新中考数学真题分项汇编专题29几何综合压轴问题(共50题)(解析版).pdf

《新中考数学真题分项汇编专题29几何综合压轴问题(共50题)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新中考数学真题分项汇编专题29几何综合压轴问题(共50题)(解析版).pdf（131页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题专题 2929 几何综合压轴问题【共几何综合压轴问题【共 5050 题】题】一解答题（共一解答题（共 5050 小题）小题）1（2020天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，ACB120，则底边 AB 与腰 AC 的长度之比为3：1理解运用（1）若顶角为 120的等腰三角形的周长为4+23，则它的面积为3；（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EFEGEH，在边 FG，GH 上分别取中点 M，N，连接 MN若FGH120，EF20，求线段 MN 的长类比拓展顶角为 2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sin：1（用含 的式子表示）【分析】性质探究：如图1 中，过点C 作

2、 CDAB 于 D解直角三角形求出AB（用 AC 表示）即可解决问题理解运用：利用性质探究中的结论，设CACBm，则 AB=3m，构建方程求出 m 即可解决问题如图 2 中，连接 FH求出 FH，利用三角形中位线定理解决问题即可类比拓展：利用等腰三角形的性质求出AB 与 AC 的关系即可【解析】性质探究：如图1 中，过点 C 作 CDAB 于 DCACB，ACB120，CDAB，AB30，ADBD，AB2AD2ACcos30=3AC，AB：AC=3：1故答案为3：1理解运用：（1）设 CACBm，则 AB=3m，第1 1页/共131131页页由题意 2m+3m4+23，m2，ACCB2，AB2

3、3，ADDB=3，CDACsin301，S1ABC=2ABCD=3故答案为3（2）如图 2 中，连接 FHFGH120，EFEGEH，EFGEGF，EHGEGH，EFG+EHGEGF+EGHFGH120，FEH+EFG+EHG+FGH360，FEH360120120120，EFEH，EFH 是顶角为 120的等腰三角形，FH=3EF203，FMMGGNGH，MN=12FH103类比拓展：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 DCACB，ACB2，CDAB，AB30，ADBD，ACDBCD第2 2页/共131131页页AB2AD2ACsinAB：AC2sin：1故答案为 2sin：12（20

4、20青海）在ABC 中，ABAC，CGBA 交 BA 的延长线于点 G特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 重合，另一条直角边恰好经过点B通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，得到 BFCG请给予证明猜想论证：（2）当三角尺沿 AC 方向移动到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边重合，另一条直角边交 BC于点 D，过点 D 作 DEBA 垂足为 E 此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE、DF 与 CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想联系拓展：（3）当三角尺在图2 的基础上沿 A

5、C 方向继续移动到图 3 所示的位置（点F 在线段 AC 上，且点F 与点C 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）【分析】（1）证明FABGAC 即可解决问题（2）结论：CGDE+DF利用面积法证明即可（3）结论不变，证明方法类似（2）【解答】（1）证明：如图 1 中，FG90，FABCAG，ABAC，FABGAC（AAS），FBCG第3 3页/共131131页页（2）解：结论：CGDE+DF理由：如图 2 中，连接 ADSABCSABD+SADC，DEAB，DFAC，CGAB，ABCG=ABDE+ACDF，211212ABAC，CGDE+DF（3）解：结论不变：CGD

6、E+DF理由：如图 3 中，连接 ADSABCSABD+SADC，DEAB，DFAC，CGAB，ABCG=2ABDE+2ACDF，2111ABAC，CGDE+DF3（2020河北）如图 1 和图 2，在ABC 中，ABAC，BC8，tanC=点 K 在 AC 边上，点 M，N 分别在 AB，BC 上，且AMCN2点P 从点 M 出发沿折线 MBBN 匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在 AC 边上随 P 移动，且始终保持APQB（1）当点 P 在 BC 上时，求点 P 与点 A 的最短距离；（2）若点 P 在 MB 上，且 PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5 两部分时，求 MP 的长；（

