行列式中行与列具有同等的地位精品文稿.ppt

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1、行列式中行与列具有同等的地位第1页，本讲稿共38页实例分析实例分析计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用运算利用运算 把行列把行列式化为式化为上三角形行列式上三角形行列式，从而算得行列式的值，从而算得行列式的值例例1（具体过程请参考上节课件）（具体过程请参考上节课件）第2页，本讲稿共38页行列式计算的特点行列式计算的特点：（2 2）运算过程中既可对运算过程中既可对行行运算也可以对运算也可以对列列运算运算（1 1）是是整行（列）进行运算，计算过程用整行（列）进行运算，计算过程用“=”（3 3）可同时进行几种运算，但）可同时进行几种运算，但运算次序不可随意颠倒运算次序不可随意颠倒（参看书（参

2、看书P13-14P13-14）（4 4）计算时注意看清行列式的）计算时注意看清行列式的阶数阶数。第3页，本讲稿共38页（1）（2）练习：计算下列行列式练习：计算下列行列式（提示提示：）提示：提示：（所有行都减最后一行）（所有行都减最后一行）第4页，本讲稿共38页引例引例（P14 P14 例例1010）证明证明第5页，本讲稿共38页例如：例如：降阶？降阶？第6页，本讲稿共38页余子式与代数余子式余子式与代数余子式 6 6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开例题分析例题分析行列式按行行列式按行(列列)展开法则展开法则第第 一章一章 行列式行列式第7页，本讲稿共38页 在在 阶行列式中，把元素阶行

3、列式中，把元素 所在的第所在的第 行行和第和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做阶行列式叫做元素元素 的的余子式余子式，记作，记作aaaa44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaD=例例 计算计算 的余子式的余子式一、一、余子式余子式第8页，本讲稿共38页二、二、代数余子式代数余子式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD=例例 计算计算 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式第9页，本讲稿共38页 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代

4、数余子行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式式第10页，本讲稿共38页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 元元 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 第11页，本讲稿共38页三、三、行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即或或第12页，本讲稿共38页Proof：第13页，本讲稿共38页 解解 选一行（或列）具有较

5、多的选一行（或列）具有较多的0元素的展开式，元素的展开式，按第三行展开，得按第三行展开，得(技巧是：按技巧是：按0 0较多的行或列展开降阶较多的行或列展开降阶)例例1 计算行列式计算行列式第14页，本讲稿共38页解解例例2计算计算第15页，本讲稿共38页 计算计算n阶行列式阶行列式P28 7(6)（提示提示：）第16页，本讲稿共38页(书书P18P18例例12)12)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式第17页，本讲稿共38页例例5利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算第18页，本讲稿共38页相相同同第19页，本讲稿共38页推论推论 行列式的行列式的某一行某一行(列列)的元

6、素的元素与与另一行另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式素的代数余子式乘积之和为乘积之和为0 0。第20页，本讲稿共38页代数余子式的重要性质（代数余子式的重要性质（P20）第21页，本讲稿共38页例例13(P21):使用推论的证明技巧使用推论的证明技巧Solution 第22页，本讲稿共38页 2.2.行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具；四、小结四、小结 1.1.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；区别余子式和代数余子式，并注意其计算；3.3.注意注意范德蒙行列式范德蒙行列式

7、的的形式形式与与计算结果计算结果，利用范德，利用范德蒙行列式计算；蒙行列式计算；4.4.代数余子式的重要性质：代数余子式的重要性质：第23页，本讲稿共38页 关于齐次线性方程组的结论关于齐次线性方程组的结论7 7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 克拉默法则克拉默法则 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值第24页，本讲稿共38页一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的的系数行列式不等于零系数行列式不等于零，即即proof(see p 52)第25页，本讲稿共38页其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的

8、组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为第26页，本讲稿共38页(1)1)个方程个方程,个未知数个未知数 的线性方程组的线性方程组:注：注：克拉默克拉默(Cramer)(Cramer)法则的法则的使用前提：使用前提：(2)(2)系数行列式不等于系数行列式不等于0:0:第27页，本讲稿共38页例例1 用克拉默则解方程组（用克拉默则解方程组（p22 例例14）6741212060311512-=D第28页，本讲稿共38页定理定理44 如果上述线性方程组如果上述线性方程组无解无解或或有两个以上

9、有两个以上不同的解不同的解，则它的，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零.二、二、克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值定理定理4 4第29页，本讲稿共38页设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为 非齐次线性方程组非齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.三、非齐次与齐次线性方程组的概念三、非齐次与齐次线性方程组的概念第30页，本讲稿共38页定理定理5定理定理5 注：注：齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。第31页，本讲稿共38页例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零

10、解？该齐次方程组有非零解，则该齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.第32页，本讲稿共38页1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.四、小结四、小结第33页，本讲稿共38页本章内容要点：本章内容要点：1 1、会求二阶、三阶行列式；计算逆序数；、会求二

11、阶、三阶行列式；计算逆序数；2 2、掌握行列式的性质和行列式的展开定理，、掌握行列式的性质和行列式的展开定理，会利用其进行会利用其进行n n阶行列式的计算。阶行列式的计算。3.3.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；区别余子式和代数余子式，并注意其计算；4 4、注意克拉默法则解方程组的两个条件；及其、注意克拉默法则解方程组的两个条件；及其掌握判断方程组解的结论掌握判断方程组解的结论第34页，本讲稿共38页性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）完

12、全相同，则此行列如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零式为零.性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列则此行列式为零式为零第35页，本讲稿共38页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如第例如第 列的元素为两数之和：列的元素为两数之和：性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式的对应的元素上去，行列式的值不值不变变第36页，本讲稿共38页证明：采用数学归纳法证明：采用数学归纳法()()假定对假定对 阶阶VandermondeVandermonde行列式，行列式，结论成立。结论成立。采用降阶的方法：采用降阶的方法：从第从第n行开始，后行减去前行的行开始，后行减去前行的x1倍，有倍，有第37页，本讲稿共38页第38页，本讲稿共38页