材料力学答案第三版单辉祖.pdf

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1、.第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能2-1试画图示各杆的轴力图。题 2-1 图解：各杆的轴力图如图 2-1 所示。图 2-12-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图 a 与 b 所示分布载荷均沿杆轴均匀分布，集度为 q。(a)解：由图 2-2a(1)可知，轴力图如图 2-2a(2)所示，题 2-2 图FN(x)2qaqx.FN,max2qa(b)解：由图 2-2b(2)可知，轴力图如图 2-2b(2)所示，图 2-2aFRqaFN(x1)FRqaFN(x2)FRq(x2a)2qaqx2FN,maxqa图 2-2b2-3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积 A=500mm，载荷 F=50

2、kN。试求图示斜截2面 m-m 上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。题 2-3 图解：该拉杆横截面上的正应力为F50103N 1.00108Pa 100MPa62A50010m斜截面 m-m 的方位角 50，故有.cos2 100MPacos2(50)41.3MPasin250MPasin(100)49.2MPa2杆内的最大正应力与最大切应力分别为max 100MPamax50MPa22-5某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定材料的弹性模量 E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。题 2-5

3、解：由题图可以近似确定所求各量。该材料属于塑性材料。220106PaE 220109Pa 220GPa0.001p220MPa,s 240MPab440MPa,29.7%2-7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题 2-6 图所示。若杆径 d=10mm，杆长l=200mm，杆端承受轴向拉力 F=20kN 作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。.题 2-6 图F420103N解：2.55108Pa 255MPa22A0.010 m查上述 曲线，知此时的轴向应变为0.00390.39%轴向变形为拉力卸去后，有故残留轴向变形为l l(0.200m)0.00397.8104m 0.78mme0.0

4、0364，p0.00026l lp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷F 作用。已知载荷 F=32kN，板宽 b=100mm，板厚 15mm，孔径 d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题 2-9 图解：根据查应力集中因数曲线,得根据得d/b0.020m/(0.100m)0.2K 2.42F，K maxn(bd)n.KF2.4232103Nmax Kn 6.45107Pa 64.5MPa2(bd)(0.1000.020)0.015m2-10图示板件，承受轴向载荷 F 作用。已知载荷 F=36kN，板宽 b=90mm，

5、b=60mm，12板厚=10mm，孔径 d=10mm，圆角半径 R=12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。题 2-10 图解：1.在圆孔处根据查圆孔应力集中因数曲线，得故有d0.010m0.1111b10.090mK12.6K1F2.636103N8max K1n11.1710 Pa 117MPa2(b1d)(0.0900.010)0.010m2在圆角处根据Db10.090m1.5db20.060mRR0.012m0.2db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得故有3.结论K21.74max K2n2K2F1.7436103N81.0410 Pa 104MPab20.060

6、0.010m2max117MPa（在圆孔边缘处）图示桁架，承受铅垂载荷F 作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为2-14.，试确定载荷 F 的许用值F。.题 2-14 图解：先后以节点 C 与 B 为研究对象，求得各杆的轴力分别为FN12FFN2 FN3 F根据强度条件，要求由此得2FAFA22-15图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为。若在节点 B 和 C 的位置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点 A 的最佳位置）。题 2-15 图解：1.求各杆轴力设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点 B 的平衡条件求得2.求重量最轻的值由强度条件得FN1F

7、，FN2 FctansinA1FF，A2ctansin.结构的总体积为由得V A1l1 A2l2FlFlFl2ctan(ctan)sin cos sin2dV0d3cos210由此得使结构体积最小或重量最轻的值为opt54442-16图示桁架，承受载荷 F 作用，已知杆的许用应力为。若节点 A 和 C 间的指定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。题 2-16 图解：1.求各杆轴力由于结构及受载左右对称，故有2.求的最佳值由强度条件可得结构总体积为由得由此得的最佳值为FN1FN2F2sinA1 A2F2sinV 2A1l1FlFlsin 2cossin2dV0dcos2 0opt45.

