离散控制系统自动控制原理件.pptx

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1、会计学1离散控制系统离散控制系统(kn zh x tn)自动控制自动控制原理件原理件第一页，共143页。2023/2/72第7章 离散(lsn)控制系统7.1 概述7.2 采样过程(guchng)与采样定理7.3 Z变换理论7.4 离散控制系统的数学描述7.5 离散控制系统的稳定性分析及瞬态响应7.6 离散控制系统的稳态误差7.7 离散系统的数字控制器设计7.8 MATLAB在离散控制系统中的应用第1页/共143页第二页，共143页。2023/2/737.1 概述(i sh)离散控制系统（又称为采样控制系统），与连续控制系统的根本(gnbn)区别在于：离散系统有一处或几处信号是时间的离散函数。

2、(7-1)图7.1是离散系统的方框图。图中两个采样开关(kigun)的动作一般是同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。图7.1 离散系统方框图图7.2 离散系统简化方框图误差第2页/共143页第三页，共143页。2023/2/74图7.3 离散型时间(shjin)函数采样(ci yn)开关经一定时间T后闭合，每次闭合时间为(T)，如图所示。第3页/共143页第四页，共143页。5 离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图中用于控制的计算机D工作(gngzu)在离散状态，被控对象G(s)工作(gngzu)在模拟状态。由于由于A/DA/D和和D/AD/A转换器的转换转换器的转换精度一般都比较精

3、度一般都比较高，转换所造成高，转换所造成的误差通常可忽的误差通常可忽略不计，因此略不计，因此A/DA/D和和D/AD/A转换器可以转换器可以用采样开关用采样开关(kigun)(kigun)来表示。来表示。简化(jinhu)第4页/共143页第五页，共143页。2023/2/76 将连续(linx)信号通过采样开关(或采样器)变换成离散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间间隔称为采样周期T。n n等速采样等速采样(ci yn):(ci yn):采样采样(ci yn)(ci yn)开关以相同的采开关以相同的采样样(ci yn)(ci yn)周期周期T T动作，又称为周期采样动作，又称为周期采

4、样(ci yn)(ci yn)n n多速采样多速采样(ci yn):(ci yn):系统中有系统中有n n个采样个采样(ci yn)(ci yn)开关开关分别按不同周期动作分别按不同周期动作n n随机采样随机采样(ci yn):(ci yn):采样采样(ci yn)(ci yn)开关动作是随机开关动作是随机的的采样(ci yn)频率：采样角频率：采样可分为：7.2 采样过程与采样定理采样过程及其数学描述 第5页/共143页第六页，共143页。2023/2/77 采样(ci yn)过程如图7.6所示。(a)(b)(c)图7.6 采样(ci yn)过程写出脉冲序列x*(t)表达式为(7-2)由于T

5、，该矩形脉冲可近似用理想单位脉冲来描述，即 (7-3)第6页/共143页第七页，共143页。2023/2/78 式(7-4)表明，离散信号是由一系列脉冲组成，在采样时刻t=kT，脉冲的面积(min j)就等于该时刻连续信号x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可写作(7-5)因此，采样过程(guchng)从物理意义上可以理解为脉冲调制过程(guchng)。采样开关(kigun)对连续信号x(t)进行采样后，其输出的离散时间信号x*(t)可表示为(7-4)第7页/共143页第八页，共143页。2023/2/79采样(ci yn)定理 在设计离散(lsn)控制系统中，采样周期的选择是一个关键问题。

6、假设连续信号x(t)的频率特性为(7-6)该信号(xnho)的频谱|X(j)|是一个单一的连续频谱，其最高频率为max，如图所示。根据式(7-5)，离散信号(xnho)x*(t)的拉普拉斯变换为(7-7)第8页/共143页第九页，共143页。2023/2/710式中s=2/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变换(binhun)。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=j，求得x*(t)的傅氏变换(binhun)为(7-8)式中X(j)为连续信号(xnho)x(t)的傅氏变换，|X(j)|即为x(t)的频谱，即(7-9)第9页/共143页第十页，共143页。2023/2/711当s2ma

7、x时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的离散频谱，其中与k=0对应(duyng)的是采样前原连续信号的频谱，幅值为原来的1/T，如图7.7(b)所示。若s2max，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立频谱构成，而是一种(y zhn)与原来连续信号x(t)的频谱毫不相似的连续频谱，如图7.7(c)所示。第10页/共143页第十一页，共143页。2023/2/712定理定理7.1(Shannon7.1(Shannon定理定理)：如果对一个具有有限：如果对一个具有有限(yuxin)(yuxin)频谱频谱(-maxmax)(-maxmax的高频分量全部滤除掉，仅留下X(j)/T部分，再经过放大器对1

