线性系统的根轨迹法资料.pptx

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1、会计学1线性系统的根轨迹线性系统的根轨迹(guj)法资料法资料第一页，共75页。4.1 4.1 4.1 4.1 根轨迹根轨迹根轨迹根轨迹(guj)(guj)(guj)(guj)的基本概念的基本概念的基本概念的基本概念根轨迹根轨迹(guj)的基本概念的基本概念C(s)R(s)15.0(+SSKC(s)R(s)15.0(+ssK 系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征(tzhng)方程式的根在方程式的根在 s平面上变化的轨迹称为根轨迹。平面上变化的轨迹称为根轨迹。第2页/共75页第二页，共75页。第3页/共75页第三页，共75页。系

2、统特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切(mqi)相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。根轨迹与系统性能之间有比较密切(mqi)的关系。根轨迹根轨迹(guj)与系统性与系统性能能第4页/共75页第四页，共75页。闭环零极点闭环零极点(jdin)与开环零极点与开环零极点(jdin)的关系的关系G(s)C(s)R(s)H(s)G(s)C(s)R(s)H(s)第5页/共75页第五页，共75页。结论结论(jiln)第

3、6页/共75页第六页，共75页。根轨迹根轨迹(guj)方程方程 特征特征(tzhng)方程的这种形式称为根轨迹方程。满足根轨迹方程的方程的这种形式称为根轨迹方程。满足根轨迹方程的s就是闭环特征就是闭环特征(tzhng)根。当根轨迹增益根。当根轨迹增益 K*从从0时，特征时，特征(tzhng)根根s在复平面上变化的轨迹就是根轨迹。在复平面上变化的轨迹就是根轨迹。G(s)C(s)R(s)H(s)G(s)C(s)R(s)H(s)第7页/共75页第七页，共75页。第8页/共75页第八页，共75页。4.2 4.2 4.2 4.2 绘制绘制绘制绘制(huzh)(huzh)(huzh)(huzh)根轨迹的基

4、本规则根轨迹的基本规则根轨迹的基本规则根轨迹的基本规则根轨迹的绘制根轨迹的绘制(huzh)原则原则第9页/共75页第九页，共75页。两条或两条以上(yshng)的根轨迹在复平面上相遇后又分开的点，称为根轨迹的会合点或分离点。（1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段，则一定有分离点；（2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段，则一定有会合点；（3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段，则一定既有分离点又有会合点，或既没有(mi yu)分离点又没有(mi yu)会合点；（4）分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零点）之间可能有分离点或会合点第10页/共

5、75页第十页，共75页。第11页/共75页第十一页，共75页。例4-1设控制系统(kn zh x tn)的开环传函为试概略绘制系统(xtng)根轨迹。解：解：第12页/共75页第十二页，共75页。例4-2已知某负反馈系统(xtng)的开环传函为试画出其根轨迹(guj)草图。解：解：第13页/共75页第十三页，共75页。第14页/共75页第十四页，共75页。第15页/共75页第十五页，共75页。（2）利用Routh判据确定(qudng)K 和值 由特征方程式列出劳斯阵为当劳斯阵 s1行等于零时，特征方程可能会出现(chxin)共轭虚根。令s1 行等于零，则得 K*KC6。共轭虚根值可由 s2行的

6、辅助方程求得：将KC6代入上式解得 两种方法计算的结果(ji gu)一致。（2）利用Routh判据确定 K*和值 由特征方程式列出劳斯阵为第16页/共75页第十六页，共75页。第17页/共75页第十七页，共75页。例4-4：已知系统的开环传递为 ，其开环零、极点位置(wi zhi)如下图所示，试计算根轨迹在起点1j1的出射角。令 K 从零稍微增大，则根轨迹从1j1点出发到达 s1，s1点应满足相角(xin jio)条件，即 如上图a所示，由于 s1 点离起点很近，故可认为上式中的1，1，2，3就是开环零极点到起点1j1的矢量幅角，见上图 b，即1 45，135，26.6，3 90，代入上式求得