8、2-17图示杆件，承受轴向载荷F 作用。已知许用应力120MPa，许用切应力90MPa，许用挤压应力bs240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径 d、墩头直径 D 及其高度 h 间的合理比值。题 2-17 图解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F 的许用值分别为理想的情况下，d2Ft4(D2d2)Fbbs4Fs dh(a)(b)(c)FtFbFs在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得h d4于是得由此得D 1dbsD:h:d 1:1bs4D:h:d 1.225:0.333:112122-18图示摇臂，承受载荷 F 与 F 作用。已知载荷 F=50kN，F=35.4kN

9、，许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=240MPa。试确定轴销 B 的直径 d。.题 2-18 图解：1.求轴销处的支反力由平衡方程Fx0与Fy0，分别得由此得轴销处的总支反力为FBx F1F2cos4525kNFByF2sin4525kNFB252252kN35.4kN2.确定轴销的直径由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）得 Fs2FBA d22FB235.4103d m0.015m610010由轴销的挤压强度条件得bsFbFBbsddFB35.4103d m0.01475mbs0.010240106结论：取轴销直径d 0.015m15mm。2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F=50

10、 kN 作用，试求接头的剪切与挤压应力。解：剪应力与挤压应力分别为题 2-19 图50103N5 MPa(0.100m)(0.100m)50103Nbs12.5 MPa(0.040m)(0.100m).2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力 =160MPa，许用切应力=120 MPa，许用挤压应力bs =340 MPa，载荷 F=230 kN。试校核接头的强度。解：最大拉应力为题 2-20 图230103Nmax153.3 MPa2(0.1700.020)(0.010)(m)最大挤压与剪切应力则分别为230103Nbs230 MPa5(0.020m)(0.010m)4230103

11、N146.4 MPa5(0.020m)22-21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F=45kN 作用。已知木杆的截面宽度 b=250mm，沿木纹方向的许用拉应力=6MPa，许用挤压应力bs=10MPa，许用切应力=1MPa。试确定钢板的尺寸与 l 以及木杆的高度 h。题 2-21 图解：由拉伸强度条件得由挤压强度条件 Fb(h2)F45103h2m0.030mb0.2506106（a）.得bsFbs2bF45103m0.009m9mm62bbs20.2501010（b）由剪切强度条件得F45103l m 0.090m 90mm62b20.250110 F2bl取0.009

12、m代入式（a），得h(0.03020.009)m0.048m48mm结论：取9mm，l 90mm，h48mm。2-22图示接头，承受轴向载荷F 作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力=160MPa，许用切应力=120MPa，许用挤压应力bs=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。题 2-22 图解：1.考虑板件的拉伸强度由图 2-22 所示之轴力图可知，FN1 F，FN23F/41FN1FA1(bd)F(bd)(0.200-0.020)0.015160106N 4.32105N 432kN2FN23FA24(b2d)44F(b2d)(0.2000.040)0.015160

13、106N 5.12105N512kN33.2.考虑铆钉的剪切强度图 2-22FsF8 Fs4F2A8dF 2d220.0202120106N 3.02105N 302kN3考虑铆钉的挤压强度F4FbFbsbsd4dFbF 4dbs40.0150.020340106N 4.08105N 408kN结论：比较以上四个 F 值，得F302kN2-23图 a 所示钢带 AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受轴向载荷 F 作用。已知载荷 F=6kN，带宽 b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径 d=8mm，孔的边距 a=20mm，钢带材料的许用切应力=100MPa，许用挤压应力bs=30

14、0MPa，许用拉应力=160MPa。试校核钢带的强度。解：1钢带受力分析题 2-23 图.分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影，通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。铆钉孔所受挤压力 Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图 b 所示，挤压力则为F6 103NFb2.0 103N33孔表面的最大挤压应力为Fb2.0 103Nbs1.25 108Pa125MPabsd(0.002m)(0.008m)在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为Fb2.0 103N2.5 107Pa25MPa

