的有（）A若12x，则1221xx的最大值是1B若 x，y，z 都是正数，且2xyz，则411xyz的最小值是 3C若0 x，0y，228xyxy，则2xy的最小值是 2D若实数 x，y 满足0 xy，则22xyxyxy的最小值是42 2【答案】ABD【分析】对于 A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于 B，根据基本不等式，结合“1”

23、的妙用，可得答案；对于 C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于 D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于 A，因为12x，所以210 x，所以1 20 x，所以1122112121xxxx 111 2121 2111 21 2xxxx ，当且仅当11212xx，即0 x 时等号成立，所1221xx的最大值为1，故 A 正确；对于 B，因为 x，y，z 都是正数，且2xyz，所以13xyz，10 x，0yz，所以411411131xyzxyzxyz，所以44411111552313131yzyzxxxyzxyzxyz，当且仅当4

24、11yzxxyz，即12xyz，即11xyz时等号成立，所以411xyz的最小值为 3，故 B 正确；对于 C，因为0 x，0y，所2222xyxy，即2224xyxy（当且仅当2xy时等号成立），因为228xyxy，所以282xyxy，所以22824xyxy，所以2242320 xyxy，解得28xy（舍去）或24xy，当且仅当22xy时等号成立，所以2xy的最小值为 4，故 C 错误；对于 D，令xyt，2xys，则2xts，yst，因为0 xy，所以 x，y 同号，则 s，t 同号，所以22244242 22xyststxyxytsts，当且仅当2stts，即2st时取等号，所以22xy

25、xyxy的最大值是42 2，当且仅当2xy时，等号成立，故 D 正确故选：ABD.12已知 F 为椭圆22:142xyC的左焦点，直线:0l ykx k与椭圆 C 交于 A、B 两点，AEx 轴，垂足为 E，BE 与椭圆 C 的另一个交点为 P，则（）A14AFBF的最小值为 2BABE的面积的最大值为2C直线 BE 的斜率为2kDPAB为直角【答案】BCD【分析】根据给定条件设出点 A、P 坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆 C 的右焦点F，由椭圆对称性知线段 AB，FF互相平分于点 O，则四边形AFBF为平行四边形，如图，则|4AFBFAFAF，有

26、14114(|)()4AFBFAFBFAFBF1|4|1|4|9(5)(52)444BFAFBFAFAFBFAFBF，当且仅当|4|BFAFAFBF，即8|2|3BFAF时取“=”，A 不正确；设00(,)A xy，000 x y，则2222000000|1242422xyxyxy，当且仅当220042xy，即00|2|2xy时取“=”，即00|2xy，因AEx 轴，垂足为 E，则002|2ABEAOESSxy，B 正确；因00(,)A xy，有00ykx，由椭圆对称性可得00(,)Bxy，而00(,)E x，则直线 BE 的斜率00122BEykkx，C正确；试卷第 8页，共 18页设(,)

27、P m n，由2200142xy及22142mn得，222200042mxny，即22022012nymx，直线 PA，PB 的斜率,PAPBkk有220002200012PAPBnynynykkmxmxmx，而12PBBEkkk，于是得1PAkk，有11ABPAkkkk，所以PAB为直角，D 正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.第 II 卷（非选择题）第 II 卷（非选择题）三、填空题三、填空题13长方体1111ABCDABC D中，2ABAD，14DD，则点 B 到平面11AC D的距离为_【答案】83【分析】建立空间直角坐标系，求

28、平面11AC D的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：在长方体1111ABCDABC D中，以A为坐标原点，AB，AD，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，因为2ABAD，14AA，所以(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，1(0,0,4)A，1(2,2,4)C，设平面11AC D的法向量为：(,)nx y z11(2,2,0)AC，1(0,2,4)AD 11122002400 xyn ACyzn AD，令1z 得：(2,2,1)n 又(2,2,0)BD 点 B 到平面11AC D的距离为：22244083(2)21

29、nnBD.故答案为：83.14已知单位向量,a b 的夹角为60，kab与a垂直，则k _【答案】12#0.5【分析】由kab与a的数量积为 0 可得k值【详解】11 1 cos602a b ，kab与a垂直，则21()02kabakab ak ，12k故答案为：1215若函数 211,1,26,1axxf xxaxx的值域为R，则实数a的取值范围是_.【答案】2,【分析】分1a，1a和1a 三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当1x 时，222266f xxaxxaa，当1a 时，1x，2222665f xxa

30、xxaa，1x，111fxax，则此时函数 fx的值域不是R，故1a 不符合题意；当1a时，1x，22627fxxaxa，1x，11fxaxa，则此时函数 fx的值域不是R，故1a不符合题意；试卷第 10页，共 18页当1a 时，1x，22222666f xxaxxaaa，1x，11fxaxa，因为函数 211,1,26,1axxf xxaxx的值域为R，所以216aaa，解得2a，综上所述实数a的取值范围是2,.故答案为：2,.16已知1F，2F是双曲线222210,0 xyabab的左右焦点，P 为曲线上一点，1260FPF，12PFF的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍.若该双曲线的离心率

