线性系统理论Chapter线性反馈系统的时间域综合.pptx

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1、会计学1线性系统理论线性系统理论Chapter线性反馈系统的时线性反馈系统的时间间(shjin)域综合域综合第一页，共75页。26.1 6.1 引言引言(ynyn)(ynyn)n n综合问题的提法n n给定系统 n n和期望的性能指标，综合就是寻找一控制作用u，使得其作用下系统运动(yndng)的行为满足所给出的期望性能指标。状态反馈(fnku)控制输出反馈控制u=-Kx+v状态反馈系统u=-Fy+v输出反馈系统第2页/共75页第二页，共75页。3 性能指标的类型性能指标的类型性能指标的类型性能指标的类型(lixng)(lixng)n n非优化型性能指标n n镇定问题：以渐近稳定作为性能指标n

2、 n极点配置问题：以一组期望(qwng)的闭环系统极点作为性能指标n n解耦控制问题：使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标n n跟踪问题：系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标n n优化型性能指标n n二次型积分性能指标n n 确定一个控制u*()，使J(u*()取极小值，通常，u*()称最优控制，J(u*()称最优性能。第3页/共75页第三页，共75页。4 研究综合研究综合研究综合研究综合(zngh)(zngh)问题的思路问题的思路问题的思路问题的思路n n建立可综合条件n n指相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在并实现

3、综合目标所应满足的条件。n n建立相应的用以综合控制规律(gul)的算法n n对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制律。工程实现中的一些理论工程实现中的一些理论(lln)(lln)问题问题状态反馈物理构成问题系统模型的不准确和参数摄动问题对外部扰动的影响的抑制问题返回第4页/共75页第四页，共75页。56.2 6.2 状态状态(zhungti)(zhungti)反馈和输出反馈和输出反馈反馈n n状态反馈和输出(shch)反馈的构成Go(s)=C(sI-A)-1B状态(zhungti)反馈输出反馈第5页/共75页第五页，共75页。6 状态反馈和输出状态反馈和输出状态反馈和输出状态反馈和输出

4、(shch)(shch)反馈系统的能控性和反馈系统的能控性和反馈系统的能控性和反馈系统的能控性和能观测性能观测性能观测性能观测性证明证明(zhngmng)(zhngmng)：I.I.状态反馈系统状态反馈系统xfxf能控的充要条件是受控系统能控的充要条件是受控系统00能控。能控。Qc=B|AB|An-1B Qc=B|AB|An-1B QcK=B|(A-BK)B|(A-BK)n-1B QcK=B|(A-BK)B|(A-BK)n-1B结论6.1 状态反馈(fnku)的引入，不改变系统的能控性。结论6.2 状态反馈(fnku)的引入，可能改变系统的能观测性。另一方面，0也可看作xf的状态反馈系统综上，

5、第6页/共75页第六页，共75页。7II.状态反馈系统不一定能保持能观测(gunc)性 举例说明，系统所以系统能观测加入(jir)状态反馈，K=0 5，则所以(suy)状态反馈可能改变系统的能观测性第7页/共75页第七页，共75页。8结论6.3 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性，即输出反馈系统 yf为能控(能观测)的充分(chngfn)必要条件是受控系统 0为能控(能观测)。状态反馈状态反馈(fnku)(fnku)和输出反馈和输出反馈(fnku)(fnku)的比较的比较输出反馈为系统结构信息的不完全(wnqun)反馈，改善措施是采用动态输出反馈系统状态反馈通常不可直接量测，改善

6、措施是引入状态观测器返回第8页/共75页第八页，共75页。96.3 6.3 状态状态(zhungti)(zhungti)反馈反馈极点配置：单输入情形极点配置：单输入情形n n问题(wnt)的提法n n线性定常受控系统给定期望(qwng)的闭环系统极点状态反馈极点配置问题就是对给定的受控系统，确定状态反馈控制u=-Kx+v，v为参考输入，即确定状态反馈增益矩阵K，使得导出的状态反馈闭环系统的极点为 ，即第9页/共75页第九页，共75页。10n n期望(qwng)闭环极点组的性能指标属性，联系控制理论和控制工程n n控制工程中基本类型性能指标n n 时间域性能指标：单位阶跃响应定义n n超调量s=

7、响应曲线第一次越过稳态值达到峰点时超调部分与稳态值之比n n过渡过程时间ts=响应曲线最终进入稳态值5%(或2%)范围而不再跃出的时间n n上升时间tr=响应曲线首次从稳态值10%过渡到稳态值90%所需时间n n延迟时间td=响应曲线首次达到稳态值50%所需时间n n峰值时间tp=响应曲线第一次达到峰点时间 期望期望期望期望(qwng)(qwng)闭环极点组闭环极点组闭环极点组闭环极点组第10页/共75页第十页，共75页。11频率域性能指标：频率响应幅频特性定义(dngy)谐振峰值Mr=幅频特性曲线达到峰点的值谐振角频率wr=幅频特性曲线峰值点对应角频率值截止角频率wcc=幅频特性曲线值为0.