15、2 a2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图 c所示。由图b 与 c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。截面 1-1与 2-2的正应力分别为FN12F2(6 103N)183.3MPaA13(b2d)3(0.040m2 0.008m)(0.002m)FN2F6 103N293.8MPaA2(bd)(0.040m0.008m)(0.002m).第三章 轴向拉压变形3-2一外径 D=60mm、内径d=20mm 的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力 F=200kN 作用。若弹性模量 E=80GPa，泊松比=0.30。

16、试计算该杆外径的改变量D 及体积改变量V。解：1.计算D由于故有 FFD，EADEA4FD40.302001030.060DDm22922EAE(D d)8010(0.060 0.020）FD1.79105m0.0179mm2.计算V变形后该杆的体积为故有3Fl20010 0.4003V VV V(2)(12)m(120.3)9E80104.00107m3400mm3VlA(ll)(DD)2(d d)2 Al(1)(1)2V(12)43-4图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm 的轴向变形。已知：d=8.0mm，d=6.8mm，12d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm

17、；E=210GPa，=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题 3-4 图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，由此得l lFl1l2l34Fl1l2()(2232)E A1A2A3E d1d2d3.El2101090.10103F N 1.865104N 18.65kNl0.0060.0290.008ll)4(122232)4(2220.0080.00680.007d1d2d32.校核螺栓的强度F4F418.65103N8max25.1410 Pa 514MPaAmind20.00682m2此值虽然超过，但超过的百分数仅为 2.6，在 5以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁

18、架，在节点 A 处承受载荷 F 作用。从试验中测得杆 1 与杆 2 的纵向正应-42=2.010-4。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1=A2=200mm2，弹性变分别为1=4.010 与模量 E1=E2=200GPa。试确定载荷 F 及其方位角之值。题 3-5 图解：1.求各杆轴力FN1 E11A12001094.0104200106N 1.6104N 16kNFN2 E22A22001092.0104200106N 8103N 8kN2.确定F及之值由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得化简后，成为及FN2sin30Fsin FN1sin300FN1cos30FN2cos30Fcos 0

19、FN1FN22Fsin(a).联立求解方程(a)与(b)，得由此得3(FN1FN2)2Fcos(b)FN1FN2(168)103tan 0.192533(FN1FN2)3(168)10 10.8910.9FN1FN2(168)1034F N 2.1210 N 21.2kN2sin2sin10.893-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为 b1与 b2，弹性模量为 E。试计算板的轴向变形。题 3-6 图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为llFFl dx dx0EA(x)0Eb(x)(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的

20、宽度为代入式(a)，于是得b(x)b1b2b1xll b2Fl1Fldx ln0b bEb 21xE(b2b1)b11l3-7图示杆件，长为 l，横截面面积为 A，材料密度为，弹性模量为 E，试求自重下杆端截面 B 的位移。.题 3-7 图解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为该处微段 dy 的轴向变形为于是得截面B的位移为FNgAydygAyEAldy gyEdyCygE0ydy gl22E()3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且 f=ky2，式中，k 为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为 E，埋入土中的长度

21、为 l。试求地桩的缩短量。题 3-8 图解：1.轴力分析摩擦力的合力为根据地桩的轴向平衡，由此得截面y处的轴力为Fylkl3fdy ky dy 03l2kl3 F3k 3Fl3y2（a）FNy0ky3fdy ky dy 032.地桩缩短量计算截面 y 处微段 dy 的缩短量为.积分得将式(a)代入上式，于是得d FNdyEAlF dyN0EAkl3kl4y dy 3EA012EAFl4EA3-9图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。题 3-9 图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见

22、图 3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为l。图 3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA0得由此得由图 3-9 可以看出，可见，根据k的定义，有FNaFN(ab)F(2ab)FN Fy(2ab)l y1 y2a(a b)(2a b)yl(b).于是得FN k l kyyFNFkk3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试计算节点 A 的水平与铅垂位移。题 3-10 图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1 FN2 F（拉力）FN42F（压力）FN30于是得各杆的变形分别为l1l2l4Fl(伸长)EA2F 2l2Fl(伸长)EAEAl30如图 310(1)所示，根据

