第三多维随机变量及其分布第节.pptx

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1、会计学1第三多维随机变量第三多维随机变量(su j bin lin)及其及其分布第分布第 节节第一页，共64页。定义定义定义定义(dngy(dngy)：设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量(su j bin lin)，对于任意实数，对于任意实数x,y，二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的分布函数的分布函数(hnsh)或随机变量或随机变量X和和Y的联合分布函数的联合分布函数(hnsh)。xy(x,y)第1页/共63页第二页，共64页。xy(x2,y2)(x1,y1)第2页/共63页第三页，共64页。分布函数分布函数分布函数分布函数 F(x,y)F(x,y)具有以下的

2、基本具有以下的基本具有以下的基本具有以下的基本(jbn)(jbn)性质：性质：性质：性质：(1)F(x,y)是变量是变量 x,y 的单调不减的单调不减(b jin)函数，函数，即对于即对于(duy)任意固定的任意固定的 y,当当 x2x1 时时,有有对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y2y1 时时,有有(2)对于任意固定的对于任意固定的 y，有，有对于任意固定的对于任意固定的 x，有，有第3页/共63页第四页，共64页。(3)F(x,y)关于关于(guny)x 右连续，关于右连续，关于(guny)y 也右连续，也右连续，如二维随机变量如二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)所

3、有可能取的值是有所有可能取的值是有限对或无限可列对，则称限对或无限可列对，则称(X,Y)是二维离散型随是二维离散型随机变量。机变量。设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)所有所有(suyu)可能取的可能取的值为值为 则称上述一系列等式为二维离散型随机变则称上述一系列等式为二维离散型随机变量量(X,Y)的的概率分布律概率分布律概率分布律概率分布律，或随机变量或随机变量X和和Y的的联联联联合概率分布律合概率分布律合概率分布律合概率分布律。显然有：显然有：第4页/共63页第五页，共64页。随机变量随机变量(su j bin lin)X和和Y的联合概率分布律也的联合概率分布律也可用表格表示

4、可用表格表示XY第5页/共63页第六页，共64页。例例1：设随机变量：设随机变量X在在1,2,3,4四个整数四个整数(zhngsh)中等可能地取中等可能地取一个值，另一个随机变量一个值，另一个随机变量Y在在1 X中等可能地取一中等可能地取一整数整数(zhngsh)值。试求值。试求(X,Y)的分布律。的分布律。解：解：解：解：(X,Y)的所有的所有(suyu)可能的取值为：可能的取值为：X 等可能地取等可能地取1,2,3,4中的一个，中的一个，Y 等可能地取等可能地取1到到 X 之间的整数值。之间的整数值。即可写出对应即可写出对应(duyng)的概率分布表。的概率分布表。第6页/共63页第七页，

5、共64页。离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量X X和和和和Y Y的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)F(x,y)具有具有具有具有(jy(jy u)u)形式：形式：形式：形式：与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量的分布函数的分布函数 F(x,y),如果如果(rgu)存在非负的函数存在非负的函数 f(x,y),使使得对任意的实数得对任意的实数x,y，有，有则称则称(X,Y)是连续型二维随机变量，而是连续型二维随机变量，而 f(x,y)称为称为(chn wi)二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率密度

6、或随机变量的概率密度或随机变量X和和Y的的联合概率密度。联合概率密度。第7页/共63页第八页，共64页。联合概率密度联合概率密度联合概率密度联合概率密度 f(x,y)f(x,y)具有以下具有以下具有以下具有以下(y(y xi)xi)的性质：的性质：的性质：的性质：(4)设设 G 是是 xoy 平面上的一个平面上的一个(y)区域，则点区域，则点(X,Y)落落 在在G 内的概率内的概率第8页/共63页第九页，共64页。例例2：设连续型二维随机变量：设连续型二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 解：解：解：解：第9页/共63页第十页，共64页。例例2：设连续型二

7、维随机变量：设连续型二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 解：解：解：解：xy y=xGG1第10页/共63页第十一页，共64页。课课 外外 习习 题题第第第第 70 70 页页页页1515，1717第11页/共63页第十二页，共64页。第二节第二节第二节第二节 边缘边缘边缘边缘(binyun)(binyun)分布分布分布分布 二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有分作为一个整体，具有分布函数布函数F(x,y)。但。但X，Y 都是随机变量，分别也都是随机变量，分别也有自身的分布函数。如将它们分别记为有自身的分布函数。如将它们分别记为 则依次称