8、/T进行补偿，便可无失真地将原连续信号x(t)完整地提取出来。(3)采样周期T是离散控制系统中的一个关键参数。如果采样周期选得越小，即采样频率越高，对被控系统的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。第11页/共143页第十二页，共143页。2023/2/713信号(xnho)的恢复信号(xnho)恢复/保持就是将离散时间信号(xnho)变成连续时间信号(xnho)。实现保持功能的器件称为保持器。保持器在离散系统中的位置应处在采样开关之后(图7.8)。图7.8 保持(boch)器方块图具有常值、线性、二次函数(如抛物线)型外推规律的保持器，分别称为零阶、一阶、二阶保持器。工程实践中普遍采用零阶保

9、持器。零阶保持器是一种按常值规律外推的保持器。它把前一个采样时刻kT的采样值x(kT)不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。当下一个采样时刻(k+1)T到来时应换成新的采样值(k+1)T继续外推。也就是说，kT时刻的采样值只能保存一个采样周期T，到下一个采样时刻到来时应立即停止作用，下降为零。第12页/共143页第十三页，共143页。2023/2/714 零阶保持器的时域特性gh(t)如图7.9(a)所示。它是高度为1宽度为T的方波。高度等于(dngy)1，说明采样值经过保持器既不放大、也不衰减；宽度等于(dngy)T，说明零阶保持器对采样值保存一个采样周期。图7.9(a)所示的gh(t

10、)可以分解为两个阶跃函数之和，如图7.9(b)所示。图7.9 零阶保持(boch)器的时域特性(b)(a)第13页/共143页第十四页，共143页。2023/2/715(7-11)则零阶保持(boch)器的传递函数为(7-12)令s=j，带入式(7-12)中得零阶保持(boch)器频率特性为(7-13)或写成(7-14)因此零阶保持器的单位(dnwi)脉冲响应gh(t)是一个幅值为1、持续时间为T的矩形脉冲，可表示为两个阶跃函数之和，即第14页/共143页第十五页，共143页。2023/2/716式(7-14)中，|Gh(j)|为零阶保持器的幅频特性或频谱；Gh(j)为零阶保持器的相频特性。它

11、们(t men)与频率的关系分别为(7-15)(7-16)第15页/共143页第十六页，共143页。2023/2/717 从幅频特性来看，零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器，且频率越高衰减越剧烈，0时的幅值为T；从相频特性来看，零阶保持器具(qj)有负的相角，会对闭环系统的稳定性产生不利的影响。图7.10 零阶保持(boch)器的幅频与相频特性第16页/共143页第十七页，共143页。2023/2/718 零阶保持(boch)器有无穷多个截止频率。所以零阶保持(boch)器并不是只有一个截止频率的理想低通滤波器，因此由零阶保持(boch)器恢复的连续信号xh(t)与原连续信号x(t)是有

12、差异的。此外零阶保持(boch)器引入了附加的滞后相移，xh(t)比x(t)在时间上平均滞后半个采样周期（如图7.11中虚线所示），这使系统的相对稳定性有所降低。图7.11 零阶保持(boch)器的输出信号第17页/共143页第十八页，共143页。2023/2/719连续时间函数x(t)经采样周期(zhuq)为T的采样开关后，得到离散信号x*(t)(式7-4)，即对上式表示的离散信号进行(jnxng)拉氏变换，可得(7-17)式中X*(s)是离散(lsn)时间函数x*(t)的拉氏变换。1、Z变换定义变换定义7.3 Z变换理论变换定义和性质第18页/共143页第十九页，共143页。2023/2/

13、720因复变量s包含在指数函数e-kTs中不便(bbin)计算，故引进一个新变量z，即(7-18)式中，T为采样周期。将式(7-18)代入式(7-17)，便得到以z为变量(binling)的函数X(z)，即(7-19)式中X(z)称为离散时间(shjin)函数X*(s)的Z变换，记为 在Z变换中，考虑的是连续时间信号经采样后的离散时间信号，或者说考虑的是连续时间函数在采样时刻的采样值，而不考虑采样时刻之间的值。第19页/共143页第二十页，共143页。2023/2/721 Z变换有一些基本定理，可以(ky)使Z变换的应用变得简单和方便，在许多方面与拉普拉斯变换的基本定理有相似之处。(1)线性定