23、变形l1与l4确定节点 B 的新位置 B,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过 A 点的铅垂线相交于 A,此即结构变形后节点A 的新位置。于是可以看出，节点 A 的水平与铅垂位移分别为Ax0Ayl12l4l2Fl2FlFlFl2212EAEAEAEA.图 3-10（b）解：显然，杆 1 与杆 2 的轴力分别为FN1 F（拉力）FN20于是由图 310(2)可以看出，节点 A 的水平与铅垂位移分别为FlEAFlAyl1EAAxl13-11图示桁架 ABC，在节点 B 承受集中载荷 F 作用。杆 1 与杆 2 的弹性模量均为 E，横截面面积分别为A1=320mm2与 A2

24、=2 580mm2。试问在节点 B 和 C 的位置保持不变的条件下，为使节点 B 的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点 A 的最佳位置）。题 3-11 图解：1.求各杆轴力由图 3-11a得FN1F，FN2 Fctansin.2.求变形和位移由图 3-11b得及3.求的最佳值由dBy/d 0，得由此得图 3-11l1FN1l1F l2Fl2Fl ctan，l2N2 22EA1EA1sin2EA2EA2l1l2Fl22ctan2By()sintanEA1sin2sinA22(2cos2sin cossin2)2ctancsc2022A1A2sin 2sin 2A1cos3 A2(13cos2)0

25、将A1与A2的已知数据代入并化简，得cos3 12.09375cos2 4.031250解此三次方程，舍去增根，得由此得的最佳值为cos 0.564967opt55.63-12图示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆的长度为 l，横截面面积均为 A，材料的应力应变关系为n=B，其中 n 与 B 为由试验测定的已知常数。试求节点C 的铅垂位移。.解：两杆的轴力均为轴向变形则均为于是得节点 C 的铅垂位移为题 3-12 图FNF2cosnFll l l 2Acos BBlFnlCycos2nAnBcosn1n3-13图示结构，梁 BD 为刚体，杆 1、杆 2 与杆 3 的横截面面积与材料均相同。在梁的

26、中点 C 承受集中载荷 F 作用。已知载荷 F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量 E=200GPa，梁长 l=1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题 3-13 图解：1.求各杆轴力由Fx0，得由Fy0，得2求各杆变形FN20FN1FN3F10kN2.l20FN1l101031.000-4l1m5.010 m0.50mml3EA2001091001063求中点C的位移由图 3-13 易知，图 3-13x l1 0.50mm()，y l1 0.50mm()3-14图 a 所示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点 B 与 C 间的相对位移

27、B/C。题 3-14 图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为FN1 FN2 FN3 FN4F（拉力）2FN5 F（压力）于是得各杆得变形分别为l1l2l3l4Fl(伸长)2EA.l52.位移分析F 2l2Fl(缩短)EAEA如图 b 所示，过 d 与 g 分别作杆 2 与杆 3 的平行线，并分别与节点 C 的铅垂线相交于 e与 h，然后，在 de 与 gh 延长线取线段l3与l2，并在其端点 m 与 n 分别作垂线，得交点C，即为节点 C 的新位置。可以看出，l52FlFl22 FlB/C2CiiC22l32222EAEA2EA3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为

28、 EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题 3-15 图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为该桁架的应变能为2FN112212F2l2 2 1iliV(F l2F l)()2EA2EA 2242EA4i13FN1221F，FN2F，FN3F222依据能量守恒定律，图 3-15FV2.最后得2F2l 2 2 1(2 2 1)Fl()()F 2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：i12345FNili2FNiliF0FF2Fllll2lF2l0F2lF2l2 2F2l(3 2 2)F2l于是，依据能量守恒定律，可得2FN(32 2)F2liliV2EA2E

29、Ai15FV2(32 2)Fl()EA3-16图示桁架，承受载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点 B 与 C 间的相对位移B/C。题 3-16 图解：依据题意，列表计算如下：i12FNi2F/22F/2lill2FNiliF2l/2F2l/2.3452F/22F/2 Fll2lF2l/2F2l/22F2l(2 2)F2l由表中结果可得依据得2FN(22)F2liliV2EAi12EA5W VB/C(22)Fl()EA3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为 b1与 b2，弹性模量为 E，试用能量法计算板的轴向变形。