7、3）设点 P 移动的路程为 x，当 0 x3 及 3x9 时，分别求点 P 到直线 AC 的距离（用含 x 的式子表示）；第4 4页/共131131页页34（4）在点 P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ 扫描APQ 区域（含边界），扫描器随点 P 从 M 到B 再到 N 共用时 36 秒若 AK=94，请直接写出点 K 被扫描到的总时长【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 H解直角三角形求出AH 即可（2）利用相似三角形的性质求解即可（3）分两种情形：当 0 x3 时，当 3x9 时，分别画出图形求解即可（4）求出 CK 的长度，以及 CQ 的最大值，利用路程与速度的关系

8、求解即可【解析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AHBC 于 HABAC，AHBC，BHCH4，BC，tanBtanC=3=4，AH3，ABAC=2+2=32+42=5当点 P 在 BC 上时，点 P 到 A 的最短距离为 3（2）如图 1 中，APQB，PQBC，APQABC，PQ 将ABC 的面积分成上下 4：5，）2=（=49，=23，第5 5页/共131131页页AP=103，PMAPAM=10432=3（3）当 0 x3 时，如图 11 中，过点 P 作 PJCA 交 CA 的延长线于 JPQBC，=，AQPC，25=8，PQ=85（x+2），sinAQPsinC=35，PJPQs

9、inAQP=2425（x+2）当 3x9 时，如图 2 中，过点 P 作 PJAC 于 J同法可得 PJPCsinC=35（11x）（4）由题意点 P 的运动速度=936=14单位长度/秒当 3x9 时，设 CQyAPCB+BAPAPQ+CPQ，APQB，BAPCPQ，BC，第6 6页/共131131页页ABPPCQ，511=，16=13y=5（x7）2+5，0，x7 时，y 有最大值，最大值=AK=4，CK54=45当 y=1111116时，=（x7）2+，45453291116916，515解得 x7，点 K 被扫描到的总时长（114+63）1=23 秒44（2020襄阳）在ABC 中，B

10、AC90，ABAC，点 D 在边 BC 上，DEDA 且 DEDA，AE 交边BC 于点 F，连接 CE（1）特例发现：如图 1，当 ADAF 时，求证：BDCF；推断：ACE90；（2）探究证明：如图 2，当 ADAF 时，请探究ACE 的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图 3，在（2）的条件下，当于点 K，若 CK=3，求 DF 的长16=时，过点 D 作 AE 的垂线，交 AE 于点 P，交 AC31【分析】（1）证明ABDACF（AAS）可得结论第7 7页/共131131页页利用四点共圆的性质解决问题即可（2）结论不变利用四点共圆证明即可（3）如图 3 中，连接 EK首先

11、证明 ABAC3EC，设 ECa，则 ABAC3a，在 RtKCE 中，利用勾股定理求出 a，再求出 DP，PF 即可解决问题【解答】（1）证明：如图 1 中，ABAC，BACF，ADAF，ADFAFD，ADBAFC，ABDACF（AAS），BDCF结论：ACE90理由：如图 1 中，DADE，ADE90，ABAC，BAC90，ACDAED45，A，D，E，C 四点共圆，ADE+ACE180，ACE90故答案为 90（2）结论：ACE90理由：如图 2 中，第8 8页/共131131页页DADE，ADE90，ABAC，BAC90，ACDAED45，A，D，E，C 四点共圆，ADE+ACE180

12、，ACE90（3）如图 3 中，连接 EKBAC+ACE180，ABCE，1=，设 ECa，则 ABAC3a，AK3a1633，DADE，DKAE，APPE，AKKE3a163，EK2CK2+EC2，（3a163）2（163）2+a2，解得 a4 或 0（舍弃），EC4，ABAC12，AE=2+2=42+122=410，DPPAPE=12AE210，EF=14AE=10，第9 9页/共131131页页PFFE=10，DPF90，DF=2+2=(210)2+(10)2=525（2020牡丹江）在等腰ABC 中，ABBC，点 D，E 在射线 BA 上，BDDE，过点 E 作 EFBC，交射线 CA

