线性代数 行列式的对换精品文稿.ppt

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1、线性代数线性代数 行列式的行列式的对换对换第1页，本讲稿共17页一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如第2页，本讲稿共17页二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.第3页

2、，本讲稿共17页当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与第4页，本讲稿共17页次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.第5页，本讲稿共17页推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列

3、的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有第6页，本讲稿共17页记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应

4、并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而第7页，本讲稿共17页定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.第8页，本讲稿共17页下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.第9页，本讲稿共17页例例2 2 在六阶行列式中，下列两

5、项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.第10页，本讲稿共17页行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.第11页，本讲稿共17页例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算第12页，本讲稿共17页解解第13页，本讲稿共17页 1.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结第14页，本讲稿共17页其中其

6、中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.第15页，本讲稿共17页思考题思考题证明证明 在全部在全部 阶排列中阶排列中 ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半.第16页，本讲稿共17页思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列,个偶个偶排列排列,现来证现来证 .将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,所以所以若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,于是有于是有故必有故必有第17页，本讲稿共17页