线性系统的可控性与可观测性精品文稿.ppt

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1、线性系统的可控性与可观测性1第1页，本讲稿共66页3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据（）3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（线性定常连续系统的可观测性判据（）3.4 对偶原理第三章 线性系统的可控性与可观测性2第2页，本讲稿共66页3.1 3.1 可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义可控性和可观测性的定义 一可控性与可观测性的物理概念一可控性与可观测性的物理概念一可控性与可观测性的物理概念一可控性与可观测性的物理概念 系系系系统统统统的的的的可可可可控控控控性性性性和和和和可可可可观观观观性性性性，

2、就就就就是是是是指指指指系系系系统统统统内内内内的的的的所所所所有有有有状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。状态是否可以由输入影响和是否可由输出反映。p如如果果系系统统内内部部的的所所有有状状态态的的运运动动都都可可由由输输入入来来影影响响和和控控制制而而由由任任意意的的初初始始状状态态达达到到原原点点，则则称称系系统统是是可可控控的的，或或者者更更确确切切的的说说是是状状态态可可控控的的，否否则则就就称称系系统统为为不不完完全全可可控控的，或简称为系统不可控的，或简称为系统不可控。p如如果果系系统统内内

3、部部所所有有状状态态变变量量的的任任意意形形式式的的运运动动均均可可由由输输出出完完全全反反映映，则则称称系系统统是是状状态态可可观观测测的的，否否则则就就称称系系统统为为不不完完全可观测的，或简称为系统不可观测全可观测的，或简称为系统不可观测。3第3页，本讲稿共66页例3-1：给定系统的状态空间描述为结结构构图图表表明明：通通过过控控制制量量u可可以以控控制制状状态态x1和和x2，所所以以系系统统完完全全能能控控；但但输输出出y只只能能反反映映状状态态变变量量x2，不不能能反反映映状状态变量态变量x1，所以系统不完全能观测。，所以系统不完全能观测。图图3-1 系统结构图系统结构图4第4页，本

4、讲稿共66页二二 可控性定义可控性定义1状态可控状态可控考虑n维线性时变系统的状态方程如果对取定初始时刻 的一个非零初始状态x(t0)=x0，存在一个时刻 和一个无约束的容许控制u(t)，使状态由x(t0)=x0转移到t1时的x(t1)=0，则称此x0是在时刻t0可控的.5第5页，本讲稿共66页2系统可控系统可控如果状态空间中的所有非零状态都是在t0（）时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的，简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统是一致可控的。考虑n维线性时变系统的状态方程6第6页，本讲稿共66页3系统不完全可控系统不完全可控 对于线性时变系统取定初始时刻 ，如果状态

5、空间中存在一个或一些非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。7第7页，本讲稿共66页4状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于线性时变系统若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达到或一致可达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻完全可达的，或简称系统是t0时刻可达的。8第8页，本讲稿共66页三可观测性定义三可观测性定义1系统完全可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在

6、一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)能能唯唯一一确确定定状状态态向向量量的的初初值值x(t0)，则则称称系系统统在在t0,t1内内是是完完全全可可观观测测的的，简简称称可可观观测测。如如果果对对于于一一切切t1t0系统都是可观测的，则称系统在系统都是可观测的，则称系统在t0,)内是完全可观测的。内是完全可观测的。9第9页，本讲稿共66页2系统不可观测 对于线性时变系统对于线性时变系统如如果果取取定定初初始始时时刻刻 ，存存在在一一个个有有限限时时刻刻 ,对对于于所所有有 ，系系统统的的输输出出y(t)不不能能唯唯一一确确定定所所有有状状态态的的初初值值x

7、i(t0)，i=0,1,n，即即至至少少有有一一个个状状态态的的初初值值不不能能被被y(t)确确定定，则则称称系统在系统在t0,t1内是不完全可观测的，简称不可观测。内是不完全可观测的，简称不可观测。10第10页，本讲稿共66页3.2 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据()一、线性定常连续系统的可控性判据（一、线性定常连续系统的可控性判据（）1 1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主

