矩阵论节课程学习.pptx
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1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)论节论节第一页,共80页。2 设 是 上线性无关函数族,在 中找一函数 ,使误差(wch)平方和(5.1)这里(zhl)(5.2)第1页/共80页第二页,共80页。3 这个问题(wnt)称为最小二乘逼近,几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定(i dn)的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.第2页/共80页第三页,共80页。4 为了使问题的提法(t f)更有一般性,通常在最小二乘法中考虑加权平方和 (5.2)(5.3
2、)这里 是 上的权函数,它表示不同点 处的数据比重不同.就是 次多项式.若 是 次多项式,的一般表达式为(5.2)表示的线性形式.第3页/共80页第四页,共80页。5 这样,最小二乘问题(wnt)就转化为求多元函数 (5.4)的极小点 问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(5.2)的 中求一函数 ,由求多元(du yun)函数极值的必要条件,有 使(5.3)取得(qd)最小.(5.2)(5.3)第4页/共80页第五页,共80页。6若记(5.5)上式可改写(gixi)为(5.6)这个(zh ge)方程称为法方程,可写成矩阵(j zhn)形式第5页/共80页第六页,共80页。7其中(5.
3、7)要使法方程(5.6)有惟一解,就要求矩阵 非奇异,而 在 上线性无关不能推出矩阵 非奇异,必须加上另外的条件.(5.6)第6页/共80页第七页,共80页。8 显然 在任意 个点上满足哈尔条件.哈尔条件,则法方程(5.6)的系数矩阵(5.7)非奇异,如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义(dngy)10设 的任意线性组合在点集 上至多只有 个不同的零点,则称 在点集 上满足哈尔哈尔(Haar)条件条件.方程(5.6)存在惟一的解从而(cng r)得到于是(ysh)(5.6)第7页/共80页第八页,共80页。9这样得到的 ,对任何形如(5.2)的 ,都有故 确是所求最小二乘解.(5.2)第
4、8页/共80页第九页,共80页。10一般可取 ,但这样做当 时,通常对 的简单情形都可通过求法方程(5.6)得到 给定 的离散数据 ,例如,求解法方程(5.6)将出现系数矩阵 为病态的问题,有时根据给定数据图形,其拟合函数 表面上不是(5.2)的形式,但通过变换仍可化为线性模型.若两边(lingbin)取对数得(5.6)(5.2)第9页/共80页第十页,共80页。11 例例7 7这样(zhyng)就变成了形如(5.2)的线性模型 .此时(c sh),若令 则已知一组实验(shyn)数据如下,求它的拟合曲线.第10页/共80页第十一页,共80页。12 解解 从图中看到各点在一条直线(zhxin)
5、附近,故可选择线性函数作拟合曲线,将所给数据(shj)在坐标纸上标出,见图 3-4.图3-4第11页/共80页第十二页,共80页。13 令这里故 第12页/共80页第十三页,共80页。14解得由(5.6)得方程组 于是所求拟合(n h)曲线为(5.6)第13页/共80页第十四页,共80页。15 关于(guny)多项式拟合,Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据,为拟合多项式的次数,输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面(xi mian)的程序,可在 Matlab中完成上例的多项式拟合.第14页/共80页第十五页,共80页。16x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4
6、.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x))第15页/共80页第十六页,共80页。17结果(ji gu)如下:第16页/共80页第十七页,共80页。18 例例8 8设数据 由表3-1给出,用最小二乘法确定 及 .解解表中第4行为通过描点可以(ky)看出数学模型为它不是(b shi)线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边(lingbin)取对数得第17页/共80页第十八页,共80页。19 若令先将 转化为为确定 ,根据最小二乘法,取 则
7、得数据表见表 3-1.得第18页/共80页第十九页,共80页。20故有法方程(fngchng)解得 于是(ysh)得最小二乘拟合曲线为 第19页/共80页第二十页,共80页。21 利用(lyng)下面的程序,可在 Matlab中完成曲线拟合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);第20页/共80
8、页第二十一页,共80页。22结果(ji gu)如下:第21页/共80页第二十二页,共80页。23 用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合(n h)(n h)(n h)(n h)如果 是关于点集(5.8)用最小二乘法得到的法方程组(5.6),其系数矩阵 是病态的.带权 正交的函数族,即(5.6)第22页/共80页第二十三页,共80页。24(5.9)则方程(fngchng)(5.6)的解为 且平方(pngfng)误差为(5.6)第23页/共80页第二十四页,共80页。25 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式 .注意
9、 ,用递推公式表示 ,即(5.10)这里 是首项系数为 1的 次多项式,根据 的正交性,得第24页/共80页第二十五页,共80页。26(5.11)下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.第25页/共80页第二十六页,共80页。27 假定 对 及要证 对 均成立.由(5.10)有 由(5.10)第二式及(5.11)中 的表达式,有 均成立,(5.12)(5.10)(5.10)第26页/共80页第二十七页,共80页。28 而 ,于是由(5.12),当 时,另外,是首项系数为 1的 次多项式,它可由由归纳法假定(jidng),当 时的线性组合表示.由归纳法假定(jidng)又有(5.12)第27页/共
10、80页第二十八页,共80页。29由假定(jidng)有 再考虑(kol)(5.13)利用(5.11)中 表达式及以上结果,得 第28页/共80页第二十九页,共80页。30至此已证明了由(5.10)及(5.11)确定的多项式 组成一个关于点集 的正交系.用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合,只要根据公式(5.10)及(5.11)逐步求 的同时,相应计算出系数最后,由 和 的表达式(5.11)有 第29页/共80页第三十页,共80页。31并逐步把 累加到 中去,最后就可得到所求的 用这种方法编程序不用解方程组,只用递推公式,并且当逼近次数增加(zngji)一次时,只要把程序中循环数加 1,其
11、余不用改变.这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合(n h)曲线第30页/共80页第三十一页,共80页。323.6 3.6 最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角(snji(snji o)o)逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶变换变换变换变换 当 是周期函数时,显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适,本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及 快速傅里叶变换,快速傅里叶变换,简称FFT算法.第31页/共80页第三十二页,共80页。33 最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角(snjio)(snjio)(snjio)(snjio)逼近
12、与三角逼近与三角逼近与三角逼近与三角(snjio)(snjio)(snjio)(snjio)插值插值插值插值 设 是以 为周期的平方可积函数,用三角多项式(6.1)作为(zuwi)最佳平方逼近函数.由于(yuy)三角函数族 在 上是正交函数族,于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是 第32页/共80页第三十三页,共80页。34 称为傅里叶系数.函数 按傅里叶系数展开得到的级数 (6.3)就称为(chn wi)傅里叶级数.(6.2)第33页/共80页第三十四页,共80页。35 只要 在 上分段连续,则级数(6.3)一致收敛到 .对于最佳(zu ji)平方逼近多项式(6.1)有 由此可以(
13、ky)得到相应于(4.11)的贝塞尔不等式 因为右边不依赖于 ,左边单调有界,所以级数 (6.3)(6.1)(4.11)第34页/共80页第三十五页,共80页。36 当 只在给定的离散点集 上已知时,则可类似得到离散点集正交性与相应(xingyng)的离散傅里叶系数.下面(xi mian)只给出奇数个点的情形.收敛(shulin),并有 第35页/共80页第三十六页,共80页。37可以证明对任何 成立 令第36页/共80页第三十七页,共80页。38这表明函数族 在点集上正交.若令其中(qzhng)则 的最小二乘三角逼近为第37页/共80页第三十八页,共80页。39当 时 于是(ysh)(6.4
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