抽象代数群的定义优秀课件.ppt

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1、抽象代数抽象代数 群的定义群的定义1第1页，本讲稿共12页 群的定义群的定义 n设非空集设非空集S上有一个运算上有一个运算 ,n1、如果运算满足结合律，则称、如果运算满足结合律，则称(S,)是是半群半群。n2、如果半群、如果半群S中有一个元素中有一个元素 e 满足满足 aS有有n e a=a e=a，n则称则称(S,e)是是幺半群幺半群，称称e为为单位元单位元 或或幺元幺元。n3、如果幺半群、如果幺半群S满足满足 aS有有S使得使得n a=a=en则称则称 a 是是可逆元可逆元，并称是，并称是 a 的一个的一个逆元逆元。n注注：通常用：通常用 1 表示单位元。表示单位元。2023/2/62第2

2、页，本讲稿共12页群定义群定义n命命题题 若若 a 是是可可逆逆元元，则则 a 的的逆逆元元是是唯唯一一的，记为的，记为 an证明：证明：若若 a 有两个逆元有两个逆元和和，即有，即有n ab=ba=1,ac=ca=1n b=1b=cab=c1=c.n5、如如果果幺幺半半群群S的的每每个个元元素素都都有有逆逆元元，则则称是一个称是一个群群(group)。n运算满足交换律的群称为运算满足交换律的群称为交换群交换群.2023/2/63第3页，本讲稿共12页群定义群定义n6、对群、对群G中的元中的元 a 和正整数和正整数 n n an 表示表示 n 个个 a 相乘相乘;n a-n=(a-1)n,a0

3、=1n7、验证：验证：amn=(am)n ;am+n=am an.2023/2/64第4页，本讲稿共12页几个问题几个问题:n(1)、为什么要求群的运算满足结合律、为什么要求群的运算满足结合律?n(2)、为什么要有单位元？为什么要有单位元？n(3)、逆元的存在性有何运算意义逆元的存在性有何运算意义?2023/2/65第5页，本讲稿共12页 群的例子群的例子 n再明确一下群的概念再明确一下群的概念n定义定义设是一个非空集合，如果上设是一个非空集合，如果上定义了一个运算满足定义了一个运算满足n（）（）结合律结合律 a,b,cA 有有(ab)c=a(bc)；n（）有单位元有单位元 e：aA有有ea=

4、ae=a；n（）有逆元有逆元 aG，有，有 b 使得使得n ab=ba=en(其中其中 b 称为称为 a 的的逆元逆元，记为，记为 a)。n则称是一个群则称是一个群n注意注意：记住验证运算的封闭性！：记住验证运算的封闭性！2023/2/66第6页，本讲稿共12页1.群的概念和例子群的概念和例子n例例实集实集、有理数集、整数集关于数的加法都有理数集、整数集关于数的加法都是是交换群交换群（满足交换律的群）；（满足交换律的群）；n关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？n规定：规定：只有交换群的运算符才能用加号只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。表示。n当交换群当交换群G的运算符才能用加号的运算

5、符才能用加号“+”表示时，则称表示时，则称G为为加群加群。n例正实集例正实集、正有理数集正有理数集关于数的乘法都是交关于数的乘法都是交换群；换群；n正整数集正整数集关于数的乘法怎么样？关于数的乘法怎么样？2023/2/67第7页，本讲稿共12页1.1.群的概念和例子群的概念和例子2023/2/68第8页，本讲稿共12页1.群的概念和例子群的概念和例子例例域上的全体域上的全体 n 阶可逆方阵阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的法构成一个群，称为上的 n 阶阶一般线性群一般线性群即即,GLn(F)，有，有ABGLn(F)封闭性封闭性 可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，可逆

6、矩阵的乘积还是可逆矩阵，结合律结合律:矩阵的乘法满足结合律；矩阵的乘法满足结合律；单位元单位元:单位矩阵就是单位元；单位矩阵就是单位元；逆逆 元元:GLn(F)，可逆，可逆，A的逆矩阵就是的逆矩阵就是的逆元的逆元2023/2/69第9页，本讲稿共12页1.群的概念和例子群的概念和例子n例例域上的行列式为域上的行列式为1的全体的全体n阶方阵之集阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为上关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的的n阶阶特殊线性群特殊线性群n例例6实数域实数域R上的全体上的全体n阶正交矩阵之集阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为关于矩阵的乘法构成一个群，称为n

7、阶阶正交群正交群2023/2/610第10页，本讲稿共12页n例例7向量空间向量空间V上的全体可逆线性变换上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群关于变换的合成运算构成一个群n例例8 n 维欧氏维欧氏空间空间V上的上的全体正交变换之集全体正交变换之集On(V)关于关于变换的合成运算变换的合成运算构成一个群构成一个群n例例9平面上绕一定点按同一方向旋转平面上绕一定点按同一方向旋转 2k /n 的变换记为的变换记为 k，则，则 1,2,n 关于变换的关于变换的合成运算构成一个群。合成运算构成一个群。2023/2/611第11页，本讲稿共12页作业：P17:1,5,6,92023/2/612第12页，本讲稿共12页