7、4 71.6。因此根轨迹在1j1点的出射角为71.6。根据对称性，可求得根轨迹在-1-j1处的出射角为71.6。第18页/共75页第十八页，共75页。第19页/共75页第十九页，共75页。第20页/共75页第二十页，共75页。例4-6 已知系统的开环传递函数如下，绘制(huzh)系统的根轨迹。式中：解：解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为 s1 0，s2 2。（2）终点：因没有有限(yuxin)零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。（3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为2，0。（4）计算分离点：将 N(s)1，D(s)s(s2)代入分离点计算公式 N(s)D(s)N(s)D(

8、s)0中，解得分离点为 s 1。（5）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角：根据式渐近线计算公式得渐近线的交点(jiodin)：根据公式计算得根轨迹的绘制第21页/共75页第二十一页，共75页。渐近线的交点和根轨迹(guj)的分离点重合。根据以上分析(fnx)计算结果，可绘制出系统的根轨迹如下图所示。第22页/共75页第二十二页，共75页。例4-7 已知系统的开环传递函数如下，绘制(huzh)系统的根轨迹。解：解：系统(xtng)的开环极点为 ，无开环零点。（1）起点：有4个开环极点，分别起始于（2）终点：因没有有限零点，所以4条根轨迹都将趋于无穷远。（3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间

9、为4，0。（4）根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点渐近线的倾角(qngjio)第23页/共75页第二十三页，共75页。（5）计算(j sun)分离点：将 N(s)1，D(s)s(s2)(s2+4s5)代入分离点计算(j sun)公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0中，解得分离点为 （6）分离(fnl)点（会合点）的分离(fnl)角（会合角）均为 。（7）根轨迹(guj)与虚轴的交点为第24页/共75页第二十四页，共75页。（8）共轭复极点(jdin)的起始角为根据(gnj)对称性得 。综上，系统的根轨迹(guj)草图如下所示。第25页/共75页第二十五页，共75页。一般来说，由两个开环极点

10、（实数极点或复数共轭极点）和一个有限开环零点（必为实数零点）组成一般来说，由两个开环极点（实数极点或复数共轭极点）和一个有限开环零点（必为实数零点）组成(z chn)(z chn)的开环系统，只要有限零点不位于两个实数极点之间，那么当的开环系统，只要有限零点不位于两个实数极点之间，那么当K*K*由由00时，闭环系统根轨迹的非实数部分是以该有限零点为圆心，以有限零点到会合点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。时，闭环系统根轨迹的非实数部分是以该有限零点为圆心，以有限零点到会合点的距离为半径的一个圆或圆的一部分。注意注意(zh y)：第26页/共75页第二十六页，共75页。例4-8 已知具有(jyu

11、)开环零点的开环传递函数为 ，试绘制系统的根轨迹。解：解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为 s1 0，s2 -2。（2）终点：二条根轨迹(guj)一条终止于开环有限零点 s=-4，另一条趋向无限零点。（3）实轴上的根轨迹(guj)：实轴上根轨迹(guj)存在的区间为-2,0-，-4。（4）分离点和会合点：由公式可得 N(s)D(s)N(s)D(s)(2s+2)(s+4)-(s2+2s)0 整理得 s2+8s+8 0 对上式求解得 （5）复平面上的根轨迹(guj)。根据相角条件，根轨迹(guj)上的各点应满足幅值和相角条件公式，即在复平面(pngmin)上，于是得第27页/共75页第二十七

12、页，共75页。即对上式整理(zhngl)后得圆方程式 它的圆心在(-4,)点，半径等于 ，根轨迹如下图所示。这个(zh ge)圆与实轴的交点即为分离点和会合点。第28页/共75页第二十八页，共75页。第29页/共75页第二十九页，共75页。第30页/共75页第三十页，共75页。0-4p1p2p3p4A0-4p1p2p3p4A0-4p1p2p3p4A第31页/共75页第三十一页，共75页。高阶系统高阶系统(xtng)的试的试差求解差求解第32页/共75页第三十二页，共75页。第33页/共75页第三十三页，共75页。第34页/共75页第三十四页，共75页。4-3 4-3 广义广义(gungy)(g

