线代第二章矩阵理论精品文稿.ppt

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1、来自来自 中国最大的资料库下载中国最大的资料库下载第1页，本讲稿共61页第一章 行列式作行列式(i j)第 i 行第 j 行证证证证则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素 相同.由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同,故上行列式为零,将其第 j 行展开可得类似地,有来自来自 中国最大的资料库下载中国最大的资料库下载第2页，本讲稿共61页定义定义1 1第二章 矩阵理论由由 m n 个数个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有序地排列成有序地排列成 m 行行(横排横排)n 列列(竖排竖排)的数的数表表称称为为一一个个 m m m m 行行行行 n

2、n n n 列列列列的的的的矩矩矩矩阵阵阵阵，简简记记为为(aij)m n,通通常常用用大大写写字字母母 A、B、C、表表示示.m 行行 n 列列的的矩阵矩阵 A 也写成也写成 Am n,构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而构成矩阵的每个数称为矩阵的元素，而 aij 表示矩阵表示矩阵 第第第第i i i i 行第行第行第行第j j j j 列的元素列的元素列的元素列的元素.有几种特殊的矩阵:1)只有一行的矩阵(a1,a2,an)称为行矩阵行矩阵 ；2)只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵 ;3)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若强调零矩阵零矩阵是 m 行 n 列的，则记为 Om n.第3页，本讲

3、稿共61页第二章 矩阵理论规定规定：两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相等(称它们同型同型)，且对应元素也相等，即若 A=(aij)m n,B=(bij)m n,Aij=bij (i=1,2,m;j=1,2,n)则称 A 与 B 相等，记作 A=B.注意注意：不同型的零矩阵是不相等的.有了矩阵的概念后，m 个方程 n 个未知量的线性方程组a11x1+a12x2+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+a2nxn=b2,am1x1+am2x2+amnxn=bm与 m 行 n+1 列矩阵形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线性方程组的求解.上一页第4页，本讲稿共61页例 1解解解解第二章 矩

4、阵理论写出线性方程组2 x1+x2 5 x3+4 x4 =8,x1 3 x2 5 x4 =9,2 x2 x3 +2 x4 =5,x1 +4 x2 7 x3+6 x4 =0所确定的矩阵.所求矩阵为上一页来自来自 中国最大的资料库下载中国最大的资料库下载第5页，本讲稿共61页一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法三、矩阵与矩阵的乘法四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置四、矩阵的转置第6页，本讲稿共61页定义定义1 1第二

5、章 矩阵理论一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法一、矩阵的加法和减法设有两个设有两个 m n 矩阵矩阵 A=(aij)m n,B=(bij)m n,则矩阵则矩阵称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的的和和和和，记为，记为 C=A+B.注意：注意：只有同型的矩阵才能进行加法运算.易知，矩阵的加法满足下列运算规律：(i)交换律：A+B=B+A;(ii)结合律：(A+B)+C=A+(B+C);(iii)A+O=A.这里 A、B、C、O 均为 m n 矩阵.第7页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论设矩阵 A=(aij)m n ,则称矩阵(aij)m n 为矩阵 A 的负矩阵负矩阵，记

6、为 A,即显然 A+(A)=O .利用负矩阵，定义矩阵的减法为A B =A+(B)=(aij bij)m n.注意注意：两矩阵只有同型，才能进行减法运算.上一页来自来自 中国最大的资料库下载中国最大的资料库下载第8页，本讲稿共61页定义定义2 2第二章 矩阵理论二、二、二、二、数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法设设 为常数为常数,矩阵矩阵 A=(aij)m n,则称矩阵则称矩阵(aij)m n 为为数数数数 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵A A A A 的乘积的乘积的乘积的乘积，记为，记为 A,即即易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律：(i)结合律：()A=(A)=(A);(i

7、i)分配律：(A+B)=A+B,(iii)1 A=A,(1)A=A ,其中 A、B 均为 m n 矩阵,而、为常数.(+)A=A+A;第9页，本讲稿共61页例 1第二章 矩阵理论 3 A 2 B设求 3 A 2 B.解解解解上一页第10页，本讲稿共61页定义定义3 3第二章 矩阵理论三三三三.矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法设矩阵设矩阵 A=(aik)m s,B=(bkj)s n,则定义则定义 A 与与 B 的的乘积乘积乘积乘积 C 为为C =A B注意：注意：只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第11页，本讲稿共61页例 2第二章 矩

