2019高中数学 第一章 导数及其应用 阶段复习课 第1课 导数及其应用学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、1第一课第一课 导数及其应用导数及其应用核心速填1导数的概念(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ，称limx0fx0xfx0 x为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2几个常用函数的导数(1)若yf(x)c，则f(x)0.(2)若yf(x)x，则f(x)1.(3)若yf(x)x2，则f(x)2x.(4)若yf(x) ，则f(x).1 x1 x2(5)若yf(x)，则f(x).x12x3基本初等函数的导数公式(1)若f(x)c(c为常数)，则f(x)0.(2)若f(x)x(Q Q*)，则f(x)x1

2、.(3)若f(x)sin x，则f(x)cos_x.(4)若f(x)cos x ，则f(x)sin_x.(5)若f(x)ax，则f(x)axln_a.(6)若f(x)ex，则f(x)ex.(7)若f(x)logax，则f(x).1 xln a(8)若f(x)ln x，则f(x) .1 x4导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3).fx gxfxgxfxgx g2x5复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x)(2)中间变量代换：yf(u)，ug(x)(3)逐层求导法则：yxyuux.26函数的单调性、极值与导数(1

3、)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值7求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值比较，其

4、中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值8微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)b adxF(b)F(a)9定积分的性质kf(x)dxk f(x)dx；b ab a f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；b ab ab af(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)b ac ab c体系构建3题型探究导数的几何意义已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3 垂直，求切点坐

5、标与切线的方程. 1 4【导学号：31062107】解 (1)f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.4(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，2 0直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.2 03 0又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016.2 03 0整理得，x8，3 0x02.y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)法二：设直线l的方程为ykx，切点为(x0，y0)，则k，y00 x00x

6、3 0x016 x0又kf(x0)3x1，2 03x1.x3 0x016 x02 0解得，x02，y0(2)3(2)1626.k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)切线与直线y 3 垂直，x 4切线的斜率k4.设切点坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，2 0x01.Error!或Error!即切点为(1，14)或(1，18)切线方程为y4(x1)14 或y4(x1)18.即y4x18 或y4x14.规律方法 1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0fx0xx0，明确“过点Px0，y0的曲线yfx的切线方程”与

7、“在点Px0，y0处的曲线yfx的切线方程”的异同点.2.围绕着切点有三个等量关系：切点x0，y0，则5kfx0，y0fx0，x0，y0满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.跟踪训练1直线ykxb与曲线yx3ax1 相切于点(2,3)，则b_.解析 yx3ax1 过点(2,3)，a3，y3x23，ky|x23439，bykx39215.答案 15函数的单调性与导数(1)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有( ) 【导学号：31062108】Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b)Dbf(b)af(a

8、)(2)设f(x)aln x，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性x1 x1(1)A A 令F(x)，则F(x).fx xxfxfx x2又当x0 时，xf(x)f(x)0，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递减又ab，F(a)F(b)，fa afb bbf(a)af(b)，故选 A.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x) .a x2 x12ax22a2xa xx12当a0 时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0 时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当a 时，0，1 2f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减12x12 xx12

9、6当a 时，0，g(x)0，1 2f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当 a0 时，0.1 2设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1，x2，a1 2a1aa1 2a1a由x10，a1 2a1aa22a1 2a1a所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a0 时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a 时，函数f(x)在(0，)上单调递减；1 2当 a0 时，1 2函数f(x)在，(0，a1 2a1a)上

10、单调递减，(a1 2a1a，)在上单调递增(a1 2a1a，a1 2a1a)规律方法 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用fx与其导数fx之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为：1对含参数的函数fx求导，得到fx；2若函数fx在a，b上单调递增，则fx0 恒成立；若函数fx在a，b上单调递减，则fx0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有fx0.若fx0 恒成立，则函数fx在a，b上为常函数，舍去此参数值.跟踪训练2若函数f(x)x3ax2(a1)x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)1 31 2上为增函数，

11、试求实数a的取值范围解 函数f(x)的导数f(x)x2axa1.7令f(x)0，解得x1 或xa1.当a11，即a2 时，函数f(x)在(1，)上为增函数，不合题意当a11，即a2 时，函数f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数依题意当x(1,4)时，f(x)0，当x(6，)时，f(x)0.故 4a16，即 5a7.因此a的取值范围是5,7函数的极值、最值与导数已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3xy0 平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值解 (1)因为f(

