2019高中数学 第3章 不等式 第二节 一元二次不等式学案 苏教版必修5.doc

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1、1一元二次不等式一元二次不等式一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明一元二次不等式1. 掌握简单的一元二次不等式的解法。2. 掌握一元二次不等式与相应的函数、方程的关系。选择题填空题一元二次不等式是解不等式的基础，要认真掌握。并注意体会不等式、函数、方程间的相互转化思想。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；理解一元二次不等式的恒成立问题；从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。难点：难点：理解二次函数图象、一元二次方程的根与一元二次不等式解集之间的关系。考点一：一元二次不等式及其解集（1）概念形如20( 0)axbxc或20( 0)a

2、xbxc（其中0a ）的不等式叫做一元二次不等式。（2）与二次方程、二次函数的关系b24ac000yax2bxc（a0）的图象ax2bxc0（a0）的根有两个不相等的实数根x1，x2且x1x2有两个相等的实数根x1，x2没有实数根ax2bxc0（a0）的解集x|xx2或xx1x|xab 2R Rax2bxc0 （a0）的解集x|x1xx2考点二：一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是：（1）对不等式变形变形，使一端为零且二次项系数大于零一端为零且二次项系数大于零；（2）计算计算相应的判别式；（3）当0 时，求出求出相应的一元二次方程的根；（4）根据一元二次不等式解的结构，写出写出其解

3、。2【核心归纳核心归纳】其中对0 的解的结构可记为“20(0)axbxca”的解为“大于大根或小于大于大根或小于小根小根” ， “20(0)axbxca”的解为“大于小根且小于大根大于小根且小于大根” ，总结为“大于大于 0 0 取两取两边，小于边，小于 0 0 去中间去中间” 。【随堂练习随堂练习】若不等式ax2bxc0 的解集为x|3x4，求不等式bx22axc3b0 的解集。思路分析：思路分析：由不等式的解集方程的解利用韦达定理求a、b、c关系解所求不等式答案：答案：ax2bxc0 的解集为x|3x4，a0 且3 和 4 是方程ax2bxc0 的两根。由韦达定理，得 ,43,43acab

4、即 .12, acab不等式bx22axc3b0，ax22ax15a0，即x22x 150。故所求的不等式的解集为x|3x5。技巧点拨：技巧点拨：1. 一元二次不等式解集的区间端点值就是相应方程的实根，也是相应二次函数的零点，三者之间的相互转化三者之间的相互转化是本题求解的关键。2. 由一元二次不等式解集的情况，还可判断出二次项系数的正负二次项系数的正负，解题时也要注意到。例题例题 1 1 （一元二次不等式的基本解法）（一元二次不等式的基本解法）解下列不等式：（1）2x23x20；（2） 2x24x70；（3）6x2x20；（4）4x214x。思路分析：思路分析：化一边为 0二次项系数化为正求

5、对应方程的根二次函数图象与解集答案：答案：（1）（3）242（2）250，方程 2x23x20 的两根是21，2，原不等式的解集为 212xxx。；（2）（4）24270， 不等式 2x24x70 的解集为；（3）原不等式可化为 6x2x20，1246（2）0，3方程 6x2x20 的两根是32，21，原不等式的解集为 21 32xx；（4）原不等式可化为 4x24x10，即（2x1）20，原不等式的解集是 21xx；技巧点拨：技巧点拨：1. 本题给出了解一元二次不等式的各种常见类型，要认真体会。2. 一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间集合或区间的形式，尤其要注意“”与“” ，“0 的解

6、集是全体实数（或恒成立）的条件是当a0 时，b0，c0；当a0 时， 。 0, 0a2. 不等式ax2bxc0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是当a0 时，b0，c0；当a0 时， 。 0, 0a类似地，还有f（x）a恒成立f（x）maxa；f（x）a恒成立f（x）mina。【综合拓展综合拓展】综合型不等式的解法综合型不等式的解法（1）解不等式（x1） （2x） （x3）0。（2）设a1，解关于x的不等式0222 axxaaxx。思路分析：思路分析：（1）两边都乘以1，再利用根轴法求解。（2）解含参数的不等式时，一般要利用转化思想和分类讨论思想，在转化时一定要注意等价性原则。答案：答案：（

7、1）原不等式可化为（x1） （x2） （x3）0，且方程（x1） （x2）（x3）0 的根为x11，x22，x33，则由穿针引线法（如图）可得原不等式的解集为x|x1 或 2x3。5（2）原不等式可化为0)(1(2 axaxx当a0 时，化为xx 20，2x0；当 0a1 时，化为 )(1(2axaxx0，此时2aa1，2xa或xa1。当a0 时，化为 )(1(2axaxx0；当a21时，有x2 或a1xa；当a21时，有x21且x2；当21a0 时，有xa1或2xa。综上所述，当a0 时，不等式的解集为x|2x0；当 0a1 时，不等式的解集为x|2xa或xa1；当a21时，不等式的解集为x

8、|x2 或a1xa；当a21时，不等式的解集为x|x21且x2；当21a0 时，不等式的解集为x|xa1或2xa。技巧点拨：技巧点拨：解一元高次不等式关键是掌握根轴法的规则。解分式不等式的主要方法是移项、通分、因式分解、右边化为 0，利用实数运算的符号法则等价转化为整式不等式（组）求解，本题第二步含有参数的分式不等式，解含参数的不等式要注意以下基本策略：1. 分清主变量与参变量，正确实施等价转化；2. 在转化过程中，考虑参数在取值范围内对运算结果是否有影响，从哪一步开始对结果有影响，就从哪一步展开对参数的讨论； 3. 对不同的参数取值范围所得的结果，不能取交集，也不能取并集（因为不是对主变量 x 的讨论） ，而应按参数分类的方法依次列出。