14、理 设函数x(t)、x1(t)、x2(t)的Z变换(binhun)分别为X(z)、X1(z)及X2(z)，a为常数，则有(7-21)(7-22)此定理(dngl)可由Z变换定义直接证得。2 2、Z Z变换性质变换性质第20页/共143页第二十一页，共143页。2023/2/722(2)时移定理 如果(rgu)函数x(t)的z变换为X(z)，则 式(7-23)亦称延迟(ynch)定理，式(7-24)亦称超前定理。(7-23)(7-24)证明证明(zhngmng)(zhngmng)首先证明首先证明(zhngmng)(zhngmng)式式(7-23)(7-23)。令。令ik=rik=r，由，由则求得

15、 第21页/共143页第二十二页，共143页。2023/2/723因为(yn wi)t0时x(t)=0，则x(kT)=x(2T)=x(T)=0，则式(7-25)可写成式7-23，命题得证。延迟定理说明(shumng)，原函数在时域中延迟k个采样周期，相当于像函数乘以zk。(7-25)第22页/共143页第二十三页，共143页。2023/2/724再证明(zhngmng)式(7-24)，由 ，令i+k=r，则求得若满足(mnz)x(0)=x(T)=x(k1)T=0，上式可简写为(7-26)算子(sun z)zk的意义，相当于把时间信号超前k个采样周期。第23页/共143页第二十四页，共143页。

16、2023/2/725(3)初值定理 如果函数x(t)的Z变换(binhun)为X(z)，并且t0时有x(t)=0，则(7-27)证明证明 由由Z Z变换变换(binhun)(binhun)定义可得定义可得 在上式中，当z时，除第一项外，其余(qy)各项均为零，即 第24页/共143页第二十五页，共143页。2023/2/726(4)终值定理(dngl)如果函数x(t)的Z变换X(z)的极点均位于z平面的单位圆内，且不含有z=1的二重以上的极点，则x(t)的终值为(7-28)证明证明(zhngmng)(zhngmng)由由 得当z1时，两边(lingbin)取极限得第25页/共143页第二十六页

17、，共143页。2023/2/727变换(binhun)方法(1)级数求和法 式(7-19)是离散函数x*(t)的Z变换的级数展开(zhn ki)形式，将其改写成(7-29)该式是Z变换的一种级数表达式。显然(xinrn)，只要知道连续时间函数x(t)在各采样时刻kT(k=0,1,2,)上的采样值x(kT)，便可求出Z变换的级数展开式。这种级数展开式具有无穷多项，是开放的，如果不能写成闭式，是很难应用的。一些常用函数的Z变换的技术展开式可以写成闭式的形式。第26页/共143页第二十七页，共143页。2023/2/728例例7-1 试求单位(dnwi)阶跃函数1(t)的Z变换。解解 单位阶跃函数单

18、位阶跃函数1(t)1(t)在所有在所有(suyu)(suyu)采样时刻上的采样值均为采样时刻上的采样值均为1 1，即，即 将上式代入式(7-21)，得或(7-30)上式中，若|z|1，可写成如下(rxi)的封闭形式，即(7-31)第27页/共143页第二十八页，共143页。2023/2/729例例7-2 试求衰减(shui jin)的指数函数e-at(a0)的Z变换。解解 将将e-ate-at在各采样在各采样(ci yn)(ci yn)时刻的采样时刻的采样(ci yn)(ci yn)值代入式值代入式(7-29)(7-29)中，得中，得 (7-32)若|eatz|1,则上式可写成闭式的形式(xn

19、gsh)，即(7-33)例例7-3 试求函数ak的Z变换。解解 将ak在各采样时刻的采样值代入式(7-21)中得(7-34)将该级数写成闭合形式，得ak的Z变换，即(7-35)第28页/共143页第二十九页，共143页。2023/2/730例例7-4 试求函数x(t)=sint的Z变换(binhun)。解解 因为因为(yn wi)(yn wi)所以(suy)(7-36)通过级数求和法求取已知函数Z变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭合形式。在某些情况下需要很高的技巧。Z变换的无穷级数形式(7-29)的优点在于具有鲜明的物理含义。第29页/共143页第三十页，共143页。2023/2/731(2

