线性代数 线性方程组解的一般理论精品文稿.ppt

《线性代数 线性方程组解的一般理论精品文稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 线性方程组解的一般理论精品文稿.ppt（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线性代数 线性方程组解的一般理论1第1页，本讲稿共29页则线性方程组的向量表达式为则线性方程组的向量表达式为令，.n 个未知量，m 个方程的线性方程组(1)=0=0:=0(2)(1)(2)2第2页，本讲稿共29页系数矩阵与增广矩阵则线性方程组的矩阵表达式为非齐次非齐次齐次齐次3第3页，本讲稿共29页（1）当m=n时，克莱姆法则 ，有解,有唯一解.有无穷多解.，无解,(2)消元法【问】【问】r 刻画了矩阵什么属性？刻画了矩阵什么属性？r=r(A)4第4页，本讲稿共29页【逆否命题】线性方程组(1)无解的充要条件是1、判定定理推论1 线性方程组(1)有唯一解的充要条件是推论2 线性方程组(1)有无

2、穷解的充要条件是推论3 线性方程组(2)仅有零解的充要条件是推论4 线性方程组(2)有非零解的充要条件是(2.2 补充定理补充定理)需证需证 一、线性方程组有解的判定定理需证需证 5第5页，本讲稿共29页2、上述判定方法与以前判定方法的比较 对齐次线性方程组对齐次线性方程组(2),若若mn，则存在非零解。，则存在非零解。推论推论1 保证了克莱姆法则的正确性保证了克莱姆法则的正确性:【说明】当mn时,一定有 ,则齐次线性方程组一定有非零解.n个个未未知知量量，n个个方方程程的的线线性性方方程程组组有有唯唯一一解解的的充充分必要条件是系数行列式分必要条件是系数行列式 D0.【说明】【说明】D0,一

3、定有一定有 =r(),则线性方程组有唯一解则线性方程组有唯一解.6第6页，本讲稿共29页例1 线性方程组有解，证明:行列式7第7页，本讲稿共29页1、齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质n个未知量的线性方程组，每个解是一个个未知量的线性方程组，每个解是一个n维向量，维向量，性质性质 若若 1与与 2是齐次线性方程组是齐次线性方程组(2)的解，则的解，则 c 1与与 1+2都都是方程组是方程组(2)的解的解,c为任意常数为任意常数.称为解向量，记做 ，代表二、齐次线性方程组解的结构8第8页，本讲稿共29页2、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 定义定义基础解系基础解系 ：齐次线

4、性方程组齐次线性方程组(2)的解的解 向向量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组量组的一个极大无关组，称为齐次线性方程组(2)的的一个基础解系。一个基础解系。(只有齐次线性方程组才有基础解系只有齐次线性方程组才有基础解系)【注】【注】基础解系中的向量应满足三点：基础解系中的向量应满足三点：是齐次线性方程组是齐次线性方程组(2)的解；的解；线性无关；线性无关；可线性表示齐次线性方程组可线性表示齐次线性方程组(2)的任一解。的任一解。推广推广 若若 1,2,t是齐次线性方程组是齐次线性方程组(2)的解，的解，则则 c1 1+c2 2+ct t 是方程组是方程组(2)的解，的解，ci为任意常数。为

5、任意常数。9第9页，本讲稿共29页【注】【注】基础解系不唯一，若基础解系不唯一，若r(A)=r,则任意则任意n-r个个线性无关的解向量都是一个基础解系，线性无关的解向量都是一个基础解系，n-r即自由未即自由未知量的个数；知量的个数；若若 1,2,n-r是齐次线性方程组是齐次线性方程组(2)的一个基的一个基础解系，则称础解系，则称 c1 1+c2 2+cn-r n-r(其中其中c1,c2,cn-r为任意常数为任意常数)是方程组是方程组(2)的的一般一般解解或或全部解全部解，。，。定理 2：若齐次线性方程组(2)系数矩阵A的秩r(A)=rn,则该方程组有基础解系，并且基础解系中解向量的个数是n-r

6、。10第10页，本讲稿共29页例2 求齐次线性方程组的一般解解A11第11页，本讲稿共29页令得到基础解系一般解(c1,c2,c3为任意常数.)12第12页，本讲稿共29页1、非齐次线性方程组解的性质(1)(1)定义定义导出组导出组 ：非：非齐次线性方程组齐次线性方程组(1)中的常中的常数项全换为数项全换为0，得到齐次线性方程组，得到齐次线性方程组(2)，(2)称为称为(1)的导出组。的导出组。(2)性质性质1 若若 是是(1)的解，的解，是其导出组是其导出组(2)的解，的解，则则 +是方程组是方程组(1)的解。的解。性质性质2 若若 1与与 2是方程组是方程组(1)的解，则的解，则 1 2