8、要用于理论分析中。11第11页，本讲稿共66页证：充分性：已知W(0,t1)为非奇异，欲证系统为完全可控，采用构造法来证明。对任一非零初始状态x0可构造控制u(t)为：则则u(t)作用下系统状态作用下系统状态x(t)在在t1时刻的结果时刻的结果:这这表表明明：对对任任一一取取定定的的初初始始状状态态x00，都都存存在在有有限限时时刻刻t10和和控控制制u(t)，使使状状态态由由x0转转移移到到t1时时刻刻的的状状态态x(t1)=0，根根据定义可知系统为完全可控。据定义可知系统为完全可控。12第12页，本讲稿共66页必要性：已知系统完全可控，欲证W(0,t1)非奇异。反设W(0,t1)为奇异，即

9、存在某个非零向量 ，使其中其中|为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有为范数，故其必为非负。欲使上式成立，必有13第13页，本讲稿共66页因系统完全可控，根据定义对此非零向量 应有 0此此结结果果与与假假设设 相相矛矛盾盾，即即W(0,t1)为为奇奇异异的的反反设设不不成成立立。因此，若系统完全可控，因此，若系统完全可控，W(0,t1)必为非奇异。必为非奇异。14第14页，本讲稿共66页2 2秩判据（秩判据（秩判据（秩判据（）1）凯莱-哈密尔顿定理：设n阶矩阵A的特征多项式为则矩阵A满足其特征方程，即2）推论推论1：矩阵矩阵A的的k(kn)次幂可表示为次幂可表示为A的的(n-1)阶多项式阶多

10、项式注：注：此推论可用以简化矩阵幂的计算。此推论可用以简化矩阵幂的计算。15第15页，本讲稿共66页3）推论2：矩阵指数函数可表示为A的(n-1)阶多项式例例3-4：已知：已知 ，计算，计算A100=?解：解：A的特征多项式为：的特征多项式为：由凯莱由凯莱-哈密顿定理，得到哈密顿定理，得到16第16页，本讲稿共66页故根据数学归纳法有根据数学归纳法有所以：所以：17第17页，本讲稿共66页4 4）秩判据（）秩判据（）秩判据（）秩判据（）线性定常系统 完全可控的充分必要条件是 其中:n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。注：秩判据是一种比较方便的判别方法。18第18页，本讲稿共66页证明：充

11、分性：已知rankS=n，欲证系统完全可控，采用反证法。反设系统为不完全可控，则有：为奇异，这意味着存在某个非零为奇异，这意味着存在某个非零n维常向量维常向量使使将上式求导直到将上式求导直到(n-1)次，再在所得结果中令次，再在所得结果中令t=0，则可得，则可得到到:19第19页，本讲稿共66页由由 于于0，所所 以以 上上 式式 意意 味味 着着 S为为 行行 线线 性性 相相 关关 的的，即即rankSn。这这显显然然与与已已知知rankS=n相相矛矛盾盾。因因而而反反设设不不成立，系统应为完全可控，充分性得证。成立，系统应为完全可控，充分性得证。必必要要性性：已已知知系系统统完完全全可可

12、控控，欲欲证证rankS=n，采采用用反反证证法法。反反设设rankSn，这这意意味味着着S为为行行线线性性相相关关，因因此此必必存存在在一一个个非非零零n维维常常向向量量 使使成立。成立。20第20页，本讲稿共66页（由凯莱（由凯莱哈密尔顿定理）哈密尔顿定理）21第21页，本讲稿共66页因因为为已已知知0，若若上上式式成成立立，则则格格拉拉姆姆矩矩阵阵W(0,t1)为为奇奇异异，即即系系统统为为不不完完全全可可控控，和和已已知知条条件件相相矛矛盾盾，所所以以反反设设不不成成立。于是有立。于是有rankS=n，必要性得证。，必要性得证。22第22页，本讲稿共66页例3-6：已知判断其能控性。解