8、阵理论设矩阵求乘积 A B 和 B A.=14+0(1)+3224+1(1)+0211+01+3021+11+00解解解解 由例 2 可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至 A 与 B 可以相乘，而 B 与 A 不能相乘.故通常把 A B 说成“A 右乘以 B ”或 “B 左乘以 A ”.上一页第12页，本讲稿共61页例 3第二章 矩阵理论设试证试证：(1)A B=O;(2)A C=AD.1)=O;2)故 A C =A D .由例 3 知矩阵乘法不满足消去律，且两个非零矩阵的乘积可能是零阵.证证证证上一页第13页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论1)在数与数的乘法中：a b=b a (交换律),在矩

9、阵的乘法中：A B BA;比较：比较：2)在数与数的乘法中：a b=a c (a 0)b=c(消去律),3)在数与数的乘法中：a b =0 a=0 或 b=0,在矩阵的乘法中：A B =O A=O 或 B=O.虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，但可以证明它满足下列运算规律:(1)结合律：(A B)C=A(B C);(2)分配律：A(B+C)=A B+A C，(B+C)A=B A+C A;(3)(A B)=(A)B=A(B),为常数.上一页在矩阵的乘法中：A B =AC B=C ;第14页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论方程组的矩阵表示：方程组的矩阵表示：设方程组为a11 x1+a12 x2+

10、a1n xn=b1,a21 x1+a22 x2+a2n xn=b2,am1 x1+am2 x2+amn xn=bm.令：系数矩阵系数矩阵系数矩阵系数矩阵则上述方程组可用矩阵表示为 A X=B.上一页第15页，本讲稿共61页定义定义4 4第二章 矩阵理论四、四、四、四、矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置将将 m n 矩阵矩阵 A 的行和列互换而顺序不变，得到的的行和列互换而顺序不变，得到的 n m 矩阵称为矩阵称为 A 的的转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置矩阵，记作，记作 AT 或或 A.如可以证明，矩阵的转置满足下列规律：1)(A T)T=A;2)(A+B)T=A T+B T;3)(A)T=

11、A T,为常数；4)(A B)T=B T AT.4)的结论可推广到多个矩阵的情况，即(A1 A2 An)T=AnT A2T A1T .证证证证第16页，本讲稿共61页一、方阵一、方阵一、方阵一、方阵二、分块矩阵二、分块矩阵二、分块矩阵二、分块矩阵第17页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论一、方阵一、方阵一、方阵一、方阵行数与列数相同的矩阵称为方阵方阵，其行数(列数)称为该矩阵的阶阶.如 n n 矩阵 A 称为 n 阶方阵，简记为 An .若 A 为 n 阶方阵，则可定义幂幂的运算，记A A=A 2,A A A =A 3,A A A =A k .k个显然有 A k A l=A k+l ,(A k)

12、l =A k l (其中 k,l 均为正整数).设 A、B 均为 n 阶方阵，一般地(A B)k A k B k .注意：注意：来自来自 中国最大的资料库下载中国最大的资料库下载第18页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论方阵 A 构成的行列式记为|A|或 detA.若|A|0,则称 A 为非非奇奇异异(非非退退化化)的；若|A|=0,则称 A 为奇异的奇异的.A 与|A|不同，前者是矩阵，它只是一个 “数表”，后者表行列式，它是一个特定的 “数”，且只有方阵才有它对应的行列式.注意注意：由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：1)|A|=n|A|;2)|A B|=|A|B|;3)|A m|=|A|m