13、 于点 F请解答下列问题：（1）当点 E 在线段 AB 上，CD 是ACB 的角平分线时，如图，求证：AE+BCCF；（提示：延长 CD，FE 交于点 M）（2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的角平分线时，如图；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，如图，请直接写出线段AE，BC，CF 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若 DE2AE6，则 CF18 或 6【分析】（1）延长CD，FE 交于点 M利用AAS 证明MEDCBD，得到MEBC，并利用角平分线加平行的模型证明 CFMF，AEEF，从而得证；（2）延长 CD

14、，EF 交于点 M类似于（1）的方法可证明当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB的角平分线时，BCAE+CF，当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，AECF+BC；（3）先求出 AE，AB，即可利用线段的和差求出答案【解析】（1）如图，延长 CD，FE 交于点 MABBC，EFBC，ABCAEFA，AEEF，MFBC，MEDB，MBCD，又FCMBCM，MFCM，第1010页/共131131页页CFMF，又BDDE，MEDCBD（AAS），MEBC，CFMFME+EFBC+AE，即 AE+BCCF；（2）当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是AC

15、B 的角平分线时，BCAE+CF，如图，延长 CD，EF 交于点 M由同理可证MEDCBD（AAS），MEBC，由证明过程同理可得出MFCF，AEEF，BCMEEF+MFAE+CF；当点 E 在线段 BA 的延长线上，CD 是ACB 的外角平分线时，AECF+BC如图，延长 CD 交 EF 于点 M，由上述证明过程易得MEDCBD（AAS），BCEM，CFFM，又ABBC，ACBCABFAE，EFBC，FFCB，第1111页/共131131页页EFAE，AEFEFM+MECF+BC；（3）CF18 或 6，当 DE2AE6 时，图中，由（1）得：AE3，BCABBD+DE+AE15，CFAE+

16、BC3+1518；图中，由（2）得：AEAD3，BCABBD+AD9，CFBCAE936；图中，DE 小于 AE，故不存在故答案为 18 或 66（2020辽阳）如图，射线 AB 和射线 CB 相交于点 B，ABC（0180），且 ABCB点 D是射线 CB 上的动点（点 D 不与点 C 和点 B 重合），作射线 AD，并在射线 AD 上取一点 E，使AEC，连接 CE，BE（1）如图，当点 D 在线段 CB 上，90时，请直接写出AEB 的度数；（2）如图，当点 D 在线段 CB 上，120时，请写出线段 AE，BE，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当 120，tanDAB=3时，请

17、直接写出1的值第1212页/共131131页页【分析】（1）连接 AC，证A、B、E、C 四点共圆，由圆周角定理得出BCEBAE，CBECAE，证出ABC 是等腰直角三角形，则CAB45，进而得出结论；（2）在AD 上截取 AFCE，连接BF，过点B 作 BHEF 于 H，证ABFCBE（SAS），得出ABFCBE，BFBE，由等腰三角形的性质得出FHEH，由三角函数定义得出FHEH=2BE，进而得出结论；（3）由（2）得 FHEH=2BE，由三角函数定义得出 AH3BH=2BE，分别表示出 CE，进而得出答333案【解析】（1）连接 AC，如图所示：90，ABC，AEC，ABCAEC90，A

18、、B、E、C 四点共圆，BCEBAE，CBECAE，CABCAE+BAE，BCE+CBECAB，ABC90，ABCB，ABC 是等腰直角三角形，CAB45，BCE+CBE45，BEC180（BCE+CBE）18045135，AEBBECAEC1359045；（2）AE=3BE+CE，理由如下：在 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：ABCAEC，ADBCDE，180ABCADB180AECCDE，AC，=在ABF 和CBE 中，=，=ABFCBE（SAS），ABFCBE，BFBE，第1313页/共131131页页ABF+FBDCBE+FBD，ABDFB