13、：系统阶次，确定出可控判别阵，所以系统为完全可控。23第23页，本讲稿共66页例3-7：判断下列系统的可控性解：矩阵矩阵S的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故rankS=23，系统不可控。，系统不可控。24第24页，本讲稿共66页补充：可控性判别矩阵补充：可控性判别矩阵 （）：线性定常连续系统的状态方程其其中中：x为为n维维状状态态向向量量；u为为p维维输输入入向向量量；A和和B分分别别为为(nn)和和(np)常常阵阵。该该线线性性定定常常连续系统完全可控的充要条件是：连续系统完全可控的充要条件是：其中：注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。

14、25第25页，本讲稿共66页例3-8：用可控性判别矩阵 判别例3-7所示系统的可控性。解：解：n=3,系统输入向量是系统输入向量是2维的列向量，即维的列向量，即p=2。显见矩阵显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故 ，系统不可控。，系统不可控。26第26页，本讲稿共66页3 3PBHPBH秩判据（秩判据（秩判据（秩判据（）线性定常系统 完全可控的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值 ，均成立，或等价地表示为注：当系统矩阵A的维数较高时，应用秩判据可能不太方便，此时可考虑用PBH判据试一下。27第27页，本讲稿共66页证证明明：，为为多多项项式式矩矩阵阵，且且对

15、对复复数数域域上上除除i以以外外的的所所有有s都都有有det(sI-A)0，即即ranksI-A=n，进进而有而有ranksI-A B=n，所以只要证明，所以只要证明 即可。即可。必要性：必要性：系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。系统完全可控，欲证上式成立，采用反证法。反设对某个反设对某个i 有有rankiI A B n，则意味着，则意味着 iIA B为行为行线性相关。由此，必存在一个非零常向量线性相关。由此，必存在一个非零常向量，使，使成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：成立。考虑到问题的一般性，由上式可得到：28第28页，本讲稿共66页进而可得:于是有于是有因已知因已知0，所以欲

16、使上式成立，必有，所以欲使上式成立，必有这这意意味味着着系系统统不不完完全全可可控控，显显然然与与已已知知条条件件相相矛矛盾盾。因因此此，反设不成立，即反设不成立，即rankiI A B=n成立。成立。充充分分性性：已已知知式式rankiI A B=n成成立立，欲欲证证系系统统完完全全可可控控。采采用用反反证证法法：利利用用和和上上述述相相反反的的思思路路，即即可可证证得得充充分分性。性。29第29页，本讲稿共66页例3-9：已知线性定常系统状态方程为判断系统的可控性。解：解：根据状态方程可写出根据状态方程可写出30第30页，本讲稿共66页特征方程：解得解得A的特征值为：的特征值为：1）当）当

17、 时，有时，有 31第31页，本讲稿共66页2）当）当 时，有时，有 3）当）当 时，有时，有 所以系统是完全可控的。所以系统是完全可控的。32第32页，本讲稿共66页4 4PBHPBH特征向量判据特征向量判据特征向量判据特征向量判据线性定常系统 完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：A不不能能有有与与B的的所所有有列列相相正正交交的的非非零零左左特特征征向向量量。即即对对A的的任任一一特特征征值值i，使同时满足，使同时满足的特征向量 。注：一般的说，PHB特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性系统的复频域分析中。33第33页，本讲稿共66页证明：必要性：证明：必要性：已知系统

18、完全可控，反设存在一个向已知系统完全可控，反设存在一个向量量0，使式，使式 成立，则有成立，则有由由于于0，所所以以上上式式意意味味着着S为为行行线线性性相相关关的的，即即rankSn，即即系系统统为为不不完完全全可可控控。与与已已知知条条件件相相矛盾，因而反设不成立，必要性得证。矛盾，因而反设不成立，必要性得证。充分性：充分性：对充分性的证明也用反证法，可按与以上对充分性的证明也用反证法，可按与以上相反的思路来进行，具体推证过程略去。相反的思路来进行，具体推证过程略去。34第34页，本讲稿共66页5 5约当规范型判据约当规范型判据约当规范型判据约当规范型判据1 1）对角规范型系统）对角规范型

