齐次方程的分离变数法.pptx

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1、会计学1齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法第一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。教学提示：教学提示：重点掌握齐次方程的分离变数法的基本思想方法。重点掌握齐次方程的分离变数法的基本思想方法。理解本征值与本征函数理解本征值与本征函数(本征值问题本征值问题)的概念。掌握的概念。掌握对一些物理方程分离变数的计算。了解非齐次振动对一些物理方程分离变数的计算。了解非齐次振动方程和输运方程的傅里叶级数求解法。理解非齐次方程和输运方程的傅里叶级数求解法。理解非齐次边界条件的处理方法。边界条件的处理方法。第1页/共51页第二页，编辑于星期二：十一点 四十九分。8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变

2、数法(驻波法驻波法)一、基本步骤：一、基本步骤：求解两端固定的均匀弦的自由振动：求解两端固定的均匀弦的自由振动：泛定方程泛定方程 边界条件边界条件 初始条件初始条件解：解：1)尝试解尝试解 u(x,t)=X(x)T(t)定定解解问问题题两端均为第一类两端均为第一类齐次边界条件齐次边界条件第2页/共51页第三页，编辑于星期二：十一点 四十九分。代入代入得得显然有显然有方程改写为方程改写为 及及 t为变数，为变数，T(t)不可能为不可能为0 x，t独立，二者相独立，二者相 等只能都为常数等只能都为常数 本征值问题本征值问题第3页/共51页第四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。2)求求x 讨论方程

3、讨论方程：(1)若若0，则通解为，则通解为第4页/共51页第五页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由由显然显然C20，必须必须 ，则，则 (n为正整数为正整数)本征值本征值 本征函数族本征函数族 3)求求T代入代入得得第5页/共51页第六页，编辑于星期二：十一点 四十九分。通解为通解为 代入代入：u(x,t)=X(x)T(t)得各个特解得各个特解 本征本征解解(本征振动本征振动)定解问题线性，可叠加性：定解问题线性，可叠加性：通解通解(一般解一般解)为为 第6页/共51页第七页，编辑于星期二：十一点 四十九分。4)求确定解求确定解 由初始条件由初始条件 得得将左端视为将左端视为 及及 的傅里叶

4、级数，的傅里叶级数，则：则：(将将 、奇延拓至奇延拓至-l,l 上成为奇函数上成为奇函数展开为正弦级展开为正弦级数数)第7页/共51页第八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。讨论：解的物理意义讨论：解的物理意义(1)每一个每一个n，对应一种驻波，称为，对应一种驻波，称为本征振动本征振动(本征本征解解)；(2)当当 时时,，这这n+1个点对个点对应波节；应波节；当当 时时,，即即 ，对应波腹；由，对应波腹；由 ，得波长，得波长 或或 。第8页/共51页第九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。(3)圆频率圆频率 频率频率(4)n=1，对应基波，波长，对应基波，波长1=2l最长，频率最长，频率f1=

5、a/2l最最小；小；n1，对应，对应n次谐波。次谐波。本征振动本征振动(振动的简正模式振动的简正模式)两端两端固定固定的弦线形成的弦线形成驻驻波时，波长波时，波长n和弦线长和弦线长l应满应满足足 ，,由此频率决定的各由此频率决定的各第9页/共51页第十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。种振动方式称为弦线振动的种振动方式称为弦线振动的简正模式。简正模式。两端两端固定固定的弦振的弦振动的简正模式动的简正模式一端一端固定固定一端一端自由自由的弦的弦振动的简正模式振动的简正模式第10页/共51页第十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。求解过程：求解过程：本征解本征解(解解2解解1)偏偏 微微分方程

6、分方程解解2常微分方程常微分方程2分离分离变量变量常微分方程常微分方程1条件条件本征值问题本征值问题分离分离变量变量齐次边齐次边界条件界条件解解1(本征函数本征函数)初始初始条件条件确定叠加系数确定叠加系数所求解所求解 =本征解本征解本征值本征值第11页/共51页第十二页，编辑于星期二：十一点 四十九分。例例1：(第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件)解：解：根据边界条件的特点，尝试解根据边界条件的特点，尝试解 第12页/共51页第十三页，编辑于星期二：十一点 四十九分。其解为其解为级数解级数解由初始条件定系数由初始条件定系数第13页/共51页第十四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。例：例：