19、E，ABC120，FBE120，BFBE，BFEBEF=112（180FBE）=2（180120）30，BHEF，BHE90，FHEH，在 RtBHE 中，BH=1BE，FHEH=3BH=322BE，EF2EH232BE=3BE，AEEF+AF，AFCE，AE=3BE+CE；（3）分两种情况：当点 D 在线段 CB 上时，在 AD 上截取 AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：由（2）得：FHEH=32BE，tanDAB=1=3，AH3BH=32BE，CEAFAHFH=33332BE2BE=2BE，=332；当点 D 在线段 CB 的延长线上时，在射线 AD 上截取

20、AFCE，连接 BF，过点 B 作 BHEF 于 H，如图所示：同得：FHEH=332BE，AH3BH=2BE，CEAFAH+FH=333+32BE+2BE=2BE，3+3=2；第1414页/共131131页页综上所述，当 120，tanDAB=时，13的值为3 33 3或227（2020凉山州）如图，点 P、Q 分别是等边ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外），点 P、点 Q 以相同的速度，同时从点 A、点 B 出发（1）如图 1，连接 AQ、CP求证：ABQCAP；（2）如图1，当点P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M，QMC 的大小是否变化？若变化，请说

21、明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图 2，当点 P、Q 在 AB、BC 的延长线上运动时，直线 AQ、CP 相交于 M，QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数第1515页/共131131页页【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS 证明ABQCAP 即可；（2）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC60；（3）先判定ABQCAP，根据全等三角形的性质可得BAQACP，从而得到QMC120【解析】（1）证明：如图 1，ABC 是等边三角形ABQCAP60，ABCA，又点 P、Q 运动速度相同，APBQ，在ABQ 与CAP 中，

22、=，=ABQCAP（SAS）；（2）点 P、Q 在 AB、BC 边上运动的过程中，QMC 不变理由：ABQCAP，BAQACP，QMC 是ACM 的外角，QMCACP+MACBAQ+MACBACBAC60，QMC60；（3）如图 2，点 P、Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动时，QMC 不变理由：同理可得，ABQCAP，BAQACP，第1616页/共131131页页QMC 是APM 的外角，QMCBAQ+APM，QMCACP+APM180PAC18060120，即若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线AB、BC 上运动，QMC 的度数为 1208（2020泰安）小明将两个直角三角形

23、纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB 与ECD 恰好为对顶角，ABCCDE90，连接BD，ABBD，点 F 是线段 CE 上一点探究发现：（1）当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否成立？是（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDDF，则点 F 为线段 CE 的中点 请判断此结论是否成立 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由问题解决：（3）若 AB6，CE9，求 AD 的长第1717页/共131131页页【分析】（1）证明FDC+BDC90可得结论（2）

24、结论成立：利用等角的余角相等证明EEDF，推出 EFFD，再证明 FDFC 即可解决问题（3）如图3 中，取EC 的中点 G，连接GD则GDBD利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可【解析】（1）如图（2）中，EDC90，EFCF，DFCF，FCDFDC，ABC90，A+ACB90，BABD，AADB，ACBFCDFDC，ADB+FDC90，FDB90，BDDF第1818页/共131131页页故答案为是（2）结论成立：理由：BDDF，EDAD，BDC+CDF90，EDF+CDF90，BDCEDF，ABBD，ABDC，AEDF，A+ACB90，E+ECD90，ACBECD，AE，EED