30、题 3-17 图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为22lFNFNVdx dx02EA(x)02Eb(x)l(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为b(x)b1b2b1xl将上式代入式（a）,并考虑到FN F,于是得b1F2F2lVdx ln202Eb b2E(b2b1)b1b121xl设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，l或FlV2bFlF2lln222E(b2b1)b1.由此得 l bFlln2E(b2b1)b13-19图示各杆，承受集中载荷 F 或均布载荷 q 作用。各杆各截面的的拉压刚度均为 EA，试求支反力与最大轴力。题 3-19 图(a)解：杆的受力如图 3

31、-19a(1)所示，平衡方程为F 0,FFFxAxFBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。AC，CD 与 DB 段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为图 3-19aFN1 FAx,FN2 FAxF,FN3 FAx2Fl 得FAxaFAxFaFAx2Fa0EAEAEAFAxF 0由此得FAx FFBx2F FAx F杆的轴力图如 3-19a(2)所示，最大轴力为.FN,max F(b)解：杆的受力如图 3-19b(1)所示，平衡方程为Fx0,qa FAx FBx0一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。AC 与 CB 段的轴力分别为由于杆的总长不变，故补充方程为图 3-

32、19bFN1 FAx,FN2 FAxqxFAxa1aFAxqxdx 0l 0EAEA得qa21 2FAxa0EA2由此得FAxqa43qa4FBxqaFAx杆的轴力图如 3-19b(2)所示，最大轴力为FNmax3qa43-20图示结构，杆 1 与杆 2 的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁 BC 为刚体，载荷 F=20kN，许用拉应力t=160MPa,许用压应力c=110MPa，试确定各杆的横截面面积。.题 3-20 图解：容易看出，在载荷 F 作用下，杆 2 伸长，杆 1 缩短，且轴向变形相同，故 FN2为拉力，FN1为压力，且大小相同，即FN2 FN1以刚性梁 BC 为研究对象，铰支点为

33、矩心，由平衡方程M 0,FN2aFN1aF2a 0由上述二方程，解得FN2 FN1 F根据强度条件，FN120103NA11.818104m26c11010 PaFN220103NA21.25104m26t16010 Pa取A1 A2182mm23-21图示桁架，承受铅垂载荷 F 作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴力。题 3-21 图(a)解：此为一度静不定桁架。设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由Fy0，得FN,BCFN,AB F(a)后取节点A为研究对象，由Fx0和Fy 0依次得到.及FN,AD FN,AG(b)2FN,ADcos45 FN,AB

34、在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）(c)物理关系为lBClABlAD2lADcos45FN,AD2lEA(d)lBCFN,BClEA，lABFN,ABlEA，lADlAG(e)将式(e)代入式(d)，化简后得联解方程(a)，(c)和(d)，得FN,BCFN,AB2FN,AD(d)2 1222，FN,AB，FN,AD FN,AGF（拉）F（压）F（拉）222(b)解：此为一度静不定问题。FN,BC考虑小轮A的平衡，由Fy0，得由此得FN1sin45F 0FN12F在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，l2 0，故有FN20FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来

35、平衡。3-22图示桁架，杆 1、杆 2 与杆 3 分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为1=40MPa，2=60MPa，3=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷 F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。.题 3-22 图解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a 和 b。图 3-22由图 a 可得平衡方程F3x0，FN12FN2Fy0，12FN2FN3F由图 b 得变形协调方程为l1ctan30l2sin30l3根据胡克定律，有lF1N1l1FN1l1，lF lF l1F lF lEE2N2

36、 2N2，l3N3 3N3 1E1A121A3E2A23E2A3E3A333A3将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为15FN132FN28FN3联解方程(a)，(b)和(c)，并代入数据，得FN122.6kN(压)，FN226.1kN（拉），FN3146.9kN（拉）根据强度要求，计算各杆横截面面积如下：AFN122.6103m215.65104140106m2565mm2AFN226.1103m2424.3510m2435mm2260106.(a)(b)(c)(d)(c).FN3146.91032A3m 1.224103m21224mm26312010根据题意要求，最后取A1 A22A

