新中考数学真题分项汇编专题22与圆的有关解答题(共50题)(解析版).pdf

《新中考数学真题分项汇编专题22与圆的有关解答题(共50题)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新中考数学真题分项汇编专题22与圆的有关解答题(共50题)(解析版).pdf（76页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题专题 2222 与圆的有关解答题（共与圆的有关解答题（共 5050 题）题）一解答题（共一解答题（共 5050 小题）小题）1（2020铜仁市）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接AC，CEAB 于点 E，D 是直径 AB 延长线上一点，且BCEBCD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 AD8，=，求 CD 的长21【分析】（1）连接 OC，根据圆周角定理得到ACB90，根据余角的性质得到AECB，求得ABCD，根据等腰三角形的性质得到AACO，等量代换得到ACOBCD，求得DCO90，于是得到结论；（2）设 BCk，AC2k，根据相似三角形的性质即可得到结论【解析】（1

2、）证明：连接 OC，AB 是O 的直径，ACB90，CEAB，CEB90，ECB+ABCABC+CAB90，AECB，BCEBCD，ABCD，OCOA，AACO，ACOBCD，ACO+BCOBCO+BCD90，DCO90，CD 是O 的切线；第1 1页/共7676页页（2）解：ABCE，tanA=tanBCE=2，设 BCk，AC2k，DD，ABCD，ACDCBD，1=，21AD8，CD4上一点，2（2020温州）如图，C，D 为O 上两点，且在直径 AB 两侧，连结 CD 交 AB 于点 E，G 是ADCG（1）求证：12（2）点C 关于 DG 的对称点为 F，连结CF当点F 落在直径 AB

3、 上时，CF10，tan1=5，求O 的半径2【分析】（1）根据圆周角定理和 AB 为O 的直径，即可证明12；（2）连接 DF，根据垂径定理可得 FDFC10，再根据对称性可得 DCDF，进而可得 DE 的长，再根据锐角三角函数即可求出O 的半径【解析】（1）ADCG，=，AB 为O 的直径，=，第2 2页/共7676页页12；（2）如图，连接 DF，=，AB 是O 的直径，ABCD，CEDE，FDFC10，点 C，F 关于 DG 对称，DCDF10，DE5，tan1=5，EBDEtan12，12，tan2=5，AE=2=2，ABAE+EB=2，O 的半径为2942925223（2020衢州

4、）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB10，AC6，连结 OC，弦 AD 分别交OC，BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点（1）求证：CADCBA（2）求 OE 的长【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可第3 3页/共7676页页（2）证明AECBCA，推出=，求出 EC 即可解决问题【解析】（1）证明：AEDE，OC 是半径，=，CADCBA（2）解：AB 是直径，ACB90，AEDE，OCAD，AEC90，AECACB，AECBCA，6=610，CE3.6，OC=2AB5，OEOCEC53.61.414（2020嘉兴）已知：如图，在OAB 中，OAOB

5、，O 与 AB 相切于点 C求证：ACBC小明同学的证明过程如下框：证明：连结 OC，OAOB，AB，又OCOC，OACOBC，第4 4页/共7676页页ACBC小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程【分析】连结 OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论【解析】证法错误；证明：连结 OC，O 与 AB 相切于点 C，OCAB，OAOB，ACBC5（2020湖州）如图，已知ABC 是O 的内接三角形，AD 是O 的直径，连结 BD，BC 平分ABD（1）求证：CADABC；的长（2）若 AD6，求【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得DBCABC

6、CAD；=，由弧长公式可求解（2）由圆周角定理可得【解析】（1）BC 平分ABD，DBCABC，CADDBC，CADABC；（2）CADABC，=，AD 是O 的直径，AD6，第5 5页/共7676页页的长=6=222于点 D，过点 D6（2020遵义）如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，CAB 的平分线 AD 交作 DEBC 交 AC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线；（2）过点 D 作 DFAB 于点 F，连接 BD若 OF1，BF2，求 BD 的长度113【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出ADODAE，从而ODAE，由DEBC 得E9