13、,其中 A、B 均为 n 阶方阵，为常数,m 为正整数.由以上结论可知，非奇异方阵的积仍是非奇异方阵.又|A|=|AT|,故矩阵的转置矩阵也是非奇异方阵.有几种重要的方阵以后常用到：单击 此处 可查阅进一步内容.2.2上一页第19页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论1)单位矩阵单位矩阵 对任何矩阵 Am n 或 An m,有Am n En=Am n,En An m=An m .故 En 在矩阵的乘法运算中，其作用类似于数的乘法运算中的“1”.若不强调矩阵的阶，则将单位矩阵简记为 E.上一页第20页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论2)对角矩阵对角矩阵特别，当 a11=a22=ann=k 时,称为

14、数量矩阵数量矩阵，即=k E.对于对角阵，有上一页第21页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论3)三角矩阵三角矩阵：分为上三角矩阵和下三角矩阵两种上三角矩阵上三角矩阵：下三角矩阵下三角矩阵：4)对称阵对称阵：若 A T=A,即 aij=aji (i,j=1,2,n),则称 A 为对称阵，如即为一个三阶对称阵.对称阵的特点是：它的元素关于主对角线对应相等.上一页第22页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 15)反对称阵反对称阵：若 AT =A,即 ai j =aj i (i=1,2,n),则称为 A 为反对称阵.这时 ai i=0(i=1,2,n)，即反对称阵的主对角线上元素全为零.如为三阶反对称阵

15、.设 A 为任一方阵，证明 A+A T 为对称阵，A A T 为反对称阵.(A+A T)T =A T +(A T)T =A T +A=A+A T ,(A A T)T =A T (A T)T =A T A=(A AT),故 A+A T 为对称阵，而 A A T 为反对称阵.证证证证上一页第23页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论二、分块矩阵二、分块矩阵二、分块矩阵二、分块矩阵将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵横线分成许多的矩阵，每个小矩阵称为 A 的子块子块，以子块作元素的矩阵 A 称为分块矩阵分块矩阵.如：其中A21 =(2,5),A22 =(3,1),A31 =(4,0),A32 =(1,2)为

16、分块矩阵 A 的子块.将矩阵进行分块后，大矩阵之间的运算可转化为若干个小矩阵的运算，这样可简化运算.第24页，本讲稿共61页对于同一矩阵，可以根据其不同的特点或不同需要进行不同的划分，如上述矩阵也可划分成在对分块矩阵进行运算时，要注意以下几点：在对分块矩阵进行运算时，要注意以下几点：1)计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同的划分，以保证对应子块同型；2)计算两个矩阵的乘法时，要使对第一个矩阵列的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块能相乘；3)求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转置后，再将每个子块转置.第二章 矩阵理论上一页第25页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论若矩阵

17、 A 经过某种分块后，能划分成如下形式：其中 A,A2,Am 均为方阵，则称 A 为准对角矩阵准对角矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质.如就是一个准对角矩阵.上一页第26页，本讲稿共61页一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩第27页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换在中学时用高斯消元法解线性方程组时，要将一个较复杂的方程组变为一个较简单的同解方程组，往往需将某些方程进行下列三种变形：1)互换两个方

18、程的位置；2)将某个方程两边同时乘以一个不为零的常数 ；3)将某个方程乘以一个数 后加到另一个方程上去，若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变形实际上是对方程组对应的矩阵进行变形，这种变形就是矩阵的初等变换.定义定义1 1对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换:1)互换矩阵的两行互换矩阵的两行(记作记作 ri rj);2)以数以数 0 乘以矩阵的某一行乘以矩阵的某一行(记作记作 ri );3)将矩阵的某一行各元素乘以数将矩阵的某一行各元素乘以数 后加到另一行的对应元素上去后加到另一行的对应元素上去(记作记作 ri+rj ).将行

19、换成列，则称为矩阵的将行换成列，则称为矩阵的初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换 (所用记号将所用记号将 r 换成换成 c).第28页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论矩阵的初等行变换与列变换统称为矩阵的初等变换初等变换.如：c1c2r3+(2)r1上一页第29页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵二、初等矩阵单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.初等矩阵共三种：1)ri rj ,得第 i 行第 j 行2)ri (0)，得第 i 行3)ri +rj，得 第 i 行第 j 行第30页，本讲稿共61页 第二章 矩阵理论三种列变换也同样对应