37、32450mm23-23图 a 所示支架，由刚体 ABC 并经由铰链 A、杆 1 与杆 2 固定在墙上，刚体在 C点处承受铅垂载荷 F 作用。杆1 与杆 2 的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得 C 点的铅垂位移y mm，试确定载荷 F与各杆轴力。题 3-23 图解：1.求解静不定在载荷 F 作用下，刚体ABC 将绕节点 A 沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图 b 所示。显然，本问题具有一度静不定。由平衡方程MA0，得FN2F 02由变形图中可以看出，变形协调条件为FN1(a)根据胡克定律，l12

38、l2(b)FN1lF l,l2N2EAEA将上述关系式代入式（b），得补充方程为l1(c)FN1 2FN2联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得4F2F(d),FN2552.由位移y确定载荷 F 与各杆轴力变形后，C 点位移至 C(CCAC)（图 b），且直线 AC 与 AB 具有相同的角位移，因此，FN1.C 点的总位移为又由于由此得CCACl12l1AB2yl1y将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得F 5EAy4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N34(10010m)并从而得FN11.5104N,FN27.5103N3-24图示钢杆，

39、横截面面积 A=2500mm，弹性模量 E=210GPa，轴向载荷 F=200kN。2试在下列两种情况下确定杆端的支反力。(a)间隙=0.6 mm；(b)间隙=0.3 mm。题 3-24 图解：当杆右端不存在约束时，在载荷F 作用下，杆右端截面的轴向位移为(200103N)(1.5m)FaF0.57mmEA(210109Pa)(2500106m2)当间隙=0.6 mm 时，由于F，仅在杆 C 端存在支反力，其值则为FCx F 200kN当间隙=0.3 mm 时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24 所示。杆的平衡方程为图 3-24.补充方程为由此得F FBxFCx0FaFBx2aE

40、AEAFBxFEA22a962200103N(0.0003m)(21010 Pa)(250010m)47.5kN22(1.5m)而 C 端的支反力则为FCx F FBx200kN47.5kN 152.5kN3-25图示两端固定的等截面杆 AB，杆长为 l。在非均匀加热的条件下，距 A 端 x处的温度增量为T TBx2/l2，式中的TB为杆件 B 端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为 E 与l。试求杆件横截面上的应力。题 3-25 图解：1.求温度增高引起的杆件伸长此为一度静不定问题。假如将B 端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长全杆伸长为lTBx2d(lt)lT

41、dx dxl2llTBx22lt0ldx lTBl32求约束反力设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为由变形协调条件lFFNlFlEAEAlFlt.可得F 3求杆件横截面上的应力EA lTBlEAlTBl33FNFElTBAA3 3-26图示桁架，杆 BC 的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端 B 与节点G 强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。题 3-26 图解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号15。由强制装配容易判断，杆 13 受拉，杆 4 和 5 受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图 3-26a 和 b。根据平衡条件，

42、由图 a 可得由图 b 可得图 3-26FN1 FN2 FN3(a)FN4 FN5，FN3 2FN4cos303FN4(b)变形协调关系为(参看原题图)依据胡克定律，有将式(d)代入式(c)，得补充方程l1l4l3cos60cos30(c)liFNili(i 15)EA(d).2FN1l2FN43lFN3lEAEA3EA(e)联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得即FN3(92 3)EA(3 32)EA,FN423l23lFN,BC FN,GD FN,GEFN,CD FN,CE(92 3)EA（拉）23l(3 32)EA（压）23l3-27图 a 所示钢螺栓，其外套一长度为l

43、的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分别为 Ab与 At，弹性模量分别为 Eb与 Et，螺栓的螺距为 p。现将螺母旋紧 1/5 圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。题 3-27 图解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽 l 处旋转 1/5 圈，即旋进=p/5 的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。设螺栓所受拉力为 FNb，伸长为lb，套管所受压力为 FNt，缩短为lt，则由图 b 与 c 可知，平衡方程为而变形协调方程则为利用胡克定律，得补充方程为FNbFNt0(a)lbltFNblFNtlAbEbAtEt(b)