7、0，由两直线平行，同旁内角互补得出ODE90，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出ADB90，再由 OF1，BF2 得出 OB 的值，进而得出AF 和 BA 的值，然后证明DBFABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出 BD 的值【解析】（1）连接 OD，如图：OAOD，OADADO，AD 平分CAB，DAEOAD，ADODAE，ODAE，DEBC，E90，ODE180E90，第6 6页/共7676页页DE 是O 的切线；（2）AB 是O 的直径，ADB90，OF1，BF2，OB3，AF4，BA6DFAB，DFB90，ADBDFB，

8、又DBFABD，DBFABD，=，BD2BFBA2612BD237（2019陕西）如图，O 的半径 OA6，过点 A 作O 的切线 AP，且 AP8，连接 PO 并延长，与O交于点 B、D，过点 B 作 BCOA，并与O 交于点 C，连接 AC、CD（1）求证：DCAP；（2）求 AC 的长【分析】（1）根据切线的性质得到OAP90，根据圆周角定理得到BCD90，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【解析】（1）证明：AP 是O 的切线，OAP90，BD 是O 的直径，BCD90，第7 7页/共7676页页OACB，AOPDBC，B

9、DCAPO，DCAP；（2）解：AOBC，ODOB，延长 AO 交 DC 于点 E，则 AEDC，OE=BC，CE=CD，在 RtAOP 中，OP=62+82=10，由（1）知，AOPCBD，即12101212=6=8，48BC=5，DC=5，OE=5，CE=5，在 RtAEC 中，AC=2+2=(6+5)2+(5)2=182424551824368（2020聊城）如图，在ABC 中，ABBC，以ABC 的边 AB 为直径作O，交 AC 于点 D，过点D 作DEBC，垂足为点 E（1）试证明 DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 5，AC610，求此时 DE 的长第8 8页/共7676页页

10、【分析】（1）连接 OD、BD，求出 BDAC，瑞成 ADDC，根据三角形的中位线得出 ODBC，推出ODDE，根据切线的判定推出即可；（2）根据题意求得AD，根据勾股定理求得 BD，然后证得CDEABD，根据相似三角形的性质即可求得 DE【解析】（1）证明：连接 OD、BD，AB 是O 直径，ADB90，BDAC，ABBC，D 为 AC 中点，OAOB，ODBC，DEBC，DEOD，OD 为半径，DE 是O 的切线；（2）由（1）知 BD 是 AC 的中线，ADCD=12=310，O 的半径为 5，AB6，BD=2 2=102(310)2=10，ABAC，AC，ADBCED90，CDEABD

11、，10=，即310=10，DE3第9 9页/共7676页页9（2020上海）如图，ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，BO 的延长线交边 AC 于点 D（1）求证：BAC2ABD；（2）当BCD 是等腰三角形时，求BCD 的大小；（3）当 AD2，CD3 时，求边 BC 的长【分析】（1）连接 OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可（2）分三种情形：若 BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD 若 CDCB，则CBDCDB3ABD若 DBDC，则 D 与 A 重合，这种情形不存在分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可（3）如图 3 中，作 AEBC 交 BD 的延长线于

12、 E则=，推出32=，设 OBOA344a，OH3a，根据 BH2AB2AH2OB2OH2，构建方程求出 a 即可解决问题【解析】（1）证明：连接 OAAABAC，=，OABC，第1010页/共7676页页BAOCAO，OAOB，ABDBAO，BAC2BAD（2）解：如图 2 中，延长 AO 交 BC 于 H若 BDCB，则CBDCABD+BAC3ABD，ABAC，ABCC，DBC2ABD，DBC+C+BDC180，8ABD180，C3ABD67.5若 CDCB，则CBDCDB3ABD，C4ABD，DBC+C+CDB180，10ABD180，BCD4ABD72若 DBDC，则 D 与 A 重合