13、ungy)根轨迹根轨迹参数根轨迹参数根轨迹 以非开环增益的其他参量以非开环增益的其他参量(cnling)为参为参变量的根轨迹称为反馈系统的参数根轨迹。变量的根轨迹称为反馈系统的参数根轨迹。绘制参数根轨迹的方法与绘制参数根轨迹的方法与180和和0根轨迹根轨迹规则一样，只是把特征方程化为如下形式：规则一样，只是把特征方程化为如下形式：绘制参数根轨迹的一般步骤如下：绘制参数根轨迹的一般步骤如下：（1 1）写出原系统）写出原系统(xtng)(xtng)的特征方程；的特征方程；（2 2）以特征方程式中不含参数的各项去除特征方程，得等效系统）以特征方程式中不含参数的各项去除特征方程，得等效系统(xtng)

14、(xtng)的根轨迹方程。该方程中原系统的根轨迹方程。该方程中原系统(xtng)(xtng)的参数即为等效系统的参数即为等效系统(xtng)(xtng)的根轨迹增益；的根轨迹增益；（3 3）绘制等效系统）绘制等效系统(xtng)(xtng)的根轨迹，即为原系统的根轨迹，即为原系统(xtng)(xtng)的参数根轨迹。的参数根轨迹。第35页/共75页第三十五页，共75页。例4-10 已知控制系统的开环传递函数为 ，试绘制当 K*=4时，以参数(cnsh)为参变量的根轨迹。解：解：系统(xtng)特征方程为 ，上式和根轨迹方程具有相同(xin tn)的形式，其左边部分 相当于某一开环系统传递函数，

15、称为等效系统开环传递函数，参数称为等效根轨迹增益。利用根轨迹绘制法则，可以绘出当从零变化到无穷大时等效系统的根轨迹。也可写成（1）起点：s1 j2，s2 -j2。（2）终点：s1 0，s2-。（3）实轴上的根轨迹存在区间(，0。（4）会合点：据公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0可解得因为 s 2不在根轨迹上，所以 s 2为会合点。（5）复平面上的根轨迹：可以证明根轨迹在复平面上为半圆，方程为第36页/共75页第三十六页，共75页。根据以上几点，以为参变量的根轨迹(guj)如下图所示。第37页/共75页第三十七页，共75页。书P110-4-9 已知负反馈系统(xtng)的开环传递函数为 ，

16、试求K*=1时，以T为参变量的系统(xtng)根轨迹图。解：解：当K*=1时，系统(xtng)闭环特征方程为 ，则以T为参变量时的等效(dn xio)开环传递函数为按照绘制常规根轨迹的基本原则绘制以T为参变量的系统根轨迹为：（1）起点：三条根轨迹分别起始于p1 0，p2 p31。（2）终点：无开环有限零点，三条根轨迹分别终止于无穷远点。（3）实轴上的根轨迹存在区间为(，-1和-1，0。即第38页/共75页第三十八页，共75页。（4）根轨迹(guj)有三条渐近线 （5）根轨迹(guj)的分离点：据公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0可解得（6）根轨迹与虚轴的交点。根据(gnj)闭环特征方程列

17、写Routh表如下当T2时，Routh表的s1行元素全为零，辅助(fzh)方程为解得作系统参数根轨迹如下图所示。第39页/共75页第三十九页，共75页。第40页/共75页第四十页，共75页。零度零度(ln d)根轨迹根轨迹第41页/共75页第四十一页，共75页。零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。下面给出绘制零度根轨迹的基本法则：（1）根轨迹的起点、终点和条数同常规根轨迹。（2）实轴上的根轨迹存在的区间为其右侧实轴上的开环零点和极点(jdin)个数之和为偶数。（3）根轨迹的分离点和会合点的计算方法同常规根轨迹。（4）根轨迹的渐近线与