20、上三种初等矩阵EP(i,j),EP(i(),Eci cjci cj+ciP(i,j().可以验证：定理定理1 1设设 A 是是一一个个 m n 矩矩阵阵，则则对对 A 施施行行一一次次初初等等行行变变换换相相当当于于 A 左左乘乘以以一一个个相相应应的初等矩阵；对的初等矩阵；对 A 施行一次列变换，相当于施行一次列变换，相当于 A 右乘以一个相应的初等矩阵右乘以一个相应的初等矩阵.上一页第31页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论如r1r3=A1.而=A1 ,又如c1c3=A2 ,而于是，矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算.=A2,上一页第32页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论三、矩阵的秩三、矩阵

21、的秩三、矩阵的秩三、矩阵的秩定义定义2 2设设 A 为为 m n 矩矩阵阵，在在 A 中中任任取取 k 行行 k 列列(1 k min(m,n),由由这这 k 行行 k 列列交交叉叉处处的的 k2 个个元元素素(不不改改变变它它们们的的相相对对位位置置)所所构构成成的的行行列列式式称称为为 A 的的一一个个 k k k k 阶子式阶子式阶子式阶子式选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一阶子式，选取 A 的第一、三行及二、三列,如：而 A 的唯一的三阶子式为则得 A 的一个二阶子式第33页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 (1 k min(m,n).这

22、些子式中有的为零，有的不为零，对于不为零的子式，有定义定义3 3A 的不为零的子式的最高阶数称为的不为零的子式的最高阶数称为矩阵矩阵矩阵矩阵 A A A A 的秩的秩的秩的秩，记为，记为 r(A).由上定义可知(1)若 A 为 m n 矩阵,则 r(A)m 且 r(A)n;(2)若 A 为 n n 矩阵,则 r(A)n:r(A)=n:|A|0(非奇异阵)称 A 为满秩阵,r(A)n:|A|=0(奇异方阵)称 A 为降秩阵.关于矩阵的秩，有定理定理 2 2若矩阵若矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 k 阶子式不为零，而所有阶子式不为零，而所有 k+1 阶子式全阶子式全为零，则为零，则 r(A)=

23、k.证证证证上一页第34页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论利用定义 3 或定理 2 求矩阵的秩较困难，因为 A 的各阶子式的值不易看出来，因此需要借助矩阵的初等变换.可以证明于是利用定理 3 可以通过初等行变换行变换把矩阵变成较简单的形式，从而直接看出矩阵的秩.证证证证定理定理3 3对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变.上一页第35页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 1求矩阵的秩.r23r1r3r1r3r2=A1,解解解解上面最后一个矩阵故 r(A1)=2,从而 r(A)=2.三阶子式全为零，而可找到一个二阶子式不为零，如称为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，易知 A1

24、的任一用初等行变换求矩阵的秩的步骤:行变换右端矩阵称为阶梯型矩阵阶梯型矩阵，有 r 行不全为零，则 A 的秩为 r.上一页第36页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 3已知矩阵的秩为 2,求 t 的值.r(A)=2 3 t =0,即 t =3 .解解解解若对阶梯形矩阵再施行列变换，则可化为最简形式：右端矩阵称为 A 的标准形标准形，其左上角为一个 r 阶单位阵(r=r(A),其余元素全为零.由上可知，秩为 r 的 m n 矩阵有相同的标准型，且若 A 为 n 阶满秩阵(r(A)=n,|A|0),则 A 的标准型为 n 阶单位阵 E.上一页第37页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 2求 A 的

25、秩.解解解解故 A 的秩为 4.上一页第38页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 4的标准型.A行变换求解解解解上一页第39页，本讲稿共61页一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用第40页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论一、逆矩阵的定义一

26、、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义由定义 1 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆互逆的.定义定义1 1设设 A 是一个是一个 n 阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在 n 阶方阵阶方阵 B,使使A B=B A=E ,则称则称 B 为为 A 的的逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵，此时也称，此时也称 A 可逆可逆可逆可逆.定理定理1 1若矩阵若矩阵 A 是可逆的，则是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.设 B、C 均为 A 的逆矩阵，则C=C E=C(A B)=(C A)B=E B=B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.由矩阵 A 的逆矩阵的唯一