20、)部分分式法设连续时间(shjin)函数x(t)的拉普拉斯变换X(s)为有理函数，并具有如下形式将X(s)展开成部分(b fen)分式和的形式，即由拉氏变换知，与 项相对(xingdu)应的时间函数为 ，根据式(7-33)便可求得其Z变换为 ，因此，函数x(t)的Z变换可由X(s)求得(7-38)(7-37)(7-39)第30页/共143页第三十一页，共143页。2023/2/732例例7-5 利用部分分式法求取正弦函数(hnsh)sint的Z变换。解解 已知已知 ，将，将 分解成部分分式分解成部分分式(fnsh)(fnsh)和的形式，即和的形式，即 由于 拉氏变换(binhun)的原函数为

21、；再根据式(7-33)可求得上式的Z变换(binhun)(7-40)第31页/共143页第三十二页，共143页。2023/2/733例例7-6 已知连续函数x(t)的拉氏为 ，求连续时间(shjin)函数x(t)的Z变换。解解 将将X(s)X(s)展成展成(zhn chn)(zhn chn)如下部分分式如下部分分式 对上式逐项取拉氏反变换(binhun)，得据求得的时间函数，逐项写出相应的Z变换，得(7-41)第32页/共143页第三十三页，共143页。2023/2/734(3)留数计算法 假如已知连续时间函数x(t)的拉氏变换(binhun)X(s)及全部极点si(i=1,2,3,n)，则x

22、(t)的Z变换(binhun)X(z)可通过留数计算求得。先分析X(z)和X(s)的关系(gun x)。由拉氏反变换式有当对x(t)以采样(ci yn)周期T进行采样(ci yn)后，其采样(ci yn)值为(7-42)而x(kT)的Z变换为(7-43)第33页/共143页第三十四页，共143页。2023/2/735将式(7-42)代入式(7-43)得符合收敛(shulin)条件|z|eTs|时，可写成闭式将此其代入式(7-43)，得(7-44)这就是由拉普拉斯变换函数直接求相应(xingyng)的Z变换函数的关系式。这个积分可以应用留数定理来计算。第34页/共143页第三十五页，共143页。

23、2023/2/736即(7-45)式中，si为X(s)的极点(jdin)；n为X(s)的极点(jdin)个数；表示(biosh)求F(s)在s=si处的留数。(7-46)若si为X(s)的ri重极点(jdin)，则(7-47)若si为X(s)的单极点，则 第35页/共143页第三十六页，共143页。2023/2/737例例7-7 已知解解 由由X(s)可知可知s1=0为二重极点，为二重极点，s2=1为单极点，则可根据为单极点，则可根据(gnj)式式(7-46)和式和式(7-47)计算留数，即计算留数，即求X(z).第36页/共143页第三十七页，共143页。2023/2/738反变换(binh

24、un)方法 根据X(z)求离散时间信号x*(t)或采样时刻值的一般表达式x(kT)的过程称为Z反变换，记为Z-1X(z)。下面介绍三种常用求Z反变换的方法。(1)长除法 由函数的Z变换表达式，直接利用长除法求出按z-1升幂排列的级数形式(xngsh)，再经过拉氏反变换，求出原函数的脉冲序列。X(z)的一般形式(xngsh)为第37页/共143页第三十八页，共143页。2023/2/739用长除法(chf)求出z-1的升幂形式，即(7-48)求X(z)=的Z反变换(binhun)，其中e-aT=0.5。例例7-8解解 用长除法将用长除法将X(z)X(z)展开展开(zhn ki)(zhn ki)为

25、无穷级数形式为无穷级数形式 相应的脉冲序列为第38页/共143页第三十九页，共143页。2023/2/740(2)部分分式法 通过部分分式法求取Z反变换的过程，与应用部分分式法求取拉普拉斯反变换很相似(xin s)。首先需将用部分分式法展开成形式的诸项之和，即(7-49)再将等号两边同乘以复变量z，通过Z反变换求取相应(xingyng)的时间函数，最后将上述各时间函数求和即可。例例7-9求 的Z反变换(binhun)。解解 首先将 展开成下列部分分式 第39页/共143页第四十页，共143页。2023/2/741由此可得得根据t=kT，并且只考虑采样时刻(shk)的函数值，则x*(t)还可用x