25、F，EFFD，E+ECD90，EDF+FDC90，FCDFDC，FDFC，EFFC，点 F 是 EC 的中点（3）如图 3 中，取 EC 的中点 G，连接 GD则 GDBDDG=192EC=2，BDAB6，第1919页/共131131页页在 RtBDG 中，BG=2+2=(2)2+62=2，CB=159=3，22915在 RtABC 中，AC=2+2=62+32=35，ACBECD，ABCEDC，ABCEDC，=，353=，995，5952455CD=ADAC+CD35+5=9（2020常德）已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACB90，ABC30，过点 D 作 RtDEF使DEF

26、90，DFE30，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EPCE，连接 BE，FP，BP，设 BC 与DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N（1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证：EBEP；EFP30；（2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFD+EFP30【分析】（1）证明CBP 是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；根据同位角相等可得 BCEF，由平行线的性质得 BPEF，可得 EF 是线段 BP 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得PFEBFE30；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ，证明QEPDEC（

27、SAS），则 PQDCDB，由 QEDE，DEF90，知 EF 是 DQ 的垂直平分线，证明FQPFDB（SAS），再由EF 是 DQ 的垂直平分线，可得结论【解答】证明（1）ACB90，ABC30，第2020页/共131131页页A903060，同理EDF60，AEDF60，ACDE，DMBACB90，D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACDM，1=2，即 M 是 BC 的中点，EPCE，即 E 是 PC 的中点，EDBP，CBPDMB90，CBP 是直角三角形，BE=12PCEP；ABCDFE30，BCEF，由知：CBP90，BPEF，EBEP，EF 是线段 BP 的垂直平分线，PF

28、BF，PFEBFE30；（2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ，第2121页/共131131页页ECEP，DECQEP，QEPDEC（SAS），则 PQDCDB，QEDE，DEF90EF 是 DQ 的垂直平分线，QFDF，CDAD，CDAA60，CDB120，FDB120FDC120（60+EDC）60EDC60EQPFQP，FQPFDB（SAS），QFPBFD，EF 是 DQ 的垂直平分线，QFEEFD30，QFP+EFP30，BFD+EFP3010（2020黔东南州）如图 1，ABC 和DCE 都是等边三角形探究发现（1）BCD 与ACE 是否全等？若全等

29、，加以证明；若不全等，请说明理由拓展运用（2）若 B、C、E 三点不在一条直线上，ADC30，AD3，CD2，求 BD 的长（3）若B、C、E 三点在一条直线上（如图2），且ABC 和DCE 的边长分别为 1 和 2，求ACD 的面积及 AD 的长【分析】（1）依据等式的性质可证明BCDACE，然后依据 SAS 可证明ACEBCD；第2222页/共131131页页（2）由（1）知：BDAE，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长；（3）如图 2，过 A 作 AFCD 于 F，先根据平角的定义得ACD60，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，由三角形面积公式可得ACD 的面积，最后根据勾

30、股定理可得AD 的长【解析】（1）全等，理由是：ABC 和DCE 都是等边三角形，ACBC，DCEC，ACBDCE60，ACB+ACDDCE+ACD，即BCDACE，在BCD 和ACE 中，=，=ACEBCD（SAS）；（2）如图 3，由（1）得：BCDACE，BDAE，DCE 都是等边三角形，CDE60，CDDE2，ADC30，ADEADC+CDE30+6090，在 RtADE 中，AD3，DE2，AE=2+2=9+4=13，BD=13；（3）如图 2，过 A 作 AFCD 于 F，第2323页/共131131页页B、C、E 三点在一条直线上，BCA+ACD+DCE180，ABC 和DCE

31、都是等边三角形，BCADCE60，ACD60，在 RtACF 中，sinACF=，3AFACsinACF12=2，SACD=3311 =2=，22223CFACcosACF12=2，FDCDCF2=，在 RtAFD 中，AD2AF2+FD2=(2)2+(2)2=3，AD=311（2020金华）如图，在ABC 中，AB42，B45，C60（1）求 BC 边上的高线长（2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将AEF 折叠得到PEF如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长31112323第2