19、系统）对角规范型系统）对角规范型系统(无重特征值无重特征值无重特征值无重特征值)可控性判别可控性判别可控性判别可控性判别（）当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的行行行行。35第35页，本讲稿共66页例3-12：已知线性定常系统的对角线规范型为判断系统的可控性。解：解：由于此规范型中由于此规范型中 不包含元素全为零的行，不包含元素全为零的行，故系统完全可控。故系统完全可控。36第36页，本讲稿共66页2 2）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别）约当规范型系

20、统（有重特征值）可控性判别）约当规范型系统（有重特征值）可控性判别 当当系系统统矩矩阵阵A有有重重特特征征值值时时，线线性性定定常常连连续系统续系统完完全全可可控控的的充充分分必必要要条条件件是是：由由其其导导出出的的约约当当规规范范型型 中中，中中与与同同一一特特征征值值的的各各约约当当块块对对应应的的各各子子块块的的最最后后一一行行组组成成的的矩矩阵阵是是行行行行线线性无关的。性无关的。37第37页，本讲稿共66页例3-13：已知约当规范型系统如下：试判断其可控性。解：，均行线性无关，所以：系统完全可控。38第38页，本讲稿共66页例3-14：证明如下系统总是完全可控的。证明：，故完全可控

21、。该题说明：可控标准型系统完全可控。39第39页，本讲稿共66页二、输出可控性二、输出可控性1 1输出可控性定义输出可控性定义输出可控性定义输出可控性定义 若在有限时间间隔t0,t1内，存在无约束分段连续控制函数u(t)，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(t1)，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。40第40页，本讲稿共66页2输出可控性判据输出可控性判据设线性定常连续系统的状态空间描述为：则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数q，即注意：注意：状态可控性与输出可控性是两个不同的状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。概念，二者没有

22、什么必然联系。41第41页，本讲稿共66页判断系统的状态可控性和输出可控性。例3-15：已知系统的状态空间描述为解：解：1）系统的状态可控性矩阵为）系统的状态可控性矩阵为，状态不完全可控，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为）系统的输出可控性矩阵为,系统输出可控。系统输出可控。42第42页，本讲稿共66页三 线性时变系统的能控性判据1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。43第43页，本讲稿共66页2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能控的充分条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立44第44页，本讲稿共66页3.

23、3 线性定常连续系统的可观测性判据线性定常连续系统的可观测性判据()一线性定常连续系统的可观测性判据一线性定常连续系统的可观测性判据1.1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。注意：在应用该判据时需计算eAt，这在A的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。45第45页，本讲稿共66页2.秩判据（秩判据（）线性定常系统完全可观测的充分必要条件是:或其中：n是系统的维数，称为系统的可观测性判别阵，简称可观测性阵。46第46页，本讲稿共66页例3-16：判断下列系统的可观性：

24、(1)解：解：(1)系统不完全可观测系统不完全可观测(2)(2)系统完全可观测系统完全可观测47第47页，本讲稿共66页例3-17：证明如下系统总是完全可观测的。证明：系统是完全可观测的。该题说明：可观测标准型系统是完全可观测的。48第48页，本讲稿共66页补充：可观测性判别矩阵补充：可观测性判别矩阵 （）线性定常连续系统的状态方程其其中中：x为为n维维状状态态向向量量；y为为q维维输输出出向向量量；A和和C分分别别为为(nn)和和(qn)常常阵阵。该该线线性性定定常常连连续续系系统统完完全全可可观观测测的的充充要条件是：要条件是：其中：适用于多输出系统49第49页，本讲稿共66页例3-18：