18、实轴的交点的计算方法同常规根轨迹。倾角的计算公式为 （5）根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 （6）根轨迹与虚轴交点的计算方法同常规根轨迹。其它性质均同常规根轨迹。第42页/共75页第四十二页，共75页。（1）起点：s1 0，s2-1，s3-5。（2）终点：三条根轨迹都趋向无穷远。（3）实轴上根轨迹存在的区间为-5,-1,(0,+)。（4）计算分离点：N(s)1，D(s)s(s1)(s5)代入计算公式解得 s1 3.52 s2 0.48 由于 0.48不在根轨迹上，所以根轨迹的分离点为3.52。（5）根轨迹的渐近线 倾角 交点(jiodin)根据以上几点，可绘出系统的零度根轨迹如下图所示。例例

19、4-12 4-12 设单位设单位(dnwi)(dnwi)正反馈系统的开环传递函数为正反馈系统的开环传递函数为 ,试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。解：解：绘制(huzh)步骤如下：第43页/共75页第四十三页，共75页。第44页/共75页第四十四页，共75页。例例4-13 设某正反馈系统的开环传函为设某正反馈系统的开环传函为试绘制该系统的根轨迹图，确定临界试绘制该系统的根轨迹图，确定临界(ln ji)增益增益KC。第45页/共75页第四十五页，共75页。第46页/共75页第四十六页，共75页。第47页/共75页第四十七页，共75页。C(s)G(S)H(S)-set-G(s)H(s)R(s)-set-

20、X2(t)X1(t)X2(t)X1(t)t第48页/共75页第四十八页，共75页。第49页/共75页第四十九页，共75页。第50页/共75页第五十页，共75页。第51页/共75页第五十一页，共75页。第52页/共75页第五十二页，共75页。主根主根(zhgn)轨迹图轨迹图第53页/共75页第五十三页，共75页。4.4 4.4 控制系统控制系统(kn zh x tn)(kn zh x tn)的根轨的根轨迹法分析迹法分析控制系统控制系统(kn zh x tn)的稳的稳定性分析定性分析 稳定的系统，其闭环特征根必须全部位于s平面左半侧，而且在s平面左半侧距虚轴距离越远，其相对稳定性越好。根轨迹正好直

21、观地反映了系统闭环特征根在s平面上随参数(cnsh)变化的情况，因此，由根轨迹很容易了解参数(cnsh)变化对系统稳定性的影响，确定使系统稳定的参数(cnsh)变化范围。例例:设某负反馈系统的开环传递函数为设某负反馈系统的开环传递函数为试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的试绘制根轨迹图，并讨论使闭环系统稳定的K K*取值范围。取值范围。第54页/共75页第五十四页，共75页。解：利用根轨迹的绘制法则(过程从略)可绘出K*从0变化到 时系统(xtng)的根轨迹如图所示。由图可见，当0K*14及64K*195时，闭环系统(xtng)是稳定的，而当14K*64及K*195时，系统(xtng)是不稳

22、定的。第55页/共75页第五十五页，共75页。把参数在一定范围内取值才能稳定的系统叫条件稳定系统。如前面所举的例子中的系统就是条件稳定系统。对于条件稳系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。条件稳定系统的工作性能不十分可靠，实际工作中，应尽量通过参数的选择或适当的校正(jiozhng)方法消除条件稳定的问题。第56页/共75页第五十六页，共75页。根据根据(gnj)(gnj)根轨迹确定系统的闭环极点根轨迹确定系统的闭环极点 利用根轨迹法可清楚地看到开环根轨迹增益(zngy)或其它开环系统参数改变时，闭环系统极点位置及其暂态性能的变化情况。例：典型例：典型(dinxng)(dinxng)

