重庆市第一中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学w含答案.pdf

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1、20222023 学年重庆一中高三上学期学情调研 数学试题 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集 U=0，1，2，3，4，5，集合 M=0，1，2，集合 N=3，4，则UMN（）A5 B1，2 C3，4 D1，2，3，4 2已知复数z满足(12)5zi，则复数z（）A1 2i B12i C1 2i D1 2i 3已知xR，则“2x”是“220 xx的（

2、）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 44 位同学坐成一排看比赛节目，起身活动后随机安排一位同学去购买饮料，留下的同学继续坐下收看，若留下的同学不坐自己原来的位置（4 把椅子）且考虑留下同学的随机性，则总的坐法种数为（）A44 B36 C28 D15 5已知实数x，y满足2035000 xyxyxy，则1142xyz 的最小值为（）A18 B116 C1 D2 6 从 0，2，4 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24 B27 C30 D36 7若数列 na满足212nnapa（p为常数，nN，

3、1n），则称 na为“等方比数列”甲：数列 na是等方比数列；乙：数列 na是等比数列，则（）A甲是乙的充分非必要条件 B甲是乙的必要非充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲是乙的既非充分也非必要条件 8 已知过点(0,1)与曲线323()6(0)2af xxxx x 相切的直线有且仅有两条，则实数 a 的取值范围是（）A(2,)B(0,)C(,2)D(,0)二、选择题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9下列说法正确的有（）A一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据就是中位数

4、B分层抽样为保证每个个体等可能入样，需在各层中进行简单随机抽样 C若 AB为不可能事件，AB 为必然事件，则事件 A 与事件 B互为对立事件 D线性回归分析中，2R的值越小，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好 10下列说法正确的有（）A方程2xxyx表示两条直线 B椭圆221102xymm的焦距为 4，则4m C曲线22259xyxy关于坐标原点对称 D椭圆C：2215yx的焦距是 2 11勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分

5、，如图所示，若正四面体 ABCD的棱长为 a，则（）A能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 a B勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为614a C勒洛四面体的截面面积的最大值为21234a D勒洛四面体的体积3326,128Vaa 12下列各式或说法中正确的有（）Alg lg100 Blg ln0e C若10lg x，则100 x D若251log,2x 则5x 三、填空题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知复数1z、2z是关于x的方程26100 xx 的两个根，则122zz_ 142(1)nx的展开式中，系数最大的项是第_项 15若3341mmmCCC（m为正整数且

6、4m），则m _ 16 算法统宗是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”这首歌诀的意思是：996 斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多 17 斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花为_斤.四、解答题；本题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分）已知 na是递增的等差数列,23,a a 是方程2560 xx的两个实根.（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列2nn

7、a的前n项和nS.18（本小题满分 12 分）如图，四棱柱1111ABCDABC D的底面为菱形，ACBDO.（1）证明:1BC平面1ABD；（2）设AB 12,AA 3BAD，若1AO 平面ABCD，求三棱锥11BABD的体积.19（本小题满分 12 分）设ABC的内角,A B C所对的边长分别为,a b c，且4cos,25Bb(1)若30A，求a；(2)求ABC面积的最大值 20（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，(3,0)A，(3,0)B，C 是满足3ACB的一个动点（1）求ABC垂心 H的轨迹方程；（2）记ABC垂心 H的轨迹为，若直线 l：ykxm（0km）与交于 D

8、，E两点，与椭圆 T：2221xy交于 P，Q两点，且|2|DEPQ，求证：|2k 21（本小题满分 12 分）设数列 na的前n项和为nS，已知11a，*1121(3nnnSanN.（1）求数列 na的通项公式；（2）设32lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nT.22（本小题满分 12 分）设函数 313f xxax（0a），221g xbxb.（1）若曲线 yf x与 yg x在它们的交点1,c处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）当12ab时，若函数 h xf xg x在区间2,0内恰有两个零点，求实数a的取值范围；（3）当1a，0b 时，求函数 h xf xg x在区间,3t

9、 t 上的最小值.参考答案 1A 2C 3A 4A 设 4 位同学分别是甲乙丙丁，随机安排一位同学去购买饮料有14C种情况，不妨设选中丁去购买饮料，若甲坐丁的位置，则乙丙有 3 种坐法，若甲坐乙丙中之一的位置，则乙丙有 4 种坐法，所以总的坐法种数为1434 244C.故选：A 5B 221122242xyx yxyz，本题求z的最小值，即是求2zxy 的最大 画出题设不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示（不包含坐标轴），作出直线20 xy并平移可知，当直线经过点20 xy和350 xy的交点时，z取得最大值 解方程组20350 xyxy得12xy，所以交点坐标为1,2，所以max2 12