32、424页/共131131页页【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出AD 即可（2）证明 BEEP，可得EPBB45解决问题如图 3 中，由（1）可知：AC=60=3，证明AEFACB，推出=，由此求出 AF 即83可解决问题【解析】（1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D在 RtABD 中，ADABsin4542 22=4（2）如图 2 中，AEFPEF，AEEP，AEEB，BEEP，EPBB45，PEB90，AEP1809090如图 3 中，由（1）可知：AC=8360=3，第2525页/共131131页页PFAC，PFA90，AEFPEF，AF

33、EPFE45，AFEB，EAFCAB，AEFACB，=，即42=22833，AF23，在 RtAFP，AFFP，AP=2AF26方法二：AEBEPE 可得直角三角形 ABP，由 PFAC，可得AFE45，可得FAP45，即PAB30APABcos302612（2020江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图 2，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB，AC，BC 为斜边向外侧作 RtABD，RtACE，RtBCF，若123，则面积 S1，S2，S3之间

34、的关系式为S1+S2S3；推广验证（2）如图 3，在 RtABC 中，BC 为斜边，分别以 AB，AC，BC 为边向外侧作任意ABD，ACE，BCF，满足123，DEF，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用第2626页/共131131页页（3）如图 4，在五边形 ABCDE 中，AEC105，ABC90，AB23，DE2，点 P在 AE 上，ABP30，PE=2，求五边形 ABCDE 的面积【分析】类比探究（1）通过证明ADBBFC，可得得 AB2+AC2BC2，可得结论；推广验证（2）通过证明ADBBFC，可得得 AB2+AC2BC2，可得

35、结论；拓展应用（3）过点 A 作 AHBP 于 H，连接 PD，BD，由直角三角形的性质可求AP=6，BPBH+PH3+3，可求 SABP=3+1=（）2，同理可得=（）2，由勾股定理可=（）2，同理可得=（）2，由勾股定理可333+3，通过证明ABPEDP，可得EPDAPB45，=，SPDE=232，可得BPD90，PD1+3，可求 SBPD23+3，由（2）的结论可求 SBCDSABP+SDPE=33+33+1+=23+2，即可求解22【解析】类比探究（1）13，DF90，ADBBFC，=（）2，=（）2，同理可得：AB2+AC2BC2，12222+2+=（）+（）=1，233S1+S2S

36、3，第2727页/共131131页页故答案为：S1+S2S3（2）结论仍然成立，理由如下：13，DF，ADBBFC，=（）2，同理可得：=（）2，AB2+AC2BC2，13+23=（）2+（22+2）=2=1，S1+S2S3，（3）过点 A 作 AHBP 于 H，连接 PD，BD，ABH30，AB23，AH=3，BH3，BAH60，BAP105，HAP45，AHBP，HAPAPH45，PHAH=3，AP=6，BPBH+PH3+3，SABP=2=(3+3)32=33+32，PE=2，ED2，AP=6，AB23，232=6=3，=23=33，第2828页/共131131页页=，且EBAP105，A

37、BPEDP，EPDAPB45，=3，3BPD90，PD1+3，SBPD=(3+3)(1+3)=23+3，22ABPEDP，31=（）2=3，3133+33+1=223SPDE=3tanPBD=3，PBD30，CBDABCABPCBD30，ABPPDECBD，又AEC105，ABPEDPCBD，由（2）的结论可得：SBCDSABP+SDPE=五边形 ABCDE 的面积=33+33+1+2=23+2，233+33+1+2+23+2+23+363+7213（2020衡阳）如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，等腰ABC 的底边 BC 在 x 轴上，BC8，顶点 A 在 y的正半轴上，OA2，一动点E