31、为 e，则2e _.【答案】127【分析】根据双曲线的定义，设12,PFm PFn，结合1260FPF利用余弦定理可得24mnb，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可【详解】由题意，设12,PFm PFn，因为1260FPF，故22222cos60cmnmn，即224cmnmn，根据双曲线的定义有2244camn，故24mnb.所以12PFF的面积为21sin6032Smnbo.又22224416mnmnmnab，故2223mncb.故内切圆半径r满足21232Smnc rb，解得22233brcbc.又12PFF的外接圆半径R满足2

32、2sin60cR o，故2 33cR，由题意2222 34 333cbcbc，即222236c cbbc，所以 22222236ccbbc，故22512cb，故22251212cca，解得2127e 故答案为：127四、解答题四、解答题17已知数列 na的前 n 项和为nS，且21nnSa.（1）求数列 na的通项公式na；（2）若127nS ，求 n.【答案】（1）12nna；（2）7n.【分析】（1）由na、nS的关系求1a，可得12nnaa，根据等比数列的定义，即可写出 na的通项公式na；（2）由等比数列前 n 项和公式有21nnS ，结合已知条件求 n 即可.【详解】（1）当1n 时

33、，11a ；当2n，112121nnnnnaSSaa122nnaa，即12nnaa，na是首项为1，公比为 2 的等比数列，所以12nna.（2）111nnaqSq1 21 2n21n，由127nS ，得21127n ，解得7n.18如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是 4 长为的正方形，侧面 PAD底面 ABCD，M 为 PA 的中点，PAPD10(1)求证：PC平面 BMD；(2)求二面角 MBDP 的大小【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】(1)连接 AC 交 BD 于 N，连接.MN由三角形中位线知 MNPC 即得证；(2)取 AD 的中点 O，连接 OP，.ON说

34、明 OP、OD、ON 两两相互垂直，则分别以 OD、ON、OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.Oxyz利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】（1）连接 AC 交 BD 于 N，连接.MN试卷第 12页，共 18页在正方形 ABCD 中，ACBDN，N 是 AC 的中点.又 M 是 AP 的中点，MN 是APC的中位线，MNPC，MN面 BMD，PC 面 BMD，PC平面 BMD，（2）取 AD 的中点 O，连接 OP，.ON在PAD中，PAPD，O 是 AD 的中点，OPAD，又平面PAD 平面 ABCD，OP 平面 PAD，平面PAD平面ABCDAD，OP 平面.A

35、BCD在正方形 ABCD 中，O，N 分别是 AD、BD 的中点，ONAD，OP，OD，ON 两两相互垂直，分别以 OD，ON，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.Oxyz(0,0,6)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，6(1.0,)2M，6(3,0,)2DM ，(2,0,6)DP ，(4,4,0).DB 设平面 MBD 的一个法向量1(,)nx y z，则11,nDMnDB ，即630,2440,xzxy取1x，得1(1,1,6)n，1(1,1,6)n 是平面 MBD 的一个法向量：同理，2(3,3,2)n 是平面 PBD 的一个法向量，121212c

36、os,n nn nnn 2222221313623211(6)(3)(3)(2)，设二面角MBDP的大小为，由图可知，1coscosn，232n ，且为锐角，30，故二面角MBDP的大小是30.19某校在 2021 年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率分布直方图如图所示 且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试(1)根据

37、样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出 5 人，再从这 5 人中选 2 人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前 18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？【答案】(1)82.5试卷第 14页，共 18页(2)910(3)93【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再计算出事件“5 人中选 2 人”有10

38、种可能，其中事件“至少有一人是“优秀”有9种可能，最后根据古典概型的公式即可求解；（3）由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6，列方程组求出0.04m，0.06n，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在 18%的学生分数在第四组，设为至少 x 分能进入面试，由此可得(95)0.040.02 50.18x，即可求解.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为1(8085)82.52；(2)“良好”的学生频率为(0.01 0.07)50.4，“优秀”学生频率为1 0.40.6；由分层抽样可得“良好”的学生有5 0.42人，“优秀”的学生有 3 人，将三名优秀学生分别记为

39、 A，B，C，两名良好的学生分别记为 a，b，则这 5 人中选 2 人的基本事件有：,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab共 10 种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb共 9 种，所以至少有一人是“优秀”的概率是910P(3)由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)5 4025 400.022nmnm ，又由（2）知(0.02)50.6nm，由可得0.04,0.06mn第五组人数频率为0.02 50.110%，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%，故初试时笔试成绩得分从高到低排名在 18