7、单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端开放，单簧管是直径均匀的细管，一端封闭，另一端开放，试求管内空气柱的本征振动试求管内空气柱的本征振动(可以不提初始条件可以不提初始条件)。解：解：(第一第一+第二类第二类齐齐次边界条件次边界条件)令令 u(x,t)=X(x)T(t)得得 第14页/共51页第十五页，编辑于星期二：十一点 四十九分。讨论讨论：对对0，只能得只能得X(x)0)0。对对0，解得，解得 必须必须本征值本征值本征函数本征函数第15页/共51页第十六页，编辑于星期二：十一点 四十九分。带入带入式，得式，得本征振动本征振动单簧管发出的声音只有奇次谐音而没有偶次谐音，从而单簧管发出的声音

8、只有奇次谐音而没有偶次谐音，从而构成它特有的音色。构成它特有的音色。对本例的定解条件，由对本例的定解条件，由 ，可将区间，可将区间(0,l)延拓延拓到区间到区间(0,2l)上。上。延拓后条件为延拓后条件为第16页/共51页第十七页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由由、知，本征函数是知，本征函数是再由再由得得，n只能是奇数只能是奇数例例2：(输运问题：输运问题：P149)研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零可看作长可看作长为为2l的弦的弦第17页/共51页第十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。度，另一端温度为度，另一端温度为u0，杆上温度梯度

9、均匀，零度的一端，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的保持温度不变，另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。变化。解：解：(第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件)(第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件)令令 u(x,t)=X(x)T(t)第18页/共51页第十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。(1)0，只能得只能得X(x)0)0。(2)0，解得，解得 由边界条件由边界条件第19页/共51页第二十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。解为解为再由初始条件再由初始条件第20页/共51页第二十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。讨论：讨论：(1)对本例的定

10、解条件，由对本例的定解条件，由 ，可将区间，可将区间(0，l)延拓到区间延拓到区间(l，2l)上。上。延拓后条件为延拓后条件为 由由、知，知，本征函数本征函数第21页/共51页第二十二页，编辑于星期二：十一点 四十九分。再由再由得得，n只能是奇数，即只能是奇数，即n=2k+1(2)关于关于 当当t 0.18l2/a2时，只需保留时，只需保留k=0项项例例3：(P152 稳定场举例稳定场举例)散热片的横截面为矩形。它的一边散热片的横截面为矩形。它的一边y=b处于较高温度处于较高温度U，其它三边，其它三边y=0，x=0和和x=a则处于冷却介质中则处于冷却介质中第22页/共51页第二十三页，编辑于星

11、期二：十一点 四十九分。因而保持较低的温度因而保持较低的温度u0。求解这横截面上的稳定温。求解这横截面上的稳定温度分布。度分布。解：解：一般方法，令一般方法，令u(x,y)=v(x,y)+)+w(x,y)原方程化为原方程化为 和和第23页/共51页第二十四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。本例，可令本例，可令u(x,y)=u0+v(x,y)，得得试探解：试探解：v(x,y)=X(x)Y(y)本征值本征值本征函数本征函数第24页/共51页第二十五页，编辑于星期二：十一点 四十九分。解得：解得：本征解本征解一般解一般解 再由非齐次边界条件再由非齐次边界条件 得得第25页/共51页第二十六页，编辑

12、于星期二：十一点 四十九分。将右边展为傅里叶正弦级数将右边展为傅里叶正弦级数(奇延拓奇延拓)，比较两边系，比较两边系数得：数得：P154 例例4带电的云与大地之间的电场近似是匀强静电场，带电的云与大地之间的电场近似是匀强静电场，第26页/共51页第二十七页，编辑于星期二：十一点 四十九分。其电场强度其电场强度E0是竖直的，方向是竖直的，方向向下。水平架设的输电线处于向下。水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图场也就不再是匀强的了，如

13、图所示。不过离圆柱所示。不过离圆柱“无远限远无远限远”处的静电场仍保持为匀强。处的静电场仍保持为匀强。现研究导体圆柱怎样改变了匀现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场，求柱外的电势分布。强静电场，求柱外的电势分布。第27页/共51页第二十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。解题分析：首先需要把这个物理解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题。取圆柱的问题表示为定解问题。取圆柱的轴为轴为Z轴。如果圆柱轴。如果圆柱“无限长无限长”，那么，这个静电场的电场强，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与度、电势显然与Z坐标无关，我坐标无关，我们只需在们只需在 XY平面上研究就行平面上研究就行了。图中画