38、 从（3，0）出发，以每秒1 个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止另一动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 向左运动，到达点 O 停止已知点 E、F 同时出发，以 EF 为边作正方形 EFGH，使正方形 EFGH 和ABC 在 BC 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t0）（1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值；（2）设正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，请问是否存在 t 值，使得 S=36？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，取 AC 的中点 D，连结 OD，当点 E、F 开始运动时，点 M 从点 O 出发，以每秒 25个单位的

39、速度沿 ODDCCDDO 运动，到达点 O 停止运动请问在点 E 的整个运动过程中，点 M 可能第2929页/共131131页页91在正方形 EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点 M 在正方形 EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（2）由题意，在E，F 的运动过程中，开始正方形EFGH 的边长为 1，因为正方形EFGH 与ABC 重叠面积为 S，S=36，推出此时点 F 与 O 重合，已经停止运动，如图 12 中，重叠部分是五边形 OEKJG 构建方程求解即可（3）分别求出点 M 第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的

40、时长即可解决问题【解析】（1）如图 11 中，91由题意，OA2，OBOC4，EFEHFGHG1，当点 H 落在 AC 上时，EHOA，4=12，=，CE2，点 E 的运动路程为 1，t1 时，点 E 落在 AC 上（2）由题意，在 E，F 的运动过程中，开始正方形EFGH 的边长为 1，正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，S=36，第3030页/共131131页页91此时点 F 与 O 重合，已经停止运动，如图12 中，重叠部分是五边形OEKJG由题意：（t3）2 131391 3t13）=，（2362整理得 45t2486t+12880，解得 t=3或（舍弃），15满足条件的 t

41、的值为（3）如图 31 中，当点 M 第一次落在 EH 上时，4t+t3，t=351431492当点 M 第一次落在 FG 上时，4t+t4，t=5，点 M 第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=55=5（s），当点 M 第二次落在 FG 上时，4tt4，t=3，当点 M 第二次落在 EH 上时，4t（t+1）4，t=3，点 M 第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=1541=，33318544314点 M 落在正方形内部（包括边界）的总时长=5+3=15（s）14（2020青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 和 RtEBF 中，ABCD，CDAB，点 C 在 EB 上，ABCEBF90

42、，ABBE8cm，BCBF6cm，延长 DC 交 EF 于点 M点 P 从点 A 出发，沿 AC 方第3131页/共131131页页向匀速运动，速度为 2cm/s；同时，点 Q 从点 M 出发，沿 MF 方向匀速运动，速度为 1cm/s过点 P 作GHAB 于点 H，交 CD 于点 G设运动时间为 t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上？（2）连接 PQ，作 QNAF 于点 N，当四边形 PQNH 为矩形时，求 t 的值；（3）连接 QC，QH，设四边形 QCGH 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（4）点 P 在运动过

43、程中，是否存在某一时刻t，使点 P 在AFE 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由平行线分线段成比例可得MQ，即可求解；（2）利用锐角三角函数分别求出PH=5t，QN65t，由矩形的性质可求解；（3）利用面积的和差关系可得SS梯形GMFHSCMQSHFQ，即可求解；（4）连接 PF，延长 AC 交 EF 于 K，由“SSS”可证ABCEBF，可得ECAB，可证ABCEKC90，由面积法可求 CK 的长，由角平分线的性质可求解【解析】（1）ABCD，86864=，可求 CM 的长，由线段垂直平分线的性质可得 CM=，6CM=2，点 M 在线段 CQ 的垂直平分线

44、上，CMMQ，1t=2，t=2；第3232页/共131131页页333（2）如图 1，过点 Q 作 QNAF 于点 N，ABCEBF90，ABBE8cm，BCBF6cm，AC=2+32=64+36=10cm，EF=2+2=64+36=10cm，CE2cm，CM=2cm，EM=2+2=4+95=，42sinPAHsinCAB，610=2，PH=t，同理可求 QN6 t，四边形 PQNH 是矩形，PHNQ，6 t=t，t3；当 t3 时，四边形 PQNH 为矩形；（3）如图 2，过点 Q 作 QNAF 于点 N，45654565第3333页/共131131页页由（2）可知 QN6 t，cosPAH