26、(t)来表示，即再由第40页/共143页第四十一页，共143页。2023/2/742(3)留数计算法 留数法又称反演积分法。实际问题(wnt)中遇到的Z变换函数X(z)除有理分式外也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法或幂级数法来求取Z反变换，只能采用留数计算法。若x(kT)的Z变换为X(z)，则有(7-50)式中，积分曲线c为逆时针方向包围X(z)zk-1全部(qunb)极点的圆。式(7-50)可等效为(7-51)上式表明，x(kT)为函数X(z)zk-1在其全部(qunb)极点上的留数之和。第41页/共143页第四十二页，共143页。2023/2/743例例7-10 求 的Z反变换(bi

27、nhun)。或解解 例例7-11 求 的Z反变换(binhun)。解解 X(z)X(z)中互不相同中互不相同(xin tn)(xin tn)的极点为的极点为z1=az1=a及及z2=1z2=1，第42页/共143页第四十三页，共143页。2023/2/744由此可求得X(z)的Z反变换(binhun)为其中(qzhng)z1为单极点，即r1=1；z2为二重极点，即r2=2，不相同的极点数为l=2。则第43页/共143页第四十四页，共143页。2023/2/745差分方程是反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系。微分方程中的各项包含有连续自变量的函数及其导数。差分方程中自变量是离散的，方程的各

28、项除了(ch le)包含有这种离散变量的函数，还包含此函数序数增加或减少的函数。7.4 离散控制系统的数学(shxu)描述线性常系数(xsh)差分方程第44页/共143页第四十五页，共143页。2023/2/746 设系统为一阶惯性(gunxng)环节，如图7.12(a)所示。系统的传递函数为 其微分方程(wi fn fn chn)为 该连续系统对应的离散系统如图7.12(b)所示。采样开关Ka对输入信号每隔T秒采样一次，得序列 。输出经过(jnggu)与Ka同步的采样开关Kb后的序列为 。下面来研究y(kT)与x(kT)之间的关系。(7-52)第45页/共143页第四十六页，共143页。20

29、23/2/747(a)(b)图7.12 连续(linx)时间系统和离散时间系统的方框图 与连续时间系统中求解微分方程的方法一样，对于离散时间系统，求解差分方程时也可以(ky)分别求出其零输入分量和零状态分量，然后迭加得到方程的全解。考察在tkT时的情况。当tkT而该时刻的脉冲尚未施加时，由该时刻开始的零输入分量为(7-53)第46页/共143页第四十七页，共143页。2023/2/748由于(yuy)此系统的单位脉冲响应是 。(7-54)于是(ysh)，tkT后的系统总输出为(7-55)当t=(k+1)T时，式(7.55)为或(7-56)(7-57)所以(suy)当t=kT，第k个脉冲x(kT

30、)(tkT)加于系统后，系统输出的零状态分量为 第47页/共143页第四十八页，共143页。2023/2/749 差分方程式(7-56)或(7-57)是描述描述了系统在第k个采样周期时输入与输出信号的关系(gun x)。从式中可以看出，差分方程的系数与采样周期T有关。假设时间间隔T足够小，当t=kT时，有因此(ync)，式(7-52)可改写为经整理后，可得(7-58)对于一个物理系统，用常系数线性n阶差分方程来描述时，一般形式为(7-59)式中，ai和bi(i=0,1,2,n)均为常数。第48页/共143页第四十九页，共143页。2023/2/750脉冲(michng)传递函数 (1)脉冲传递

31、函数定义 在线性连续系统中，当初始条件为零的情况下分别取输入r(t)和输出c(t)的拉氏变换，则它们的比值C(s)/R(s)=G(s)称为(chn wi)系统的传递函数。在离散系统中也有同样的表达方法，在初始条件为零的情况下取输出Z变换与输入Z变换之比(7-60)上式称为(chn wi)系统脉冲传递函数，也称z传递函数。第49页/共143页第五十页，共143页。2023/2/751下面从系统的单位脉冲(michng)响应的角度推导脉冲(michng)传递函数，并说明其物理意义。设输入信号r(t)经采样开关后为一脉冲(michng)序列，如图7.13(a)所示。这一脉冲序列作用(zuyng)于系

32、统的G(s)时，系统输出为一系列脉冲响应之和，如图7.13所示。(a)(b)(c)图7.13 脉冲响应第50页/共143页第五十一页，共143页。2023/2/752当0tT时，作用(zuyng)于G(s)的输入脉冲为r(0)时，则系统的输出响应为 式中g(t)为系统(xtng)G(s)的单位脉冲响应，且满足 当Tt2T时，系统处于两个输入脉冲的作用下：一个(y)是t=0时的r(0)脉冲作用，它产生的响应依然存在；另一个(y)是t=T时的r(T)脉冲作用。因此在此区间内的系统输出响应为 第51页/共143页第五十二页，共143页。2023/2/753在kTt0时，g(t)=0，所以当ik时，式