10、4z，所以4min1216z 故选：B.6C 第一类，从 0，2，4 中选一个数字，若选 0，则 0 只能排在十位，故有236A个奇数，第二类，从 0，2，4 中选一个数字，若不选 0，先把奇数排个位，再排其它，故有2112322224C C C A个奇数，综上可得，从 0，2，4 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为62430个，故选 C 7B 8A 由曲线323()6(0)2af xxxx x，可设切点坐标为323,602attttt，且2()336fxxax，即切线的斜率2336ktat 可得切线方程为322363362ayttttatxt

11、 ，又因为切线过点(0,1)，即 3223163362attttatt ，整理得324320tat 题中相切的直线有且仅有两条等价于方程324320tat由两个不相同的正实数解；令 32432h ttat，即函数有两个正的零点 因 21260h ttat，可解得0,2att 又 3102;2024ahha，可得2a 所以实数 a 的取值范围是(2,)故选：A 9BC 对 A，一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据或中间两个数的平均数是中位数，故 A 错误；对 B，根据随机抽样的性质可判断 B 正确；对 C，根据对立事件的定义可判断 C 正确；对 D，线性回归分析中，2R的值越大，说明残差

12、平方和越小，则模型拟合效果越好，故 D 错误.故选：BC.10AC A.方程210 xxyxx xy，即0 x 和10 xy 表示两条直线，故 A 正确；B.若方程表示焦点在x轴的椭圆，则 10201024mmmm，解得：4m，若方程表示焦点在y轴的椭圆时，则 21002104mmmm，解得：8m，所以4m 或8m，故 B 不正确；C.若点,x y满足方程22259xyxy，则点,xy也满足方程，所以曲线22259xyxy关于坐标原点对称，故 C 正确；D.椭圆C：2215yx，225,1ab，则2424cc，所以焦距是 4，故 D 不正确.故选：AC 11ABD 首先求得正四面体的一些结论：

13、正四面体ABCD棱长为a，M是底面BCD的中心，O是其外接球（也是内切球）的球心，外接球半径为R，AM是高，如图 233323BMaa，2263AMABBMa，由222BOBMOM得22263()()33RaRa，解得64Ra，612OMR（内切球半径）正四面体ABCD的体积为23136234312ABCDVaaa，外接球体积为23466348Vaa 对于 A 选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为 a，故 A 正确；对于 B 选项，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的弧面相切，如图，其中点 E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，易知该球的球心 O

14、 为正四面体 ABCD的中心，半径为 OE，连接 BE，易知 B、O、E三点共线，且BEa，64OBa，因此66144OEaaa，故 B 正确；对于 C 选项，由勒洛四面体的结构知勒洛四面体表面上任意两点间的距离的最大值为 a，最大的截面即经过四面体 ABCD表面的截面，如图，根据勒洛四面体结构的对称性，不妨设此截面为投影光线垂直于正四面体的一个面 ABD 时，勒洛四面体在与平面 ABD 平行的一个投影平面 上的正投影，当光线与平面 ABD 夹角不为 90时，易知截面投影均为上图所示图像在平面 上的投影，其面积必然减小.上图截面为三个半径为 a，圆心角为 60的扇形的面积减去两个边长为 a 的

15、正三角形的面积，即0220603323604aa 2132a，故 C 错误；对于 D 选项，勒洛四面体的体积介于正四面体 ABCD的体积和正四面体 ABCD的外接球的体积之间，正四面体 ABCD的体积31212Va，正四面体 ABCD的外接球的体积3268Va，故 D 正确.故选：ABD.12AB 对于 A，因为lg101,lg10，所以lg lg10lg10，故 A 正确；对于 B，因为ln1,lg10e，所以lg lnlg10e，故 B 正确；对于 C，因为10lg x，所以1010 x，故 C 错误；对于 D，因为251log,2x，所以12255x，故 D 错误 故选:AB.1382

16、由26100 xx 可得231x，所以，3 ix .当13iz，23iz 时，则1229 i82zz；当13iz，23iz 时，则1229i82zz.综上所述，12282zz.故答案为：82.141n 解：因为在2(1)nx的展开式中，第1r 项的系数与第1r 项的二项式系数相同，而二项展开式共有21n项，中间项的二项式系数最大，所以第1n项的系数最大，故答案为：1n 156 分析：直接利用组合数公式计算即可.详解：3341mmmCCC 11121233 23 24 3 2mmmmmmmmmm，化简得610mm，6m.故答案为6.点睛：本题考查了组合数公式的应用问题.16133 17（1）na