8、707处对应角频率值二阶系统(xtng)的性能指标关系式典型二阶单输入单输出连续时间线性时不变系统(xtng)T：时间常数；0 z 0，Q 0，或Q 0且A，Q1/2能观测，则证明：I.Q 0，由解阵P的性质，P 0。取李亚普诺夫函数V(x)=xTPx为正定，有第35页/共75页第三十五页，共75页。36负定又因为 ，所以闭环系统大范围渐近稳定II.Q 0且(A，Q1/2)为能观测(gunc)。V(x)=xTPx为正定(zhn dn)负半定反证法证明对一切 x00的运动解x(t)，有 0。设对某个 x00的x(t)有 0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)00 (R

9、-1BTPx(t)TR(R-1BTPx(t)=u*T(t)R u*(t)0 xT(t)Q1/2 Q1/2x(t)=Q1/2x(t)TQ1/2x(t)u*(t)0Q1/2 x(t)0与A，Q1/2为能观测相矛盾，所以有 0 所以闭环系统大范围(fnwi)渐近稳定，证明完成。第36页/共75页第三十六页，共75页。37引入衰减(shui jin)度后，LQ调节问题变为在综合得到的最优调节系统中，闭环系统矩阵的所有特征值的实部均小于-a，引入线性变换转换为无限时间时不变 LQ调节问题第37页/共75页第三十七页，共75页。38结论6.43 指定衰减度的无限时间时不变LQ调节问题，最优控制的充要条件是

10、 u*(t)=-K*x*(t)，K*=R-1BTP最优调节系统为则最优调节系统以a为衰减上限指数稳定，即其中，P为矩阵黎卡提代数方程的正定对称解阵：第38页/共75页第三十八页，共75页。39 最优调节最优调节(tioji)(tioji)系统的频率域条件系统的频率域条件结论6.44 多输入无限时间时不变LQ调节问题(wnt)，最优调节系统，必满足如下频率条件：I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2T I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2 I其中等号只对有限个w值成立。结论6.45 单输入无限时间时不变LQ调节问题(wnt)，最优调节系统必满足如下频率条件：|1+k*(jwI

11、-A)-1b|1其中等号只对有限个w值成立。第39页/共75页第三十九页，共75页。40单输入情况频率域条件的几何解释|1+g0(jw)|1结论6.46 单输入时不变无限时间LQ调节问题，最优调节系统的频率域条件几何表示为，开环频率响应g0(jw)=k*(jwI-A)-1b在复平面上由w=0变化(binhu)到w=的曲线必不进入单位圆G(-1,j0)内，且g0(jw)曲线和单位圆G(-1,j0)只有有限个相切点。第40页/共75页第四十页，共75页。41 最优调节最优调节最优调节最优调节(tioji)(tioji)系统的鲁棒性系统的鲁棒性系统的鲁棒性系统的鲁棒性鲁棒性：指当受控系统鲁棒性：指当

12、受控系统(xt(xt ng)ng)的参数或反馈增益阵的的参数或反馈增益阵的参数发生摄动时，闭环调节系统参数发生摄动时，闭环调节系统(xt(xt ng)ng)仍能保持渐近仍能保持渐近稳定的属性。稳定的属性。增益裕度：保持闭环系统渐近稳定的b的变化(binhu)范围。相角裕度：g0(jw)当w=0的曲线和单位圆的交点与负实轴的夹角。第41页/共75页第四十一页，共75页。42结论6.47 单输入无限时间(shjin)时不变LQ调节问题，最优调节系统必具有(i)至少60o的相角裕度；(ii)从1/2到的增益裕度。结论6.48多输入无限时间时不变LQ调节问题，取相对控制输入加权阵R=diagr1，.，

13、rp，ri 0，则最优调节系统的每个反馈控制回路必具有：(i)至少60o的相角(xin jio)裕度；(ii)从1/2到的增益裕度。多输入情况第42页/共75页第四十二页，共75页。43反馈通道中包含非线性摄动的鲁棒性问题结论(jiln)6.49 多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统的反馈通道内包含非线性摄动F(s)，s=K*x，则当其满足如下扇形条件时：k1sTRs sTRF(s)k2sTs，s 0其中，1/2k1k2，k2，闭环系统为大范围渐近稳定。第43页/共75页第四十三页，共75页。44 最优跟踪最优跟踪最优跟踪最优跟踪(gnzng)(gnzng)问题问题问题问题最优跟踪问