33、(7-62)中 可见当系统输入(shr)为一系列脉冲时，输出为各脉冲响应之和。在t=kT时刻系统输出的采样信号值为第52页/共143页第五十三页，共143页。2023/2/754 因此，kT时刻以后的输入脉冲，如r(k+1)T,r(k+2)T,不会对kT时刻的输出信号产生影响，故式(7-62)中求和(qi h)上限可扩展为i，可得(7-63)由Z变换(binhun)的定义，得(7-64)于是(ysh)有下式成立第53页/共143页第五十四页，共143页。2023/2/755(7-65)令ki=n，同样(tngyng)考虑到当n0时，g(nT)=0，又有(7-66)故(7-67)G(z)就是图7

34、.13(b)所示系统的脉冲传递函数。由于式(7-67)是脉冲响应函数的采样(ci yn)序列的Z变换，所以又称为系统的z传递函数。第54页/共143页第五十五页，共143页。2023/2/756 有两点需要说明：物理系统在输入为脉冲序列的作用下，其输出量是时间的连续函数，如图7.14的c(t)。但如前所述，Z变换只能表征连续时间函数在采样时刻的采样值。因此，这里所求得的脉冲传递函数，是取系统输出的脉冲序列作为输出量。因此，在方框图上可在输出端虚设一个(y)同步采样开关，如图7.14所示。实际系统中这个开关并不存在。图7.14 z传递函数第55页/共143页第五十六页，共143页。2023/2/

35、757 G(s)G(s)表示线性环节本身的传递函数，而表示线性环节本身的传递函数，而G(z)G(z)表示图表示图7.147.14中的线性环节与采样开关组合形成的传中的线性环节与采样开关组合形成的传递函数。尽管递函数。尽管(jn gun)(jn gun)计算计算G(z)G(z)时只需知道该环节的时只需知道该环节的G(s)G(s)即即可，但计算出来的可，但计算出来的G(z)G(z)却包括了采样开关。若无采却包括了采样开关。若无采样开关且输入信号是连续时间函数，那么就无法求样开关且输入信号是连续时间函数，那么就无法求出出z z传递函数，即在此情况下不能将输入信号和线性传递函数，即在此情况下不能将输入

36、信号和线性环节分开进行环节分开进行Z Z变换，只能求出输出信号的变换，只能求出输出信号的Z Z变换。变换。若若G(s)G(s)形式比较复杂，要先展开成部分分式，形式比较复杂，要先展开成部分分式，以便与拉氏变换和以便与拉氏变换和Z Z变换中的基本形式相对应。变换中的基本形式相对应。例例7-12 系统(xtng)如图7.14所示，已知 求z传递函数G(z)。第56页/共143页第五十七页，共143页。2023/2/758解解 将将G(s)G(s)分解成部分分解成部分(b fen)(b fen)分式分式查表7.1可得例例7-13 离散系统的差分(ch fn)方程为 假设(jish)系统的初始条件为零

37、，试求系统的z传递函数。解解 对上式两侧进行Z变换，由时移定理中的延迟定理，并提出公因子可 第57页/共143页第五十八页，共143页。2023/2/759整理(zhngl)后得例例7-14 设离散系统的差分(ch fn)方程为 式中试求系统(xtng)响应c(k)。解解 对差分方程两侧取Z变换得 整理并注意到r(k)的Z变换R(z)=1，得查表7.1Z变换表，并应用延迟定理，可以得到第58页/共143页第五十九页，共143页。2023/2/760(2)串联环节的开环脉冲传递函数1)串联环节之间无采样开关(kigun)图7.15(a)所示为系统串联的两个环节G1(s)和G2(s)之间无采样开关

38、(kigun)的情形。根据方框图简化原则可简化为图7.15(b)。开环系统的脉冲传递函数可由连续工作状态的传递函数G1(s)和G2(s)的乘积求得(7-68)即等于各环节传递函数之积的z变换。上述结论(jiln)可推广到无采样开关间隔的n个环节串联的情况。第59页/共143页第六十页，共143页。2023/2/761例例7-15 两串联(chunlin)环节G1(s)和G2(s)之间无采样开关，试求串联环节(hunji)等效的脉冲传递函数G(z)。解解 串联串联(chunlin)(chunlin)系统的脉冲传递函数为系统的脉冲传递函数为第60页/共143页第六十一页，共143页。2023/2/