23、二阶系统开环传函为二阶系统开环传函为当当变化时，作出系统的根轨迹如图所示。变化时，作出系统的根轨迹如图所示。闭环系统的极点为闭环系统的极点为 图中阻尼角图中阻尼角 与阻尼比与阻尼比 的关系为的关系为第57页/共75页第五十七页，共75页。根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任(shng rn)(shng rn)一点时所对应的一点时所对应的，n n 值，值，再根据暂态指标的计算公式再根据暂态指标的计算公式 可得到可得到(d do)(d do)系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据系统暂态指标的系统工作在该点的暂态性能。反过来，我们也可以根据

24、系统暂态指标的要求，确定系统特征根的位置，及闭环极点。要求，确定系统特征根的位置，及闭环极点。方法方法(fngf)(fngf)：(1)(1)根据超调量的要求先求出阻尼角根据超调量的要求先求出阻尼角，再从原点以阻尼角，再从原点以阻尼角引二条射线。引二条射线。(2)(2)根据调节时间的要求，计算出根据调节时间的要求，计算出n n 在在s s平面上画出平面上画出s s的直线。由的直线。由此确定满足系统暂态性能指标的区域。此确定满足系统暂态性能指标的区域。若在该区域内没有合适的根轨迹，则应在系统中加入极点、零点合适的校正装置以改变若在该区域内没有合适的根轨迹，则应在系统中加入极点、零点合适的校正装置以

25、改变根轨迹的形状，使根轨迹进入该区域。然后确定满足要求的闭环极点位置及相应的开环系统根轨迹的形状，使根轨迹进入该区域。然后确定满足要求的闭环极点位置及相应的开环系统参数值。参数值。第58页/共75页第五十八页，共75页。例：单位反馈例：单位反馈(fnku)(fnku)控制系统的开环传递函数为控制系统的开环传递函数为 若要求闭环系统单位若要求闭环系统单位(dnwi)(dnwi)阶跃响应的最大超调阶跃响应的最大超调量量%18%18%，试确定系统的开环增益。，试确定系统的开环增益。第59页/共75页第五十九页，共75页。解：绘出解：绘出 K K由零变化到由零变化到时系统的根轨迹如图所示。时系统的根轨

26、迹如图所示。当当K K1717时，根轨迹在实轴上有分离点。当时，根轨迹在实轴上有分离点。当K240K240时，时，闭环极点是不稳定的。根据闭环极点是不稳定的。根据%18%18%的要求，求得的要求，求得阻尼角应为阻尼角应为6060，在根轨迹图上作，在根轨迹图上作60 60 的的射线，并以此射线，并以此(y c)(y c)直线和根轨迹的交点直线和根轨迹的交点A A，B B作为作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为主导极点为第60页/共75页第六十页，共75页。由根轨迹方程的幅值条件由根轨迹方程的幅值条件(tiojin)，可求得相应

27、于，可求得相应于 A，B 点的点的 K*值为值为再计算出系统再计算出系统(xtng)的开环增益为的开环增益为 根据根据(gnj)闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为闭环极点之和等于常数的性质，可求得系统另一闭环实极点为 它将不会使系统超调量增大，故取它将不会使系统超调量增大，故取K 1.85可满足要求。可满足要求。第61页/共75页第六十一页，共75页。开环零点对系统根轨迹开环零点对系统根轨迹开环零点对系统根轨迹开环零点对系统根轨迹(guj)(guj)(guj)(guj)的影响的影响的影响的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变

28、化，因而(yn r)(yn r)影影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能.下面以三阶系统为例来说明。设系统的开环传递函数为下面以三阶系统为例来说明。设系统的开环传递函数为 如果在系统中增加一个(y)开环零点，系统的开环传递函数变为第62页/共75页第六十二页，共75页。1.1.，设，设 ，则相应系统的根轨迹如图，则相应系统的根轨迹如图b)b)所示。所示。由于由于(yuy)(yuy)增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。下面来研究开环零点在下列三种情况下系统下面来研究开环零点在下列三种情况下系统(xtng)的根轨迹。的根轨