14、出了了。图中画出了XY平面上的平面上的静电场分布。静电场分布。圆柱面在圆柱面在 XY平面的剖口是圆平面的剖口是圆X2+Y2=a2，a是圆柱的半径是圆柱的半径第28页/共51页第二十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。柱外的空间中没有电荷，所以电势柱外的空间中没有电荷，所以电势u满足满足二维拉二维拉普拉普拉斯方程斯方程 uxx+uyy=0 (在圆柱外在圆柱外)导体中的电荷不再移动，说明导体中的电荷不再移动，说明导体中各处电势相同。导体中各处电势相同。而电势只具有相对的意义，可以令导体而电势只具有相对的意义，可以令导体电势为电势为零，零，写出相应写出相应边界条件：边界条件：在在“无限远无限远”处

15、的静电场仍然保持为匀强处的静电场仍然保持为匀强E0，由于选取，由于选取了了x轴平行于轴平行于E0，所以在无限远处，所以在无限远处Ey=0，Ex=E0 第29页/共51页第三十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。设导体圆柱单位长度带电量为设导体圆柱单位长度带电量为q0，其在圆柱外产生，其在圆柱外产生电势电势 ，因而还有一个非齐次的边界条件因而还有一个非齐次的边界条件由拉普拉斯方程极坐标表示式由拉普拉斯方程极坐标表示式(P16习题解答，习题解答，见见P421)将上述定解问题表将上述定解问题表示为极坐标形式：示为极坐标形式：与电势零点有与电势零点有关常数关常数第30页/共51页第三十一页，编辑于星期

16、二：十一点 四十九分。解：解：试探解试探解 称为自然边界条件，称为自然边界条件，构成本征值问题。构成本征值问题。的通解为的通解为第31页/共51页第三十二页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由由 得得0(0(为正整数为正整数)，不不妨设妨设关于关于R的方程的方程 欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程令令 代入，得代入，得第32页/共51页第三十三页，编辑于星期二：十一点 四十九分。解的形式为：解的形式为：一般解为：一般解为：第33页/共51页第三十四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由边界条件确定系数由边界条件确定系数即傅里叶级数为零，则所有系数为零：即傅里叶级数为零，则所有系数为零：代入一般解

17、，得：代入一般解，得：第34页/共51页第三十五页，编辑于星期二：十一点 四十九分。当当时，得时，得：对应系数相等对应系数相等第35页/共51页第三十六页，编辑于星期二：十一点 四十九分。所以柱外静电势所以柱外静电势在不同边界条件下的常用本征值与本征函数在不同边界条件下的常用本征值与本征函数第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件两端自由的第二类齐次边界条件两端自由的第二类齐次边界条件第36页/共51页第三十七页，编辑于星期二：十一点 四十九分。左端点固定、右端点自由的边界条件左端点固定、右端点自由的边界条件左端点自由、右端点固定的边界条件左端点自由、右端点固定的边界条件自然边界条件自然边界条件第

18、37页/共51页第三十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。例例5：(P161，13题题)解：解：u(x,y)=X(x)Y(y)由由 得得第38页/共51页第三十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由由 得得故故例例6：(P161，24)长为长为l的均匀杆，一端固定，另一端的均匀杆，一端固定，另一端在纵向力在纵向力 长期作用长期作用下。求解杆的下。求解杆的稳恒振稳恒振动动。第39页/共51页第四十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。解：无初始条件的问题解：无初始条件的问题 稳定振动稳定振动，可假设振动周期和外力有相同的周期，可假设振动周期和外力有相同的周期 u(x,t)=X(x)sint代入

19、代入第40页/共51页第四十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。由由得得由由得得讨论：讨论：此解为一驻波此解为一驻波1.波节：波节：第41页/共51页第四十二页，编辑于星期二：十一点 四十九分。2.波腹：波腹：第42页/共51页第四十三页，编辑于星期二：十一点 四十九分。习题的定解问题：习题的定解问题：P1601.2.第43页/共51页第四十四页，编辑于星期二：十一点 四十九分。4.7.第44页/共51页第四十五页，编辑于星期二：十一点 四十九分。9.14.第45页/共51页第四十六页，编辑于星期二：十一点 四十九分。15.16.第46页/共51页第四十七页，编辑于星期二：十一点 四十九分。17.第47页/共51页第四十八页，编辑于星期二：十一点 四十九分。18.第48页/共51页第四十九页，编辑于星期二：十一点 四十九分。21.水的无旋流动，有速度势水的无旋流动，有速度势 很大，很大，22.没有初始条件的问题没有初始条件的问题第49页/共51页第五十页，编辑于星期二：十一点 四十九分。第50页/共51页第五十一页，编辑于星期二：十一点 四十九分。