39、762 2)串联环节(hunji)之间有采样开关图7.16 环节(hunji)之间有采样器分隔 图7.16所示为两串联环节之间有采样开关的情形。图中采样器T1和T2是同步的。对于第一个环节，由于(yuy)前后都存在采样开关，其输入为采样输入r(kT)，输出经采样器后为c1(kT)，有第61页/共143页第六十二页，共143页。2023/2/763对于第二个环节，其输入(shr)为c1(kT)，输出为c(t)，其Z变换为两环节串联(chunlin)后，其总的脉冲传递函数为(7-69)当串联环节之间有采样开关时，系统脉冲传递函数等于这两个环节脉冲传递函数的乘积。上述结论可以推广到多个环节串联而且环

40、节间都存在(cnzi)同步采样开关的情形，总的脉冲传递函数等于各个环节的脉冲传递函数的乘积。第62页/共143页第六十三页，共143页。2023/2/764例例7-16 两串联环节G1(s)和G2(s)之间有采样(ci yn)开关，试求串联环节(hunji)等效的脉冲传递函数G(z)。解解 串联系统串联系统(xtng)(xtng)的脉冲传递函数为的脉冲传递函数为 说明：在串联环节间有无采样开关其脉冲传递函数是完全不同的。勿将G1G2(z)与G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示两个串联环节的传递函数相乘后再取z变换，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z变换后再相乘

41、。通常G1G2(z)G1(z)G2(z)。第63页/共143页第六十四页，共143页。2023/2/765(3)闭环系统脉冲传递函数 1)设闭环系统如图7.17所示。图中虚线所示的理想采样开关是为了便于(biny)分析而虚设的。所有采样开关都是同步工作的。在系统中，误差信号是采样的。由方框图可得式中，E(z)、R(z)和B(z)分别是e(t)、r(t)和b(t)经采样后脉冲序列的Z变换；GH(z)为环节(hunji)串联且环节(hunji)之间无采样器时的脉冲传递函数，它是G(s)H(s)的Z变换，由以上两式可求得第64页/共143页第六十五页，共143页。2023/2/766(7-70)系统

42、输出(shch)的Z变换为C(z)=G(z)E(z)，即(7-71)或(7-72)式(7-72)为图7.17所示闭环系统(xtng)的脉冲传递函数。图7.17 闭环离散系统第65页/共143页第六十六页，共143页。2023/2/767 2)设闭环系统如图7.18所示。讨论系统的连续部分有扰动输入(shr)n(t)时的脉冲传递函数。此时假设给定输入(shr)信号为零，即r(t)=0。由方框图得到由以上(yshng)两式可求得(7-73)图7.18 扰动输入时的离散(lsn)闭环系统 第66页/共143页第六十七页，共143页。2023/2/768式中，由于作用(zuyng)在连续环节G2(s)

43、输入端的扰动未经采样，所以只能得到输出量的Z变换式，而不能得出对扰动的脉冲传递函数，这与连续系统有所区别。例例7-17 设闭环系统结构如图7.19所示，试求系统输出(shch)的z变换。图7.19 例7-17的闭环离散系统解解 由于由于(yuy)(yuy)第67页/共143页第六十八页，共143页。2023/2/769整理(zhngl)，得由上式无法(wf)解出C(z)/R(z)，因此也不能求出闭环系统的脉冲传递函数。例例7-18 系统结构如图7.20所示，试求闭环系统的单位(dnwi)阶跃响应。图7.20 例7-18闭环离散系统第68页/共143页第六十九页，共143页。2023/2/770

44、解解 系统系统(xtng)的开环脉冲传递函数为的开环脉冲传递函数为 其闭环系统(xtng)的脉冲传递函数为对于单位(dnwi)阶跃输入，因此，可求得输出量C(z)如下 第69页/共143页第七十页，共143页。2023/2/771系统(xtng)输出c(kT)如图7.21所示。图7.21 c(kT)与kT的关系(gun x)曲线第70页/共143页第七十一页，共143页。2023/2/772例例7-19 设闭环离散系统结构(jigu)如图7.22所示，试求其闭环脉冲传递函数。图7.22 例7-22闭环离散系统解解 从系统从系统(xtng)(xtng)结构图可以得到结构图可以得到第71页/共14