27、性，记 A 的逆矩阵为 A1.证证证证 第41页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 2例 1设 a11 a22 ann 0,则由定义可直接验证对角矩阵的逆矩阵若方阵 A1,A2,Am 均可逆，则准对角矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵上一页第42页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式二、矩阵可逆的条件及求逆公式定义定义2 2设设 n 阶方阵阶方阵Aij 为元素为元素 aij 的代数余子式的代数余子式 (i,j=1,2,n),称为矩阵称为矩阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵.则矩阵则矩阵例 3解解解解求矩阵的伴随

28、矩阵 A*.A11=a22,A12=a21,A21=a12,A22=a11,第43页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 4解解解解求三阶矩阵的伴随矩阵 A*.A11 =2,A12 =3,A13 =2,A21 =6,A22 =6,A23 =2,A31 =4,A32 =5,A33 =2,故定理定理 2 2且且其中其中 A*为为 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.方阵方阵 A 可逆可逆|A|0,证证证证上一页第44页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 5解解解解 设求 A1.|A|0,上一页第45页，本讲稿共61页例 6第二章 矩阵理论设求 A1.令则为准对角矩阵,且|A1|=5 4=1 0,|A2|=10

29、 12=2 0,解解解解上一页第46页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 7求例 3 中由例 3 知的逆矩阵.解解解解而由定理 2 还可得|A|B|=|A B|=|E|=1 ,且 A 1=A 1 E=A 1(A B)=(A 1 A)B=B.则|A|0,A 可逆 ,推论推论设设 A、B 均为均为 n 阶方程，若阶方程，若 A B=E(或或 B A=E),则则 B=A 1 .证证证证上一页第47页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质矩阵的逆满足下列性质：矩阵的逆满足下列性质：1)(A1)1 =A;2)3)(A T)1 =(A1)T;4)(

30、A B)1 =B 1 A1;5)6)若 A B=A C 且 A 可逆 B=C.性质 4 还可推广到 m 个方阵的情形，即特别：特别：(A m)1 =(A1)m .第48页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵四、用初等行变换求逆矩阵定理定理 3 3若方阵若方阵 A 可逆，则存在有限个初等矩阵可逆，则存在有限个初等矩阵P1,P2,Pm ,使使A=P1 P2 Pm .A 可逆，则 r(A)=n,从而 A 的标准形为 n 阶单位矩阵 E.于是存在有限次初等变换使 A 化为 E；反之，也存在有限次初等变换使 E 化为 A.故 P1,P2

31、,Pm使P1 P2 Ps E Ps+1 Pm=A ，即 A=P1 P2 Pm 。证证证证显然初等矩阵的行列式均不为零，即 P1,P2,Pm 均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵，由A =P1 P2 Pm得而由上两式知，A 经过一系列初等行变换变为 E，则 E 经过同样的行变换变为 A1,即(A|E)初等行变换(E|A1).第49页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 8解解解解设求 A1.(A|E)=故上一页第50页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用1)解方程解方程设 n 个方程 n 个未知量的线性方程组为A X =B其中 A=(aij)n

32、n.若|A|0,则 A1 存在，且X=A 1 B这实际上是克莱姆法则的矩阵表示，若求出 A1,则能得到方程组的解.第51页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 9解解解解设方程组为 x1+2 x2+3 x3 =1.2 x1+2 x2+x3 =1,3 x1+4 x2+3 x3 =3,解此方程组.令原方程组为 A X=B,X=A1 B ,由于|A|=2 0,A 可逆，故而即 x1=8,x2=9,x3=3.上一页第52页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 102)解矩阵方程解矩阵方程设 0解解解解上一页求 X.第53页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论例 11设 A、B 为三阶矩阵，I 为三阶单位阵，满