44、最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为AbEbFN0 FNb FNtl1k式中，.k AbEbAtEt3-28图示组合杆，由直径为 30mm 的钢杆套以外径为 50mm、内径为 30mm 的铜管组成，二者由两个直径为 10mm 的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高 40，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为 Es=200GPa 与 Ec=100GPa，线膨胀系数分别为ls=12.510-6-1与lc=1610-6-1。题 3-28 图解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为Ts和Tc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为或写

45、成TslsTclclslcTcTs这里，伸长量ls和缩短量lc均设为正值。引入物理关系，得FNslFNcl(lcls)lTEsAsEcAc将静力平衡条件FNs FNc F代入上式，得F EsAsEcAc(lcls)TEsAsEcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为由此得 FSFEsAsEcAc(lcls)TA2A2A(EsAs EcAc)2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N20.01022001090.0302100109(0.05020.0302)m25.93107Pa 59.3MPa3-29图示结构，杆1 与杆 2 各截面的拉

46、压刚度均为EA，梁BD 为刚体，试在下列两.种情况下，画变形图，建立补充方程。(1)若杆 2 的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；(2)若杆 1 的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。题 3-29 图(1)解：如图3-29(1)a 所示，当杆2 未与刚性杆 BD 连接时，下端点位于D，即DD。当杆 2 与刚性杆 BD 连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆 1 的下端点则铅垂位移至C。DDl2，过C作直线 Ce 垂直于杆 1 的轴线，显然Ce l1，即代表杆 1 的弹性变形，同时，即代表杆 2 的弹性变形。与上述变形相应，杆 1 受压，杆 2 受拉，刚性杆 BD 的受力如图 3-29(1)b所示。图

47、 3-29(1)可以看出，DD2CC即变形协调条件为l2 22l1而补充方程则为或F2l4F1l0EAEAEA0l(2)解：如图 3-29(2)a 所示，当杆 1 未与刚性杆 BD 连接时，由于其温度升高，下端点位F24F1于C，即CCl2lT。当杆1 与刚性杆 BD 连接后，下端点C 铅垂位移至C，而杆2 的下端点 D 则铅垂位移至D。过C作直线 Ce 垂直于直线CC，显然，eCl1即代表杆 1.的弹性变形，同时，DDl2，代表杆 2 的弹性变形。与上述变形相应，杆1 受压，杆 2 受拉，刚性杆 BD 的受力如图 3-29(2)b 所示。图 3-29(2)可以看出，DD2CC故变形协调条件为

48、l2 22l2lT l1而补充方程则为F2lF1 2l 2 22lT lEAEA或F24F14EAlT 03-30图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为 A，E与，试确定该桁架的许用载荷F。为了提高许用载荷之值，现将杆 3 的设计长度 l 变为l。试问当为何值时许用载荷最大，其值Fmax为何。题 3-30 图解:此为一度静不定问题。节点C处的受力及变形示如图 3-30a 和 b。.图 3-30由图 a 得平衡方程为FN1 FN2，2FN1cos30 FN3 F由图 b 得变形协调条件为(a)依据胡克定律,有l1 l3cos30(b)FNili(i 1,2,3)EA将式(

49、c)代入式(b)，化简后得补充方程为4FN3FN13将方程(b)与方程(a)联解，得34FN1 FN2F，FN3F FN143 343 3li(c)(b)由此得maxFN34FA(43 3)A(43 3)A(43 3)A,F44为了提高F值，可将杆 3 做长，由图 b 得变形协调条件为F l3 l1cos30式中，l3与l1均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到，即由此得4llE3Ell4(1)3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有Fmax2(Acos30)A(13)A.第四章 扭 转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径 d=40mm，扭力偶矩 M=500Nm，切变

50、模量 G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1 DdDdR0()20.5mm，1mm2 2222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为T500N81.89410 Pa 189.4MPa2222R020.0205 0.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为 189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为189.4106rad2.53103rad9G751004-7试证明，在线弹性范围内，且当 R/10 时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过 4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为T22R0设R0/，按上述