8、为则依次称为二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量(X X,Y Y)关于关于关于关于X X和和和和关于关于关于关于Y Y 的边缘分布函数的边缘分布函数的边缘分布函数的边缘分布函数。同理可得同理可得第12页/共63页第十三页，共64页。对于离散对于离散(lsn)型随机变量型随机变量(X,Y),第13页/共63页第十四页，共64页。记记 分别称上述两式为二维离散型随机变量分别称上述两式为二维离散型随机变量(su j bin lin)(X,Y)关于关于X和和Y的边缘分布律。的边缘分布律。第14页/共63页第十五页，共64页。对于对于(duy)二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X,Y)，

9、设其概率密，设其概率密度为度为 f(x,y)。知知X是一连续型随机变量是一连续型随机变量(su j bin lin)，具有概率密度函数为，具有概率密度函数为同理同理,Y也是一连续型随机变量也是一连续型随机变量(su j bin lin),其其概率密度函数为概率密度函数为 它们分别被称为二维连续型随机变量它们分别被称为二维连续型随机变量(X,Y)关关于于X和和Y的的边缘概率密度函数边缘概率密度函数边缘概率密度函数边缘概率密度函数。第15页/共63页第十六页，共64页。例例1：设二维离散：设二维离散(lsn)型随机变量型随机变量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：求关于求关于 X 和关于和关

10、于Y 的边缘分布律。的边缘分布律。XY第16页/共63页第十七页，共64页。例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边缘的边缘(binyun)分布密度。分布密度。解：解：解：解：1y=x第17页/共63页第十八页，共64页。例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：求关于求关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布的边缘分布(fnb)密度。密度。解：解：解：解：1y=x第18页/共63页第十九页，共64页。例例3

11、：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：第19页/共63页第二十页，共64页。则可求得则可求得 由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖参数一维正态分布，并且都不依赖参数 ,亦即对于给亦即对于给定的定的 不同的不同的 对于不同的二维正态分对于不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的。布，但它们的边缘分布却都是一样的。这一事实表明，由联合分布可确定边缘这一事实表明，由联合分布可确定边缘(binyun)分布，分布，但反之不然。但反之不然。第20页/共63页

12、第二十一页，共64页。课课 外外 习习 题题第第第第 70 70 页页页页18(1,2,3)18(1,2,3)第21页/共63页第二十二页，共64页。*第三节第三节第三节第三节 条件条件条件条件(tiojin)(tiojin)分布分布分布分布*设设(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量(su j bin lin)，其分布律为，其分布律为(X,Y)关于关于X 和关于和关于Y 的边缘分布的边缘分布(fnb)律分别为律分别为第22页/共63页第二十三页，共64页。我们来考虑我们来考虑(kol)在事件在事件已发生的条件下事件已发生的条件下事件 发生的概率：发生的概率：显然显然(xinrn)

13、易知，上述易知，上述(shngsh)条件概率具有分布律的特征：条件概率具有分布律的特征：第23页/共63页第二十四页，共64页。于是于是(ysh)，我们有，我们有定义定义定义定义(dngy)(dngy)：设设(X,Y)是二维离散是二维离散(lsn)型随机变量，对固定的型随机变量，对固定的 j，为在条件为在条件 下随机变量下随机变量X 的的条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律。同理，对于固定的同理，对于固定的 i，为在条件为在条件 下随机变量下随机变量Y 的的条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律。第24页/共63页第二十五页，共64页。现设现设(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随

14、机变量(su j bin lin)，这时由于对任意这时由于对任意的的X,Y,有有 因此不能由因此不能由条件概率公式直接引入条件概率公式直接引入“条件分布函数条件分布函数”，下面我们，下面我们用极限方式来处理。用极限方式来处理。给定给定(i dn)y，于是于是(ysh)对任意对任意 x，有，有由此引入下述定义：由此引入下述定义：第25页/共63页第二十六页，共64页。定义定义定义定义(dngy)(dngy)：给定给定(i dn)y，且对任意且对任意(rny)x，极限，极限则称此极限为则称此极限为在条件在条件在条件在条件 Y Y=y y 下随机变量下随机变量下随机变量下随机变量 X X 的条件的条