14、题(wnt)：就是寻找一个控制u*()，使受控系统 的输出y跟踪信号系统 的输出 的同时使如下定义的二次型性能指标为极小。其中，加权阵Q为正半定阵，R为正定阵。第44页/共75页第四十四页，共75页。45结论6.51 受控系统跟踪信号系统的相对于二次型性能指标的最优控制律u*()为 u*(t)=-R-1BTPx-R-1BTP12z=-K1*x-K2*z而最优性能值为最优跟踪系统的结构如下图所示。返回(fnhu)黎卡提方程解阵 分块化表示第45页/共75页第四十五页，共75页。466.9 6.9 全维状态全维状态(zhungti)(zhungti)观测器观测器n n状态(zhungti)重构和状

15、态(zhungti)观测器重构状态(zhungti)或估计状态(zhungti)按功能分：函数观测器，状态观测器，按结构分：全维观测器，维数=原系统降维观测器，维数 1返回第52页/共75页第五十二页，共75页。536.10 6.10 降维状态降维状态(zhungti)(zhungti)观测器观测器n维线性定常系统A，C能观测，rankC=q，则降维观测器最小维数为n-q。同时(tngsh)，降维观测器抗噪能力低于全维状态观测器n n降维状态(zhungti)观测器的基本特性降维状态观测器：综合方案I基本思路是在利用输出y的基础上，对n-q维分状态构造全维状态观测器 算法6.11：选取 非奇异

16、，计算因为PQ=In，所以CQ1=Iq，CQ2=0结论6.60，6.61第53页/共75页第五十三页，共75页。54引入变换 ，导出下式，所以重构的仅是(n-q)维分状态结论(jiln)6.63计算极点配置综合 阵，使成立取第54页/共75页第五十四页，共75页。55综合得到降维状态观测器第55页/共75页第五十五页，共75页。56n维线性时不变系统(xtng)，A，C能观测，rankC=q。其降维状态观测器取为 的条件是结论6.67 上述(n-q)降维观测器实现的充要条件是存在使 为非奇异的(n-q)n满秩阵T，成立(1)TA FT=GC(2)H=TB(3)F特征值li(F)，i=1,n-q

17、，均具有负实部。估计状态为降维状态降维状态(zhungti)观测器：综合方案观测器：综合方案II第56页/共75页第五十六页，共75页。57结论6.68 设A和F不具有公共特征值，则方程TAFT=GC存在满秩解阵T使 为非奇异的必要条件是A，C能观测，F，G能控。对于单输出情形，这个条件也是充分条件。算法(sun f)6.12：计算计算第57页/共75页第五十七页，共75页。58选取(xunq)非奇异阵R，计算F=RF0R-1选取(xunq)G，使F，G能控求解(qi ji)TA FT=GC，定出唯一解阵T计算H=TB，所设计降维状态观测器为估计状态P非奇异?YNq?=11返回第58页/共75

18、页第五十八页，共75页。596.11 Kx-6.11 Kx-函数函数(hnsh)(hnsh)观观测器测器能控能观测系统以Kx为重构目标(mbio)的函数观测器可取为：结论(jiln)6.70 成为Kx-函数观测器的充要条件为(1)TA FT=GC，T为mn实常阵(2)H=TB(3)F的全部特征值均具有负实部。(4)MT+NC=K函数观测器的目标为：第59页/共75页第五十九页，共75页。60 如何确定(qudng)函数观测器的维数m 结论6.71 如果K为1n维常向量，可取m=g 1，g为A，C的能观测型指数算法(sun f)6.13：计算被估计系统(xtng)的能观测性指数g指定函数观测器的

19、特征值 ，都为具有负实部的共轭复数或负实数，则取第60页/共75页第六十页，共75页。61引入非奇异变换 PT=CT，RT，rankC=q，R需保证P为非奇异，则 ，计算求解组成第61页/共75页第六十一页，共75页。62求解组成组成并计算第62页/共75页第六十二页，共75页。63所设计的(g-1)维Kx-函数观测器且成立对于函数Kx，函数观测器的最小维数因具体问题的不同而不同。若pn阵K为秩1的，即rankK=1，表K=rK1，其中(qzhng)r为p1，K1为1n常向量，同样可取g 1维函数观测器重构Kx。算法如上所示。返回(fnhu)第63页/共75页第六十三页，共75页。646.12

