电动力学电动力学二二唯一性定理优秀课件.ppt

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1、电动力学电动力学二二唯一性定理第1页，本讲稿共22页2一、静电问题的唯一性定理一、静电问题的唯一性定理区域区域V可以分为若干个均匀区域可以分为若干个均匀区域Vi，每，每一均匀区域的电容率为一均匀区域的电容率为 i。设。设V内有给内有给定的电荷分布定的电荷分布(x)。电势。电势在均匀区域在均匀区域Vi内满足泊松方程内满足泊松方程第2页，本讲稿共22页3除此之外，要完全确定除此之外，要完全确定V内的电内的电场，还必须给出场，还必须给出V的外边界的外边界S上的上的一些条件。一些条件。在两区域在两区域Vi和和Vj的分界面上满足边值关系的分界面上满足边值关系第3页，本讲稿共22页4唯一性定理：唯一性定理

2、：设区域设区域V内自由电内自由电荷分布为荷分布为(x)，在，在V的外边界的外边界S上给定上给定（i）电势）电势s或或（ii）电势的法向倒数）电势的法向倒数(/n)s则则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。也就是说，在也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界的边界S上满足给定的上满足给定的 或或/n值。值。第4页，本讲稿共22页5证明：证明：设有两组不同的解设有两组不同的解 和和 满足唯一性定理的条件。满足唯一性定理的条件。由由得得令令第

3、5页，本讲稿共22页6在两均匀区在两均匀区界面上有界面上有在整个区域在整个区域V的边界的边界S上有上有或或第6页，本讲稿共22页7考虑第考虑第i个均匀个均匀区区Vi的界面的界面Si上的积分上的积分对所有分对所有分区区Vi求和求和在均匀在均匀区界面区界面 内部边界积分相互抵消内部边界积分相互抵消 第7页，本讲稿共22页8这说明这说明 和和 至多只能相至多只能相差一个常量。但电势的附差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。这就证明了唯一性定理。而右边被积函数而右边被积函数 i()2 0。上式成立的条上式成立的条件是在件是在V内各点上都有内各点上都有=

4、0，即在，即在V内，内，外边界因外边界因 积分亦为零积分亦为零或或 第8页，本讲稿共22页9二、有导体存在时的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种电场，所需要条件有两种类型：类型：一类是给定每个导体上一类是给定每个导体上的电势的电势i；另一类是给定每个导体上另一类是给定每个导体上的总电荷的总电荷Qi。第9页，本讲稿共22页10如图设在某区域如图设在某区域V内内有一些导体，除去有一些导体，除去导体内部以后的区导体内部以后的区域为域为V。设。设V内有内有给定电荷分布给定电荷分布，S上给定

5、了上给定了|s 或或(/n)|s值。值。第10页，本讲稿共22页11第二类型：设区域第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外内有一些导体，给定导体之外的电荷分布的电荷分布 ，给定各导体上的总电荷，给定各导体上的总电荷Qi以及以及V的的边界边界S上的上的 或或/n 值，则值，则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。第一类型：当每个导体上的电势第一类型：当每个导体上的电势i给定时，即给出了给定时，即给出了V所有边界上的所有边界上的 或或(/n)值，因而由上一小节证值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，明了的唯一性定理可知，V内的电场被唯一确定。内的电场被唯一确定。第11页，本讲稿共22

6、页12在第在第i个导体上满个导体上满足总电荷条件足总电荷条件和等势面条件和等势面条件以及在以及在V的边界的边界S上具有给定上具有给定的的|s 或或(/n)|s值。值。也就是说，存在唯一的解，也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满它在导体以外满足泊松方程足泊松方程第12页，本讲稿共22页13证明证明设有两个解设有两个解 和和 满足满足或或则则 满足满足第13页，本讲稿共22页14对区域对区域V用公式用公式第14页，本讲稿共22页15上式左边的面积分包括上式左边的面积分包括V的边界的边界S以以及每个导体的表面及每个导体的表面Si上的积分。上的积分。在在Si上的积分上的积分在在S上的积分上的积分由此

7、由此第15页，本讲稿共22页16即即 和和 至多只能相差一个常至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。量，因而电场唯一确定。当导体外的电势确定当导体外的电势确定后，导体上的电荷面后，导体上的电荷面密度由边值关系确定密度由边值关系确定第16页，本讲稿共22页17例例 如如图图两两同同心心导导体体球球壳壳之之间间充充以以两两种种介介质质，左左半半部部电电容容率率为为 1，右右半半部部电电容容率率为为 2，设设内内球球壳壳带带总总电电荷荷Q，外外球球壳壳接接地地，求求电电场场和和球壳上的电荷分布。球壳上的电荷分布。第17页，本讲稿共22页18设两介质内的电势、电场强度设两介质内的电势、电场强度和电位

8、移分别为和电位移分别为解解第18页，本讲稿共22页19如果我们假设如果我们假设E仍保持球对称性，即仍保持球对称性，即此时边值关系得到满足。此时边值关系得到满足。由于左右两半是不同介质，由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值虑两介质分界面上的边值关系关系第19页，本讲稿共22页20导体球面上的积分导体球面上的积分将电场值代入得将电场值代入得解出解出第20页，本讲稿共22页21则则此解满足唯一此解满足唯一性定理的所有性定理的所有条件，因此是条件，因此是唯一正确的解。唯一正确的解。注意导体两半球上的面电荷分布是注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但不同的，但E却保持球对称性。却保持球对称性。第21页，本讲稿共22页22设内导体半径为设内导体半径为a，则球面上的电，则球面上的电荷面密度为荷面密度为虽然虽然E仍保持球对称性，但是仍保持球对称性，但是D和导体面和导体面上的电荷面密度上的电荷面密度不具有球对称性。不具有球对称性。第22页，本讲稿共22页