17、n；（2）1(1)22nnSn.（1）方程2560 xx的两个实根为2,3,na是递增数列，则232,3aa，设数列 na的公差为d,则3232,1daa,从而11a,所以数列 na的通项公式nan.（2）由（1）知,12322,1 2223 2.2nnnnnanSn 23121 22 2.1 22nnnSnn -得，231121 2222.2221 2nnnnnSnn 111222122nnnnn，11 22nnSn.18（1）证明见解析（2）33（1）依题意，11/A BAB，且/ABCD，11/ABCD，四边形11ABCD是平行四边形，11BCAD，1BC 平面1ABD，1AD 平面1A

18、BD，1BC平面1ABD.（2）依题意，12,3AAAO，在1RtAAO中，22111AOAAAO，所以三棱锥1ABCD的体积1ABCDV113BCDSAO213213433.由（1）知1BC平面1ABD，111BA BDC A BDVV 1ABCDV 33.19（1）由于4cos05B，所以B为锐角，所以23sin1 cos5BB.由正弦定理得25,13sinsin325abaaAB.（2）由余弦定理得2222cosbacacB，2288242,10555acacacacac ac，当且仅当10ac时等号成立.所以三角形ABC面积1sin2acB的最大值为1310325.20（1）22(1)

19、4xy（2y ）；（2）证明见解析 设ABC的外心为1O，半径为 R，则有22sinABRACB，又113OO BOOC，所以1cos13OOR，即1(0,1)O，或1(0,1)O，当1O坐标为(0,1)时 设(,)C x y，00,H xy，有1O CR，即有22(1)4xy（0y），由CHAB，则有0 xx，由AHBC，则有003(3)0AH BCxxy y，所以有22003(3)3(1)12xxxyyyyyy，0y，则022yy，则有220014xy（02y ），所以ABC垂心 H的轨迹方程为22(1)4xy（2y ）.同理当1O坐标为(0,1)时H 的轨迹方程为22(1)4xy（2y）

20、.综上 H的轨迹方程为22(1)4xy（2y ）或22(1)4xy（2y）（2）若取22(1)4xy（2y ），记点(0,1)到直线 l 的距离为 d，则有2|1|1mdk，所以222(1)|2 42 41mDEdk，设11,P x y，22,Q xy，联立2221ykxmxy，有2222210kxkmxm，所以224220km，2222222122|122kkmPQkkk，由|2|DEPQ，可得2222222222222418141(1)8412222kmkkmmkkkkk，所以22222248(1)212mmkkk，即有22222224181(1)22kkmmkk，所以2222222241

21、8122(1)22kkmmmkk，即22222222222221(1)101222kk mk mmmkkkk 又0，可得2212km ，所以222112kk，解得22k，故|2k 同理，若取22(1)4xy（2y），由对称性，同理可得|2k.综上，可得|2k.21（1）13nna；（2）131nnTn.（1）数列 na满足11213nnnSa，1112123nnnSan，得：111121133nnnnnaaa，即1113023nnnaan，可得132nnaan，由11a，11212213aSa，解得23a，213aa，数列 na是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则13nna；（2）由（1）

22、知13nna，则1211323log3log 321 3nnnnnnbaan，则01211 33 35 3213nnTn ，12131 33 323321 3nnnTnn ，得12121 2333213nnnTn 331221322231 3nnnnn ，131nnTn.22 （1）31()(0)3f xxax a，2()21g xbxb，2()fxxa，()2g xbx，曲线()yf x与曲线()yg x在它们的交点(1,)c处具有公共切线，(1)(1)fg，且(1)(1)fg，即1213abb，且12ab，解得13a，13b；（2）当12ab 时，3211032ah xxxaxa a，所以

23、 211h xxa xaxxa，令 0h x，解得11x ，20 xa，当x变化时，h x、h x的变化情况如下表：x(,1)1(1,)a a(,)a ()h x+0 0+()h x 极大值 极小值 所以函数 h x的单调递增区间为,1，,a，单调递减区间为(1,)a，故 h x在区间(2,1)内单调递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数 h x在区间(2,0)内恰有两个零点，当且仅当 201000hhh，即82 1203110320aaaaaaa，解得103a，所以实数a的取值范围是1(0,)3.（3）当1a，0b 时，3113h xxx，则 2111h xxxx，所以函数 h x的单调递增区间为,1，1,，单调递减区间为(1,1)，由于523h ，513h，所以 21hh，当31t，即2t 时，3min113h xh ttt；当21t 时，min513h xh；当1t 时，h x在区间,3t t 上单调递增，3min113h xh ttt；综上可知，函数 h x在区间,3t t 上的最小值为 3min11,21,35,2,13ttth xt .