29、迹。从根轨迹形状变化看，系统性能的改善从根轨迹形状变化看，系统性能的改善(gishn)不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环增益和临界频率都有所提高。不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环增益和临界频率都有所提高。第63页/共75页第六十三页，共75页。2.2.2.2.，设，设，设，设 ，相应，相应，相应，相应(xingyng)(xingyng)(xingyng)(xingyng)的根轨迹如图的根轨迹如图的根轨迹如图的根轨迹如图c c c c）所示）所示）所示）所示.此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统

30、将有两个共轭复数此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数(n f sh)(n f sh)极点和一个实数极点，并且共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数(n f sh)(n f sh)极点距虚轴较近，即为共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数(n f sh)(n f sh)主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。第64页/共75页第六十四页，共75页。3.，设 ，相应系统(xtng)根轨迹如图 d）所示。在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而

31、实数极点却距离轴较近，这说明在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点却距离轴较近，这说明(shumng)(shumng)系统将有较低的瞬态响应速度。系统将有较低的瞬态响应速度。第65页/共75页第六十五页，共75页。从从从从以以以以上上上上三三三三种种种种情情情情况况况况来来来来看看看看，一一一一般般般般(ybn)(ybn)(ybn)(ybn)第第第第二二二二种种种种情情情情况况况况比比比比较较较较理理理理想想想想，这这这这时时时时系系系系统统统统具具具具有有有有一一一一对对对对共共共共轭轭轭轭复复复复数数数数主主主主导导导导极极极极点点点点，其其其其瞬瞬瞬瞬态态态态响响响响应应应应性性

32、性性能能能能指指指指标也比较满意。标也比较满意。标也比较满意。标也比较满意。增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。若增加的零点位于左半平面，系统的根轨迹向左偏移，方向发生变形。若增加的零点位于左半平面，系统的根轨迹向左偏移，提高了系统的稳定性，有利于系统动态提高了系统的稳定性，有利于系统动态(dngti)特性的改善，且开环零特性的改善，且开环零点离虚轴越近，系统动态点离虚轴越近，系统动态(dngti)特性改善越显著。特性改善越显著。当开环零点与极点重合时，二者构成偶极子，产生当开环零点与极点重合时，二者

33、构成偶极子，产生(chnshng)零点对消；当开环零点位于右半平面时，系统不稳定。零点对消；当开环零点位于右半平面时，系统不稳定。第66页/共75页第六十六页，共75页。开环极点开环极点开环极点开环极点(jdin)(jdin)(jdin)(jdin)对系统根轨迹的影响对系统根轨迹的影响对系统根轨迹的影响对系统根轨迹的影响 设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数设系统的开环传递函数 ，其对应的系统根轨迹如图，其对应的系统根轨迹如图，其对应的系统根轨迹如图，其对应的系统根轨迹如图 a a a a）所示。）所示。）所示。）所示。若系统增加若系统增加若系统增加若系统增加(zngj

34、i)(zngji)(zngji)(zngji)开环极点，开环传递函数变为开环极点，开环传递函数变为开环极点，开环传递函数变为开环极点，开环传递函数变为 其相应的根轨迹如图其相应的根轨迹如图其相应的根轨迹如图其相应的根轨迹如图 b b b b）所示。）所示。）所示。）所示。增加开环极增加开环极点使根轨迹右移，点使根轨迹右移，将可能使系统将可能使系统(xtng)变得不变得不稳定。稳定。第67页/共75页第六十七页，共75页。控制系统的稳态性能控制系统的稳态性能(xngnng)分析分析 系统的稳态误差大小(dxio)与系统的开环增益成反比，开环增益与根轨迹增益之间又有确定的比例关系，即 在根轨迹上确