33、足 A B +I =A2+B,又已知求 B.由 A B+I =A2+B A B B=A 2 I ,(A I)B =(AI)(A+I ).|AI|0,A I 可逆.故 B=A+I解解解解上一页第54页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论设 A=(aij)m s,B=(bij)s n,则 (A B)T 是 n m 矩阵.而 A T 是 s m 矩阵，B T 是 n s 矩阵,故 B T A T 也是 n m 矩阵.又 (A B)T 中第 i 行第 j 列的元素是 A B 中第 j 行第 i 列的元素,即(j=1,2,n;i=1,2,m)证证证证b1i aj1+b2i aj2+bsi ajs=aj1 b

34、1i+aj2 b2i+ajs bsi(j=1,2,n;i=1,2,m)故 (A B)T =B T A T.而 B T 的第 i 行为(b1i,b2i,bsi),A T 的第 j 列为 (aj1,aj2,ajs)T,故 B T A T 中第 i 行第 j 列的元素为第55页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论证证证证|A B|=|A|B|.先看一下特殊情形，即 A 是一个对角矩阵的情形，设令 B =(bij),则由行列式的性质得第56页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论现在看一般情形，由引理知，可以通过第三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 A0，并且有|A|=|A0|,反过来，也可以通过第三种初等变

35、换把 A0 化为 A，这就是说，存在着一系列的 P(i,j()型矩阵 P1,P2,Pq,使故A =P1 P2 Ps A0 Ps+1 PqA B =P1 P2 Ps A0 Ps+1Pq B .上述结论可推广到 m 个矩阵的情形.设 A1,A2,A m 为 m 个 n 阶方阵，则|A1A2Am|=|A1|A2|Am|.由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因对它施行第三种初等变换而改变，换一句话说，用一些 P(i,j()型的初等矩阵乘以一个 n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式.因此，注意到 A 0 是一个对角矩阵，我们有第57页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论证证证证由于 A 的所有 k+1 阶子式

36、全为零，则 A 的任一 k+2 阶子式按某行(列)展开后必为零，进而全部高于 k+1 阶的子式全为零，又 A 中至少有一个 k 阶子式不为零,故 r(A)=k.第58页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论证证证证只要证明每一种初等行变换都不改变矩阵的秩就行了.1)设对 A 施行第一种初等行变换后成为 B，则因行列式交换两行仅改变符号，而 B 的每一子式与 A 中对应的子式或者相等，或者仅改变符号，故秩不变2)设对 A 施行第二种初等行变换后而成为 B，则因行列式的某一行乘以 (0)等于行列式乘以 ，而 B 的子式与 A 中对应的子式或者相等，或者仅差 倍，故秩不变.3)设 A 经过第三种初等行变换

37、后成为 B,且 r(A)=r,下面证 r(B)r(A),且 r(A)r(B),则有 r(A)=r(B).不失一般性，设 A 的第 i 行各元素乘以数 后加到第 j 行对应元素上去而成为 B，即第59页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论设 Mr+1 是 B 的任 一个 r+1 阶子式，这时有三种情况：(i)Mr+1 不含 B 的第 j 行,则由于 A 与 B 除第 j 行外各行均相同，故 Mr+1也是 A 的一个 r+1 阶子式，因 r(A)=r,故 Mr+1=0;(ii)Mr+1 含 B 中第 j 行且含第 i 行，则由行列式的性质知，Mr+1 的值等于 A 中含第 i 行和第 j 行相应元素的

38、对应子式，故 Mr+1=0;(iii)Mr+1 只含 B 中第 j 行而不含第 i 行，则由行列式的性质有Mr+1 =N r+1+Pr+1 ,这里 Nr+1 和 Pr+1 均是 A 的 r+1 阶子式，它们均为零，故 Mr+1=0 .由于 Mr+1 只含有上述三种情况，故 B 的任一个 r+1 阶子式全为零，由此 r(B)r(A)=r.另一方面，又可将 A 看成 B 经第 i 行乘以 ()后加到第 j 行得来的，故同样有 r(A)r(B).故 r(A)=r(B).第60页，本讲稿共61页第二章 矩阵理论证证证证必要性必要性：设 A 可逆，则 A 1,使A A1=E,则|A|A1|=|A A1|=|E|=1 ,故|A|0.充分性：充分性：设|A|0,记 A=(aij)n n,由 Laplace 展开定理有=|A|E ,=|A|E .于是从而第61页，本讲稿共61页