线性代数线性代数方程组的解精品文稿.ppt

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1、线性代数课件线性代数方线性代数课件线性代数方程组的解程组的解第1页，本讲稿共19页 齐次线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组解的性质与结构、计算方法都是线计算方法都是线性方程组的理论基础性方程组的理论基础,它们在实际应用与研究上都十分重它们在实际应用与研究上都十分重要要,必须熟练掌握必须熟练掌握.一个存在解的线性代数方程组称为是一个存在解的线性代数方程组称为是相容的相容的,否则就是否则就是不不相容或矛盾方程组相容或矛盾方程组.1、齐次方程组的解的结构与性质、齐次方程组的解的结构与性质设有设有mn齐次线性方程组齐次线性方程组若记它的矩阵形式为若记它的矩阵形式为一定有零解，一定有零解，总相容总相

2、容第2页，本讲稿共19页问题问题 对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以及怎对齐次方程组，在何种情况下有非平凡解，以及怎样表示出其所有的解？样表示出其所有的解？定理定理 mn齐次线性方程组齐次线性方程组存在非平凡解的充分必要条件是系数矩存在非平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩小于未知数个数，即阵之秩小于未知数个数，即 r(A)n，且在能得出其任一解的通解且在能得出其任一解的通解式中含有式中含有n-r(A)个任意常数个任意常数.说明说明 齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个

3、解.例例 求求求求3 344齐次方程组的解齐次方程组的解齐次方程组的解齐次方程组的解 第3页，本讲稿共19页解解 对系数矩阵施行初等行变换对系数矩阵施行初等行变换故故 r(A)=2,又又n=4,方程组有非零解且带有方程组有非零解且带有n-r(A)=2常数常数.与原方程组同解与原方程组同解的方程组的方程组第4页，本讲稿共19页根据根据则方程组的则方程组的通解通解为为 c1和和c2为两个任意常数为两个任意常数 称非零解向称非零解向量量 构成构成该方程组的该方程组的基基础解系础解系第5页，本讲稿共19页2、非齐次方程组、非齐次方程组一般一般m n非齐次线性非齐次线性代数方程组的矩阵代数方程组的矩阵-

4、向量形式为向量形式为 矩阵矩阵Am n为系数矩阵，分块矩阵为系数矩阵，分块矩阵 与与之具有相同系数矩阵的方程组之具有相同系数矩阵的方程组为为增广矩阵增广矩阵，为其为其对应齐次方程组对应齐次方程组(也称为也称为导出组导出组).).第6页，本讲稿共19页非齐次方程组不一定有解，而有重要的非齐次方程组不一定有解，而有重要的相容性定理相容性定理定理定理 对非齐次方程组对非齐次方程组(1)(1)当当 时时，方程组相容，即方程组相容，即有解有解.具体为具体为若若方程组有无限多个解，其通解式中方程组有无限多个解，其通解式中的相容性的相容性,有如下结论：有如下结论：若若 则方程组有惟一确定的解则方程组有惟一确

5、定的解.带有带有n-r(A)个任意常数个任意常数.当当 (2)(2)时，方程组不相容，即时，方程组不相容，即无解无解.（n 表示未知数的个数）表示未知数的个数）方法方法 判定判定 ，只需对增广矩阵实施初等，只需对增广矩阵实施初等行行变换至变换至行行阶梯形矩阶梯形矩阵即可看出阵即可看出第7页，本讲稿共19页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解 增广矩阵增广矩阵r(A)=2，r(A,b)=3，r(A)r(A,b)，第第 3 行对应的方程是行对应的方程是 0=2，产生矛盾，产生矛盾，故原线性方程组无解故原线性方程组无解第8页，本讲稿共19页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组

6、解解 增广矩阵增广矩阵r(A)=r(A,b)=4（未知数的个数），（未知数的个数），故原线性方程组有唯一解故原线性方程组有唯一解 x1=3，x2=4，x3=1，x4=1第9页，本讲稿共19页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解 增广矩阵增广矩阵r(A)=r(A,b)=3 4（未知数的个数）（未知数的个数）故原线性方程组有无穷多解故原线性方程组有无穷多解第10页，本讲稿共19页解解得与原方程组同解的方程组得与原方程组同解的方程组取取x3作作自由变量自由变量，则，则令令x3=c，则其则其通解为通解为第11页，本讲稿共19页例例 设有线性方程组设有线性方程组问问l l 取何值时，此方程

7、组有取何值时，此方程组有(1)(1)唯一解；唯一解；(2)(2)无解；无解；(3)(3)有有无限多个解？并在有无限多解时求其通解无限多个解？并在有无限多解时求其通解解解1 1 对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵第12页，本讲稿共19页第13页，本讲稿共19页分析分析 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取什么值时，第取什么值时，第2 2、3 3行是非零行行是非零行在第在第2 2、3 3行中，有行中，有5 5处地方出现了处地方出现了l l，要使这，要使这5 5个元素等于零，个元素等于零，l l=0=0，3

8、 3，3 3，1 1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这4 4个可能取值逐一进行讨论，个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有先从方程组有唯一解入手唯一解入手第14页，本讲稿共19页于是于是 当当 l l 0 且且 l l 3 时时，r(A)=r(A,b)=3，有唯一解，有唯一解 当当 l l=0 时时，r(A)=1，r(A,b)=2，无解，无解.第15页，本讲稿共19页于是于是 当当 l l 0 且且 l l 3 时时，r(A)=r(A,b)=3，有唯一解，有唯一解 当当 l l=0 时时，r(A)=1，r(A,b)=2，无解，无解.当当 l l=3 时时，r(A)=r(A,b)=2，有无限多

9、解，有无限多解第16页，本讲稿共19页解解2 2 因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充要是方阵，所以方程组有唯一解的充要条件是条件是|A|0 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解余下的步骤同余下的步骤同解法解法1 1第17页，本讲稿共19页注注 比较解法比较解法1 1与解法与解法2 2，解法，解法2 2比较简单，但解法比较简单，但解法2 2的方法只的方法只适用于系数矩阵是适用于系数矩阵是方阵方阵的情形的情形对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l+1，l l+3 等因式等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作了这样的变换，则需对 l l+1=0（或或 l l+3=0）的情况另作讨论的情况另作讨论 第18页，本讲稿共19页作业作业P108.5(2)P116.6(2),8(1)P117.4-5 第19页，本讲稿共19页