35、定满足暂态性能的闭环极点后，可由根轨迹的幅度条件计算出 K*值，然后由上式求得开环增益 K。若该 K值不满足系统提出的稳态性能要求时，可采用(ciyng)增加开环系统的极、零点的方法来解决。第68页/共75页第六十八页，共75页。如下图所示，设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点如下图所示，设在开环系统中增加一对极点比零点更接近原点的实数极、零点pcpc和和zc(zc(称为偶极子称为偶极子)，这一对实数极、零点对离原点较远的，这一对实数极、零点对离原点较远的A A，B B点附近根轨迹形状点附近根轨迹形状(xngzhun)(xngzhun)及及A A，B B点的点的K*K*值影

36、响很小，但却使开环增益增加值影响很小，但却使开环增益增加D D倍，倍，D D zc/pc zc/pc，从而使系统稳态性能得到提高。，从而使系统稳态性能得到提高。第69页/共75页第六十九页，共75页。小小小小 结结结结n n根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据

37、系统开环零参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零.极点在极点在极点在极点在s s s s平面上的分布，按照表所列出的规则，就能方便的画出平面上的分布，按照表所列出的规则，就能方便的画出平面上的分布，按照表所列出的规则，就能方便的画出平面上的分布，按照表所列出的规则，就能方便的画出根轨迹的大致形状。根轨迹的大致形状。根轨迹的大致形状。根轨迹的大致形状。n n根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的

38、影响，而且还可以而且还可以而且还可以而且还可以(ky)(ky)(ky)(ky)用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出 系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的系统的输出响应及其性能指标，从而

39、避免了求解高阶微分方程的系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。麻烦。麻烦。麻烦。第70页/共75页第七十页，共75页。例例:已知单位已知单位(dnwi)(dnwi)负反馈系统的开环传递函数为负反馈系统的开环传递函数为 ,（1 1）画出系统）画出系统(xtng)(xtng)的根轨迹；的根轨迹；（2 2）计算当增益）计算当增益k*k*为何值时，系统为何值时，系统(xtng)(xtng)的阻尼比的阻尼比=，并求此时系统，并求此时系统(xtng)(xtng)的特征根；的特征根；（3 3）分析）分析k k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应对系统性能的影响，并求系统最小阻尼

40、比所对应(duyng)(duyng)的闭环极点。的闭环极点。解解：（1 1）画根轨迹）画根轨迹 画根轨迹其它问题略。画根轨迹其它问题略。根轨迹的分离点和会合点为：根据公式根轨迹的分离点和会合点为：根据公式 N(s)D(s)N(s)D(s)0可得可得解得解得因此，分离点为因此，分离点为-2.93，会合点为，会合点为-17.07。根轨迹为圆，如下图所示。根轨迹为圆，如下图所示。习题习题第71页/共75页第七十一页，共75页。（2）当）当时，阻尼时，阻尼(zn)角角，表示，表示(biosh)角的直线角的直线(zhxin)代入特征方程整理后得代入特征方程整理后得为为OB，其方程为，其方程为 ，令实部和

41、虚部分别为零，有令实部和虚部分别为零，有解得解得 由图可知，当由图可知，当 k*=5时直线时直线OB与圆相切，系统的阻尼比与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为特征根为 。第72页/共75页第七十二页，共75页。（3）对于分离点）对于分离点-2.93，由幅值条件，由幅值条件(tiojin)可知可知对于对于(duy)会合点会合点-17.07，有，有由根轨迹由根轨迹(guj)图可知，当图可知，当的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。时，闭环系统又有一

42、对不等的负时，闭环系统又有一对不等的负 时，闭环系统有一对不等时，闭环系统有一对不等当当瞬态响应又呈过阻尼状态。瞬态响应又呈过阻尼状态。实数极点，实数极点，由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线，直线 OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由（与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由（1）可知，此时系统的闭环极点为）可知，此时系统的闭环极点为 。第73页/共75页第七十三页，共75页。习题习题(xt)与作业与作业1.P173 4-10P174 4-12（1）第74页/共75页第七十四页，共75页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第75页/共75页第七十五页，共75页。