15、件的条件的条件分布函数分布函数分布函数分布函数，第26页/共63页第二十七页，共64页。设(X,Y)的分布(fnb)函数为F(x,y),概率密度为f(x,y)，若在点若在点(x,y)处，处，f(x,y)连续，边缘概率密度连续，边缘概率密度 连连续，且续，且则有则有第27页/共63页第二十八页，共64页。则由上式可得则由上式可得第28页/共63页第二十九页，共64页。例例1：设：设G是平面上的有界区域，其面积是平面上的有界区域，其面积(min j)为为A。若。若二维随机变量二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布。现设二维随机上服从均匀分布。现设二维随

16、机(su j)变变量量(X,Y)在圆在圆 上服从均匀分布，求条件上服从均匀分布，求条件概率密度概率密度解：解：解：解：由假设由假设(jish)随机变量随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度第29页/共63页第三十页，共64页。由假设由假设(jish)随机变量随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度且有边缘且有边缘(binyun)概率密度概率密度第30页/共63页第三十一页，共64页。其它其它(qt)第31页/共63页第三十二页，共64页。例例2：设二维随机变量：设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)具有概率密度具有概率密度求条件求条件(tiojin)概率密度概率密度解：解：

17、解：解：于是于是(ysh)当当 0 x 1 时有时有第32页/共63页第三十三页，共64页。课课 外外 习习 题题第第第第 70 70 页页页页1919，2020第33页/共63页第三十四页，共64页。第四节第四节第四节第四节 相互独立相互独立相互独立相互独立(dl)(dl)的随机变量的随机变量的随机变量的随机变量 在这一节中，我们将利用两个事件相互独立的在这一节中，我们将利用两个事件相互独立的概念概念(ginin)引出两个随机变量相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念(ginin)。为此，我们有：。为此，我们有：定义定义定义定义(dngy)(dngy)：若对于任若对于任意的意的x,y，

18、有，有则称则称随机变量随机变量随机变量随机变量 X X 和和和和 Y Y 是相互独立的是相互独立的是相互独立的是相互独立的。第34页/共63页第三十五页，共64页。对于对于(duy)二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互是相互(xingh)独立的充要条件是：独立的充要条件是：XY例例1：设：设(X,Y)的分布的分布(fnb)律为：律为：X 与与Y 不独立。不独立。第35页/共63页第三十六页，共64页。对于对于(duy)二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X,Y)，X 和和 Y 是相互是相互(xingh)独立的充要条件是：独立的充要条件是：两边两边(lingbi

19、n)对对x,y 求二阶混合偏导数，得：求二阶混合偏导数，得：第36页/共63页第三十七页，共64页。例例2：设二维连续型随机变量：设二维连续型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：前面前面(qin mian)已求得关于已求得关于 X 和关于和关于 Y 的边缘分布密度为的边缘分布密度为第37页/共63页第三十八页，共64页。所以所以(suy)X 与与Y 不独立。不独立。第38页/共63页第三十九页，共64页。例例3：二维正态随机变量：二维正态随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：第39页/共63页第四十页，共64页。则可求得

20、则可求得即即X和和Y相互相互(xingh)独立。独立。第40页/共63页第四十一页，共64页。反之反之(fnzh)，如果如果X和和Y相互相互(xingh)独立，独立，则从上述则从上述(shngsh)等式可得：等式可得：由此得：由此得：由此得：由此得：对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y)，X和和Y相互独立的充要条件是：相互独立的充要条件是：第41页/共63页第四十二页，共64页。例例4：设：设X和和Y是相互独立是相互独立(dl)的随机变量，其概率密度的随机变量，其概率密度分别为：分别为：第42页/共63页第四十三页，共64页。解：解：解：解：A第43页/共63页第四十四页，共64页

21、。所以所以(suy)Z 的分布律为的分布律为 Z 的分布的分布(fnb)函数为函数为第44页/共63页第四十五页，共64页。课课 外外 习习 题题第第第第 71 71 页页页页2323，2424第45页/共63页第四十六页，共64页。第五节第五节第五节第五节 两个随机变量的函数两个随机变量的函数两个随机变量的函数两个随机变量的函数(hnsh)(hnsh)的分的分的分的分布布布布（一）（一）（一）（一）Z=X+Y Z=X+Y 的分布的分布的分布的分布(fnb)(fnb)1.离散离散(lsn)型的情形：型的情形：例例1：设二维离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律