7、是其导出组是其导出组(2)的解。的解。三、非齐次线性方程组解的结构13第13页，本讲稿共29页方程组(1)的一个特解定理定理3 若若 0是方程组是方程组(1)的一个解，的一个解，是其导出是其导出组组(2)的全部解，即的全部解，即 c1 1+c2 2+cn-r n-r 其中其中 1,2,n-r是齐次线性方程组是齐次线性方程组(2)的一个基础的一个基础解系，则解系，则方程组方程组(1)的的全部解全部解或或一般解一般解为为 0+0+c1 1+c2 2+cn-r n-r，其中其中 ci为任意常数，为任意常数，i=1,2,n-r，0称为方程组称为方程组(1)的的一个一个特解特解。2、非齐次线性方程组解的

8、结构14第14页，本讲稿共29页【注】方程组(1)与其导出组(2)解的关系非齐次线性方程组(1)有唯一解其导出组(2)仅有零解.非齐次线性方程组(1)有无穷多解其导出组(2)有非零解.导出组导出组(2)有解有解 (1)有解有解.当非齐次线性方程组当非齐次线性方程组(1)有解时有解时(前提条件前提条件)15第15页，本讲稿共29页例3 求解线性方程组，若是无穷解，求其全部解。解16第16页，本讲稿共29页因为 ，所以方程组有无穷解，取 x2,x4,x5,为自由未知量，继续进行初等行变换等价的方程组为17第17页，本讲稿共29页令令则方程组的全部解为 0+c11+c22+c33，c1,c2,c3为

9、任意常数。18第18页，本讲稿共29页需写明判断解的理由【注】【注】求方程组求方程组(1)的解的基本步骤的解的基本步骤 对对(1)的增广矩阵化阶梯形，判断解的状况；的增广矩阵化阶梯形，判断解的状况；若若r(A)r()，则则(1)无解，无解，若若r(A)r()n(未知量个数未知量个数)，则，则(1)有唯一解，有唯一解，若若r(A)r()=rn，则，则(1)有无穷解有无穷解，此时求全部解，先求出此时求全部解，先求出(1)的一个特解的一个特解 0，再求导出组的一个基础解系再求导出组的一个基础解系 1,2,n-r，则则(1)的的全部解为全部解为 0+0+c1 1+c2 2+cn-r n-r 其中其中

10、ci，i=1,2,n-r 为任意常数为任意常数.19第19页，本讲稿共29页例4 线性方程组(重要题型)【注】【注】矩阵方法适用于任何线性方程组的讨论；矩阵方法适用于任何线性方程组的讨论；当方程个数当方程个数=未知量个数时，如果增广矩阵不容未知量个数时，如果增广矩阵不容易化阶梯形，可以先用行列式进行讨论。易化阶梯形，可以先用行列式进行讨论。20第20页，本讲稿共29页例5 设方程组 21第21页，本讲稿共29页解，方程组有唯一解；方程组无解；当当即，r(A)r()=14，方程组有，方程组有 无穷多解，此时无穷多解，此时令22第22页，本讲稿共29页得导出组的基础解系 令得方程组特解方程组一般解

11、为（为任意常数）23第23页，本讲稿共29页【注注】由于例由于例4、5恰好方程的个数和未知量的个数恰好方程的个数和未知量的个数相同相同,则也可则也可利用利用cramer法则法则:系数行列式不为零等系数行列式不为零等价于有唯一解，即先求出价于有唯一解，即先求出取何值时有唯一解取何值时有唯一解.然后然后再用增广矩阵讨论无解和无穷多解的情况再用增广矩阵讨论无解和无穷多解的情况.(该方法只适用于该方法只适用于方程个数方程个数=未知量个数未知量个数的线性方程的线性方程组组,过程略过程略)24第24页，本讲稿共29页课后习题二 28(3),29(3),30，31，32，33，34，35，36【注】【注】35题目有误题目有误最后一行改为：最后一行改为：其中其中 1=(),2=(),25第25页，本讲稿共29页思考题26第26页，本讲稿共29页27第27页，本讲稿共29页则一般解为则一般解为28第28页，本讲稿共29页定理6 设 向量组 则 线性无关 这组向量线性表示 的表示法是唯一的。29第29页，本讲稿共29页