45、3页第七十二页，共143页。2023/2/773 以上三个方程是对输出变量和实际采样开关两端的变量列出的方程，其中均有离散信号的拉氏变换。求以上三式对应的Z变换(binhun)可以得到进一步整理(zhngl)，可得即由此可得系统(xtng)的Z变换为第72页/共143页第七十三页，共143页。2023/2/774(4)Z变换法的局限性 1)Z变换的推导过程是建立在采样开关是理想开关的基础之上。即假设采样是瞬时完成的，则采样开关的输出是一系列理想脉冲，在采样瞬时每个理想脉冲的面积等于采样开关输入信号的幅值。前面曾经提到，若采样开关的持续时间远远小于采样周期，也远远小于系统连续部分的最大时间常数时

46、，那么上述假设是成立的。2)无论是开环还是闭环离散系统，其输出大多是连续信号c(t)而不是采样信号c(kT)。而用一般的Z变换只能求出采样输出c(kT)，这样(zhyng)就不能反映采样间隔内的c(t)值。如果要研究采样间隔内的c(t)值，可以采用修正Z变换法或等分采样周期法。第73页/共143页第七十四页，共143页。2023/2/775 虽然Z变换是研究离散时间线性系统的有效工具，但由于上述原因，研究用c(kT)来代替c(t)时，就会提出精确程度的疑问，以及由此产生的错误的结果如何处理，是否存在限制条件等问题。下面对此进行讨论(toln)。用Z变换法研究(开环)离散系统时，首先必须满足：系

47、统连续部分传递函数G(s)的极点至少比零点多两个，或者满足否则，用Z反变换所得到的c(kT)，将其用光滑曲线连接起来，与c(t)相比有较大误差，有时甚至是错误的。为了说明这个问题，下面(xi mian)举例进行说明。第74页/共143页第七十五页，共143页。2023/2/776例例7-20 设开环离散系统如图7.23所示，系统连续部 分传函G(s)不满足上述条件。设r(t)=1(t)，采样(ci yn)周期T=1s，试比较c*(t)与c(t)。图7.23 例7-23的开环离散系统解解 先用先用Z Z变换变换(binhun)(binhun)法求出法求出c*(t)c*(t)。因为。因为所以(su

48、y)第75页/共143页第七十六页，共143页。2023/2/777用幂级数法将C(z)展成(zhn chn)于是(ysh)得作出c*(t)如图7.24所示。图7.24 例7-23的采样输出(shch)函数 求出当系统连续部分的输入为 时，系统连续输出c(t)，如图7.25所示。第76页/共143页第七十七页，共143页。2023/2/778 由此例可知，当假设采样开关为理想开关的情况下，系统连续部分的输入为一系列理想脉冲，当连续部分的传递函数不满足(mnz)极点数比零点数多两个的条件时，系统的连续输出信号在采样点会发生跳跃，从而导致了c*(t)与c(t)的显著差别。因此，不可能用c*(t)来

49、完整地描述c(t)。图7.25 例7-23的连续(linx)输出函数 第77页/共143页第七十八页，共143页。2023/2/7797.5 离散控制系统的稳定性分析(fnx)及瞬态响应 和连续时间控制系统一样，离散(lsn)时间控制系统的分析也包括系统稳定性和瞬态响应分析。第78页/共143页第七十九页，共143页。2023/2/780稳定性分析(fnx)为了将连续系统在s平面上的稳定性理论移植到z平面上分析离散系统的稳定性，首先研究s平面与z平面的映射关系，随后讨论如何在z域中分析离散系统的稳定性。(1)s域到z域的映射 在连续时间线性系统中，系统的稳定性可以(ky)根据特征方程的根在s平

50、面的位置来确定。若系统特征方程的根都具有负实部，即都分布在s平面左半部，则系统是稳定的。由于离散时间线性系统的数学模型是建立在z变换的基础上，所以为了分析系统的稳定性，首先介绍s平面和z平面之间的映射关系。第79页/共143页第八十页，共143页。2023/2/781 在Z变换定义中，z=eTs给出了s域到z域的关系。s域中的任意点可表示(biosh)为s=+j，映射到z域为(7-74)于是，s域到z域的基本(jbn)映射关系式为(7-75)令=0，相当于取s平面的虚轴，当从变到时，由式(7-74)知，映射到z平面的轨迹(guj)是以原点为圆心的单位圆。当s平面上的点沿虚轴从变到时，z平面上相