20、 6.12 基于观测器的状态反基于观测器的状态反馈馈(fnku)(fnku)控制系统控制系统的特性的特性n n基于观测器的状态(zhungti)反馈系统的组成第64页/共75页第六十四页，共75页。65 基于基于基于基于(jy)(jy)观测器的状态反馈系统的特性观测器的状态反馈系统的特性观测器的状态反馈系统的特性观测器的状态反馈系统的特性n n令KB为包含观测器的状态反馈系统，0和OB分别为受控系统和观测器，则它们的维数之间成立：n n dim(KB)=dim(0)+dim(OB)n n包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性，n n KB的特征值集合=li(A-BK)，i=1,，n；n

21、 n lj(F)，j=1,，n-qn n分离性原理：观测器的引入不影响由状态反馈阵K所配置的系统特征值li(A-BK)，i=1,，n；状态反馈的引入也不影响已设计(shj)好的观测器的特征值lj(F)，j=1,，n-q。所以对包含观测器的状态反馈系统其设计(shj)可分离地来进行；n n观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵；第65页/共75页第六十五页，共75页。66一般地说，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较直接状态反馈系统为差。通常(tngchng)，选择观测器特征值的一般原则是 Reli(F)=(23)Reli(A-BK)具有具有(jyu)(jyu)观测器状态反馈系统和具有观

22、测器状态反馈系统和具有(jyu)(jyu)补偿器输出反馈系统的等价性补偿器输出反馈系统的等价性返回(fnhu)G1(s)=KQ2(sI-F)-1HG2(s)=KQ2(sI-F)-1G+KQ1Gp(s)=G2(s)GT(s)=I+G1(s)-1第66页/共75页第六十六页，共75页。676.13 6.13 小结小结(xioji)(xioji)和评述和评述n n本章定位：对连续时间线性时不变状态反馈控制系统的综本章定位：对连续时间线性时不变状态反馈控制系统的综合和实现方法的系统论述合和实现方法的系统论述n n控制系统综合的理论和方法：核心是对相应类型性能指标控制系统综合的理论和方法：核心是对相应类

23、型性能指标建立状态反馈可综合条件；实质是为确定状态反馈提供可建立状态反馈可综合条件；实质是为确定状态反馈提供可行行(kxng)(kxng)算法算法n n极点配置问题：节极点配置问题：节6.36.3节节6.66.6n n动态解耦和静态解耦问题：节动态解耦和静态解耦问题：节6.76.7节节6.86.8n n扰动抑制和渐近跟踪问题：节扰动抑制和渐近跟踪问题：节6.96.9n n线性二次型最优控制问题：节线性二次型最优控制问题：节6.106.10节节6.116.11n n控制系统物理实现和实际运行中的理论问题控制系统物理实现和实际运行中的理论问题n n观测器：节观测器：节6.126.12节节6.146

24、.14n n具有观测器的状态反馈系统：分离性，节具有观测器的状态反馈系统：分离性，节6.156.15返回(fnhu)第67页/共75页第六十七页，共75页。68例例 给定单给定单(dngdn)输入线性定常系统和期望的闭环特征值，输入线性定常系统和期望的闭环特征值，求反馈增益阵。求反馈增益阵。解：计算(j sun)特征多项式第68页/共75页第六十八页，共75页。69计算(j sun)变换阵计算(j sun)反馈赠益阵k返回(fnhu)第69页/共75页第六十九页，共75页。70例例例例 给定双输入给定双输入给定双输入给定双输入-双输出的线性定常受控系统为双输出的线性定常受控系统为双输出的线性定

25、常受控系统为双输出的线性定常受控系统为易知，其为能控能观测易知，其为能控能观测易知，其为能控能观测易知，其为能控能观测(gunc)(gunc)。试导出其解耦系统。试导出其解耦系统。试导出其解耦系统。试导出其解耦系统。解：(1)计算(j sun)di 和Ei(i=1,2)第70页/共75页第七十页，共75页。71(2)判断(pndun)可解耦性为非奇异(qy)，可解耦(3)导出积分(jfn)型解耦系统第71页/共75页第七十一页，共75页。72为解耦规范(gufn)形，所以变换阵Q=I(4)导出状态反馈(fnku)增益矩阵第72页/共75页第七十二页，共75页。73设期望(qwng)特征值(5)导出实现解耦控制和极点(jdin)配置的控制矩阵对 L,K第73页/共75页第七十三页，共75页。74(6)导出解耦后闭环控制系统的状态(zhungti)空间方程和传递函数矩阵返回(fnhu)第74页/共75页第七十四页，共75页。75感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第75页/共75页第七十五页，共75页。