12、x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即 32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0 或x2.当 0t2 时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当 2t3 时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0

13、)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.母题探究：(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解 令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)8在x1,2)上，g(x)0；在x(2,3上，g(x)0.要使g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则Error!解得2c0.规律方法 1求极值时一般需确定fx0 的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再

14、作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3已知a，b为常数且a0，f(x)x3 (1a)x23axb.3 2(1)函数f(x)的极大值为 2，求a，b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为 2，且在区间0,3上的最小值为，求a，b的值. 23 2【导学号：31062109】解 (1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x1 时，f(x)有极大值 2，即 3a2b3.(2)当 0a3 时，由(

15、1)知，f(x)在0，a)上为减函数，在(a,3上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)a3a2b.1 23 2即a3a2b.1 23 223 2又由b，于是有a33a23a260，32a 2即(a1)327，所以a2，b .3 2当a3 时，由(1)知f(x)在0,3上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)，23 29从而求得a，不合题意，舍去107 48综上，a2，b .3 2生活中的优化问题某企业拟建造如图 11 所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容64 3器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平

16、方米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为y千元图 11(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用解 由题意可知r2l，l.4r3 364 364 3r24r 3又圆柱的侧面积为 2rl，128 3r8r2 3两端两个半球的表面积之和为 4r2.所以y34r248r2.(128 3r8r23)128 r又l0r2，所以定义域为(0,2)64 3r24r 3(2)因为y16r，128 r216r38 r2所以令y0，得 2r2；令y0，得 0r2.所以当r2 米时，该容器的建造费用最

17、小，为 96 千元，此时l 米8 3规律方法 解决优化问题的步骤1要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.2要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.3验证数学问题的解是否满足实际意义.10跟踪训练4现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6)，其余费用为每小时 960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里

18、/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y(9600.6x2)300x，函数的定义域为(0,35，500 x480 000 x即y300x(0x35)480 000 x(2)由(1)知y300x(0x35)，所以y300.令y0，480 000 x480 000 x2解得x40 或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值又当 0x35 时，y0，所以y300x在(0,35上单调递减，故当480 000 xx35 时，函数y300x取得最小值480 000 x故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里/小时的速度行驶

19、.函数方程思想设函数f(x)x36x5，xR R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)a有 3 个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围. 【导学号：31062110】解 (1)f(x)3(x22)，令f(x)0，得x1，x2.22当x(，)(，)时，f(x)0，当x(，) 时，f(x)22220，因此x1，x2分别为f(x)的极大值点、极小值点22(2)由(1)的分析可知yf(x)图象的大致形状及走向如图所示要使直线ya与yf(x)的图象有 3 个不同交点需 54f(2)af()54.则方程f(x)a有 3 个不

20、同实根时，所222求实数a的取值范围为(54，54)22(3)法一：f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)，11因为x1，所以kx2x5 在(1，)上恒成立，令g(x)x2x5，由二次函数的性质得g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)3，所以所求k的取值范围是为(，3法二：直线yk(x1)过定点(1,0)且f(1)0，曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f(1)3，由(2)中草图知要使x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立需k3.故实数k的取值范围为(，3规律方法 讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极最

21、值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极最值列出，然后再借助单调性和极最值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.跟踪训练5已知函数f(x)ex，aR R，试讨论函数f(x)的零点个数1 xa解 函数f(x)的定义域为x|xa(1)当xa时，ex0，xa0，f(x)0，即f(x)在(a，)上无零点(2)当xa时，f(x)，exxa1 xa令g(x)ex(xa)1，则g(x)ex(xa1)由g(x)0 得xa1.当xa1 时，g(x)0；当xa1 时，g(x)0，g(x)在(，a1)上单调递减，在(a1，)上单调递增，g(x)ming(a1)1ea1.当a1 时，g(a1)0，xa1 是f(x)的唯一零点；当a1 时，g(a1)1ea10，f(x)没有零点；当 a1 时，g(a1)1ea10，f(x)有两个零点