40、%的学生分数在第四组，设至少得 x 分能进入面试，则(95)0.040.0250.1893xx，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到93分才能直接进入复试20在2223sin2acbBac且4B；sin31 cosbAaB；sinsinsinsinBCaACbc这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题问题：在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且_(1)求B；(2)若D为边AC的中点，且3,4ac，求中线BD长【答案】(1)3B(2)372【分析】（1）若选：利用余弦定理和二倍角公式得到3sin22B，求出3B；若选：利用正弦定理和夹角公式3sin32B，求

41、出3B；若选：由正弦定理和余弦定理求出3B（2）利用余弦定理求出2 3b，利用数量积的运算即可求出BD长为392【详解】（1）若选：2223sin2acbBac，且2222cosacbacB，所以32cos sin2acBBac，所以3sin22B 又4B，所以222B，所以223B，所以3B若选：由正弦定理得sin sin3sin1 cosBAAB，因为sin0A，所以sin33cosBB，即3sin32B由40,333BB，所以233B，所以3B若选：由正弦定理得bcaacbc，即222acbac，由余弦定理得2221cos222acbacBacac，又0B，所以3B（2）在ABC中，由余

42、弦定理得2222cos9 16 1213bacacB，所以13b，又 224ACBA BCBDDABDDCBD ，试卷第 16页，共 18页所以2133 4 cos34BD ，所以中线BD长为37221已知二项式*12Nnxnx的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：(1)求n的值；(2)求展开式中31x的系数；(3)计算式子061524334251606666666C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 2的值.【答案】(1)6(2)1(3)729【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于n的等式，即可解得n的值；（2）写出展开式通项，令x的指数为3，求

43、出k的值，代入通项后即可得解；（3）在二项式中令1x 可求得所求代数式的值.(1)解：由题意可得12C222C115nnnn nn，解得6n.(2)解：612xx的展开式通项为366621661C2C2kkkkkkkTxxx，令3632k，可得6k，因此，展开式中31x的系数为606C21.(3)解：令1x 可得60615243342516066666662 1729C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 2.22已知双曲线 C：222210,0 xyabab的右焦点为2,0F，O 为坐标原点，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，点 F 在线段 AB 上，且OAAB，3OAOBAB.(1)

44、求双曲线 C 的方程；(2)过点 F 作直线 l 交 C 于 P，Q 两点，问；在 x 轴上是否存在定点 M，使222MPMQPQ为定值？若存在，求出定点 M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.【答案】(1)2213xy(2)存在，5,03M，49【分析】（1）不妨设点A在第一象限AOF，即可表示出OA，AB，根据3OAOBAB得到方程，即可求出tan，从而得到3ab=，再根据2c 及222cab，求出a、b，即可得解；（2）设点,0M m，222MPMQPQ，分别求出直线与坐标轴垂直时的值，根据为定值，得到方程，即可求出及M的坐标，再对直线l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为2xty、1

45、1,P x y，22,Q xy，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出从而计算可得；【详解】（1）解：不妨设点A在第一象限AOF，则2AOB.因为OAAB，则cos2OAOB，sin2ABOB.由已知，cos23sin2OBOBOB，即cos213sin2，即22cos2 3sincos.因为cos0，则cos3sin，即1tan3.因为为渐近线 OA 的倾斜角，则13ba，即3ab=.又222ab，则3a，1b.所以双曲线 C 的方程是2213xy.（2）解：解法一：设点,0M m，222MPMQPQ.当lx轴时，直线 l 的方程为2x，代入2213xy，得13y .不妨设点12,

46、3P，12,3Q，则22212222228333mmm.当ly轴时，直线 l 的方程为0y，代入2213xy，得3x.不妨设点3,0P，3,0Q，则2222332 326mmm.令222228263mmm，解得53m，此时250426699m.当直线l不与坐标轴垂直时，设直线l的方程为2xty，代入2213xy，得22233tyy，即223410tyty.试卷第 18页，共 18页设点11,P x y，22,Q xy，则12243tyyt，12213y yt.对于点5,03M，22222211221255133xyxyyyt22222211221211133tyytyyyyt222221212

47、12221139ttyyyyyyt22222211122222216182282262221393999333333ttttttty yyytttt224399 .所以存在定点5,03M，使22249MPMQPQ 为定值.解法二：当直线 l 不与 x 轴重合时，设了的方程为2xty，代入2213xy，得22233tyy，即223ty410ty.设点11,P x y，22,Q xy，则12243tyyt，12213y yt.在PMO 中，由余弦定理，得2222cos2MPMQPQMP MQPMQMP MQ ，设点,0M m，则1212121222MP MQxmxmy ytymtymy y 22222121222421122233tmtty ytmyymmtt22223312113mtmmt，令223121133mmm，得53m，此时2239MP MQm ，22249MPMQPQ.当直线 l 与 x 轴重合时，则点 P，Q 为双曲线的两顶点，不妨设点3,0P，3,0Q.对于点5,03M，22222255504332 363399MPMQPQ.所以存在定点5,03M，使22249MPMQPQ 为定值.