45、cosCAB，245=810，AH=t，四边形 QCGH 的面积为 SS梯形GMFHSCMQSHFQ，S=26（85t+6+85t+2）226（65t）2（65t）（85t+6）=25t2+5t+2；（4）存在，理由如下：如图 3，连接 PF，延长 AC 交 EF 于 K，18831341481615785ABBE8cm，BCBF6cm，ACEF10cm，ABCEBF（SSS），ECAB，又ACBECK，ABCEKC90，SCEM=2ECCM=2EMCK，CK=2325211=5，第3434页/共131131页页6PF 平分AFE，PHAF，PKEF，PHPK，t102t+5，566t=，当

46、t=2时，使点 P 在AFE 的平分线上15（2020山西）综合与实践问题情境：如图，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得到CBE（点 A 的对应点为点 C）延长 AE 交 CE于点 F，连接 DE猜想证明：（1）试判断四边形 BEFE 的形状，并说明理由；（2）如图，若 DADE，请猜想线段 CF 与 FE的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图，若 AB15，CF3，请直接写出 DE 的长772【分析】（1）由旋转的性质可得AEBCEB90，BEBE，EBE90，由正方形的判定可证四边形 BEFE 是正方形；（2）过点 D

47、作 DHAE 于 H，由等腰三角形的性质可得 AH=AE，DHAE，由“AAS”可得ADHBAE，可得 AHBE=2AE，由旋转的性质可得AECE，可得结论；（3）利用勾股定理可求BEBE9，再利用勾股定理可求DE 的长【解析】（1）四边形 BEFE 是正方形，理由如下：将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，第3535页/共131131页页112AEBCEB90，BEBE，EBE90，又BEF90，四边形 BEFE 是矩形，又BEBE，四边形 BEFE 是正方形；（2）CFEF；理由如下：如图，过点 D 作 DHAE 于 H，DADE，DHAE，AH=12AE，DHAE，ADH+D

48、AH90，四边形 ABCD 是正方形，ADAB，DAB90，DAH+EAB90，ADHEAB，又ADAB，AHDAEB90，ADHBAE（AAS），AHBE=12AE，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，AECE，四边形 BEFE 是正方形，BEEF，EF=12CE，第3636页/共131131页页CFEF；（3）如图，过点 D 作 DHAE 于 H，四边形 BEFE 是正方形，BEEFBE，ABBC15，CF3，BC2EB2+EC2，225EB2+（EB+3）2，EB9BE，CECF+EF12，由（2）可知：BEAH9，DHAECE12，HE3，DE=2+2=144+9=317

49、16（2020内江）如图，正方形ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与A、C 重合），连结 BP，将BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F（1）连结 CQ，求证：APCQ；（2）若 AP=4AC，求 CE：BC 的值；（3）求证：PFEQ1【分析】（1）证明BAPBCQ（SAS）可得结论（2）过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 T由 AP=4AC，可以假设 APCQa，则 PC第3737页/共131131页页13a，解直角三角形求出CHBT，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可（3）证

50、明PGBQEB，推出 EQPG，再证明PFG 是等腰直角三角形即可【解答】（1）证明：如图 1，线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 90得到线段 BQ，BPBQ，PBQ90四边形 ABCD 是正方形，BABC，ABC90ABCPBQABCPBCPBQPBC，即ABPCBQ在BAP 和BCQ 中，=，=BAPBCQ（SAS）CQAP（2）解：过点 C 作 CHPQ 于 H，过点 B 作 BTPQ 于 TAP=14AC，可以假设 APCQa，则 PC3a，四边形 ABCD 是正方形，BACACB45，ABPCBQ，BCQBAP45，PCQ90，PQ=2+2=(3)2+2=10a，CHPQ，CH=31