25、判断例3-16所示系统2）的可观性。解：解：系统输出向量是系统输出向量是2维的列向量，即维的列向量，即q=2。故故 ，系统完全可观测。，系统完全可观测。50第50页，本讲稿共66页3.PBH3.PBH秩判据秩判据秩判据秩判据 （）线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：对矩阵A的所有特征值 ，均有成立。或等价地表示为51第51页，本讲稿共66页4.PBH4.PBH特征向量判据特征向量判据特征向量判据特征向量判据 线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 ，使同时满足的特征向量 。注：PHB特征向量判据主要用于理论分析中。52第52页，

26、本讲稿共66页5.5.约当规范型判据约当规范型判据约当规范型判据约当规范型判据1 1）对角规范型系统）对角规范型系统）对角规范型系统）对角规范型系统(无重特征值无重特征值无重特征值无重特征值)可观测性判别可观测性判别可观测性判别可观测性判别（）当矩阵A的特征值 为两两相异时，线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 中，中，不包含元素全为零的不包含元素全为零的列列列列。53第53页，本讲稿共66页例3-19：已知线性定常系统的对角线规范型为判断系统的可观测性。解：由于此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统完全可观测。54第54页，本讲稿共66页2 2）约当规范型系统）约当规

27、范型系统）约当规范型系统）约当规范型系统(有重特征值有重特征值有重特征值有重特征值)可观测性判别可观测性判别可观测性判别可观测性判别 当当系系统统矩矩阵阵A有有重重特特征征值值时时，线线性性定定常常连连续系统续系统完完全全可可观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是：由由其其导导出出的的约约当规范型当规范型中中，中中与与同同一一特特征征值值的的各各约约当当块块对对应应的的各各子子块的第一列组成的矩阵是块的第一列组成的矩阵是列列列列线性无关的。线性无关的。55第55页，本讲稿共66页例3-20：约当标准型系统如下：试判断其可观测性。解：所以：系统完全可观测。是列线性无关的；是列线性无关的；56第

28、56页，本讲稿共66页二子系统组合的可控性和可观测性（补充）二子系统组合的可控性和可观测性（补充）完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。例例3-21：设完全可控且完全可观测的子系统为：设完全可控且完全可观测的子系统为求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。组合系统的可控性和可观测性。57第57页，本讲稿共66页解：子系统并联组合后的系统 可控性判别矩阵：可控性判别矩阵：58第58页，本讲稿共66页可观性判别矩阵可观性判别矩阵该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。该并联组合系统不完全可控且不完

29、全可观测。59第59页，本讲稿共66页三 线性时变系统的能观测性判据1 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充要条件是，存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵非奇异。60第60页，本讲稿共66页2 秩判据 线性时变系统在时刻 为完全能观的充分条件是，存在一个有限时刻 ，使下式成立61第61页，本讲稿共66页3.4 对偶原理一 对偶系统 考虑线性时变系统 线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：式中：式中：-n-n维行向量，协态；维行向量，协态；-输出，输出，p p维行向量；维行向量；-输入，输入，q q维行向量。维行向量。（1）（2）62第62页，本讲稿共66页二 对偶原理 对

30、偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：线性时变系统的完全能控等同于其对偶系统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测等同于其对偶系统的完全能控。63第63页，本讲稿共66页补充题：确定使下列系统状态完全能控的待定参数的a，b，c取值范围（1）（2）ac0,b任任意意 a,b,c为为任任何何值值都都不不能能控控 64第64页，本讲稿共66页习题习题9-20 已知系统的传递函数为已知系统的传递函数为设系统状态完全可控且完全可观,试求a的范围。解：解：可控标准型实现，检查可观性：可控标准型实现，检查可观性：65第65页，本讲稿共66页 解得 a1=1；a2=2；a3=4；答案：只需答案：只需a1 1、a2 2 和和 a3 4。66第66页，本讲稿共66页