22、为XY求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的的分布律。分布律。解：解：解：解：Z=X+Y 的可能取的值为的可能取的值为 1,2,3,第46页/共63页第四十七页，共64页。例例1：设二维离散：设二维离散(lsn)型随机变量型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为XY求随机变量求随机变量(su j bin lin)Z=X+Y 的的分布律。分布律。解：解：解：解：Z=X+Y 的可能的可能(knng)取的值为取的值为 1,2,3,所以随机变量所以随机变量 Z=X+Y的分布律为的分布律为第47页/共63页第四十八页，共64页。2.连续型的情形连续型的情形(qng xing)：xyx+y=zuyz

23、所以所以(suy)Z 的概率密度为的概率密度为第48页/共63页第四十九页，共64页。所以所以(suy)Z 的概率密度为的概率密度为由由 X,Y 的对称性，的对称性，又可写成又可写成 特别地，当特别地，当 X 和和 Y 相互独立时，设相互独立时，设(X,Y)关于关于X和和Y的边缘的边缘(binyun)概率密度分别为概率密度分别为则上式分别则上式分别(fnbi)可化为可化为 卷积公式卷积公式卷积公式卷积公式记为记为卷积不满足交换律卷积不满足交换律卷积不满足交换律卷积不满足交换律第49页/共63页第五十页，共64页。例例2：设：设X和和Y是两个相互独立的随机变量，它们是两个相互独立的随机变量，它们

24、(t men)都服从都服从N(0,1)分布，其概率密度为分布，其概率密度为求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第50页/共63页第五十一页，共64页。即即 Z 服从服从(fcng)N(0,2)分布。分布。同理可证，如同理可证，如X和和Y相互相互(xingh)独立，且独立，且更一般地，利用更一般地，利用(lyng)数学归纳法可证：数学归纳法可证：第51页/共63页第五十二页，共64页。例例3：设：设X和和Y是两个相互是两个相互(xingh)独立的随机变量，且独立的随机变量，且求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第52页/共63页第五十三页，共64页。第

25、53页/共63页第五十四页，共64页。例例4：设：设X和和Y是两个相互是两个相互(xingh)独立的随机变量，其概率独立的随机变量，其概率密度分别为密度分别为求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：y0zz-1第54页/共63页第五十五页，共64页。y0zz-1y0zz-1第55页/共63页第五十六页，共64页。注意注意注意注意(zh y)(zh y)：由两个相互独立的随机变量的和所得到由两个相互独立的随机变量的和所得到由两个相互独立的随机变量的和所得到由两个相互独立的随机变量的和所得到(d(d do)do)的随机变量所有的两个特殊的性质：的随机变量所有的两个特殊的性质：的随

26、机变量所有的两个特殊的性质：的随机变量所有的两个特殊的性质：设设X和和Y是两个是两个(lin)相互独立的随机变量，若相互独立的随机变量，若第56页/共63页第五十七页，共64页。（二）（二）（二）（二）M=max(X,Y)M=max(X,Y)及及及及 N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布的分布的分布(fnb)(fnb)设设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为 和和 。现求现求M=max(X,Y)及及 N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)函数。函数。所以所以M=max(X,Y)的分布的分布(fnb)函数：函数

27、：第57页/共63页第五十八页，共64页。同理可得同理可得 N=min(X,Y)的分布的分布(fnb)函数函数以上结果很容易推广到以上结果很容易推广到n个相互独立个相互独立(dl)的随机变量的随机变量的情况。的情况。第58页/共63页第五十九页，共64页。例：设随机变量例：设随机变量(su j bin lin)(X,Y)的分布律为的分布律为XY（教材（教材(jioci)第第108页习题页习题28）第59页/共63页第六十页，共64页。解：解：解：解：由上表可得由上表可得X 的边缘的边缘(binyun)分布律为分布律为Y 的边缘的边缘(binyun)分布律为分布律为第60页/共63页第六十一页，共64页。第61页/共63页第六十二页，共64页。课课 外外 习习 题题第第第第 73 73 页页页页3131，3232，3636第62页/共63页第六十三页，共64页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第63页/共63页第六十四页，共64页。