13、，这种情形不存在综上所述，C 的值为 67.5或 72（3）如图 3 中，作 AEBC 交 BD 的延长线于 E第1111页/共7676页页则=23，4=3，设 OBOA4a，OH3a，BH2AB2AH2OB2OH2，2549a216a29a2，a2=2556，BH=524，BC2BH=52210（2020金华）如图，的半径 OA2，OCAB 于点 C，AOC60（1）求弦 AB 的长（2）求的长【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC 的长，然后即可得到 AB 的长；（2）根据AOC60，可以得到AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可【解析】（1）的半径 OA2，OCAB 于点 C，

14、AOC60，ACOAsin60232=3，AB2AC23；（2）OCAB，AOC60，AOB120，OA2，第1212页/共7676页页的长是：1202180=43=，连接 AD，过11（2020齐齐哈尔）如图，AB 为O 的直径，C、D 为O 上的两个点，点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E（1）求证：DE 是O 的切线（2）若直径 AB6，求 AD 的长【分析】（1）连接 OD，根据已知条件得到BOD=318060，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30，得到EDA60，求得 ODDE，于是得到结论；（2）连接 BD，根据圆周角定理得到ADB90，解直角三角形即可得到结论【解

15、析】（1）证明：连接 OD，=，BOD=118060，31=，EADDAB=2BOD30，OAOD，ADODAB30，DEAC，E90，EAD+EDA90，EDA60，EDOEDA+ADO90，ODDE，DE 是O 的切线；第1313页/共7676页页1（2）解：连接 BD，AB 为O 的直径，ADB90，DAB30，AB6，BD=2AB3，AD=62 32=33112（2020泸州）如图，AB 是O 的直径，点 D 在O 上，AD 的延长线与过点 B 的切线交于点 C，E 为线段 AD 上的点，过点 E 的弦 FGAB 于点 H（1）求证：CAGD；（2）已知 BC6CD4，且 CE2AE，

16、求 EF 的长【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90，根据切线的性质得到ABC90，得到CABD，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论【解析】（1）证明：连接 BD，AB 是O 的直径，ADB90，DAB+DBA90，BC 是O 的切线，第1414页/共7676页页ABC90，C+CAB90，CABD，AGDABD，AGDC；（2）解：BDCABC90，CC，ABCBDC，=，6=46，AC9，AB=2 2=35，CE2AE，AE3，CE6，FHAB，FHBC，AHEABC，=，=335=69，AH=5，EH2，连接 AF，BF，A

17、B 是O 的直径，AFB90，AEH+BFHAFH+FAH90，FAHBFH，AFHFBH，=，255=，FH=10，第1515页/共7676页页EF=10 213（2020河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具三分角器图1 是它的示意图，其中AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长使用方法如图 2 所示，若要把MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN 的顶点 E，点A

18、 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把MEN 三等分了为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明 如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，ABOB，EN 切半圆 O 于 F求证：EB，EO 就把MEN 三等分【分析】根据垂直的定义得到ABEOBE90，根据全等三角形的性质得到12，根据切线的性质得到23，于是得到结论第1616页/共7676页页【解析】已知：如图2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，ABOB，EN 切半圆

19、 O于 F求证：EB，EO 就把MEN 三等分，证明：EBAC，ABEOBE90，ABOB，BEBE，ABEOBE（SAS），12，BEOB，BE 是E 的切线，EN 切半圆 O 于 F，23，123，EB，EO 就把MEN 三等分故答案为：ABOB，EN 切半圆 O 于 F；EB，EO 就把MEN 三等分14（2020安徽）如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上不同于 A，B 的两点，ADBC，AC 与 BD相交于点 FBE 是半圆 O 所在圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E（1）求证：CBADAB；（2）若 BEBF，求证：AC 平分DAB【分析】（1）根据圆周角定理

20、得到ACBADB90，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到EBFE，根据切线的性质得到ABE90，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论【解析】（1）证明：AB 是半圆 O 的直径，ACBADB90，=在 RtCBA 与 RtDAB 中，=RtCBARtDAB（HL）；第1717页/共7676页页（2）解：BEBF，由（1）知 BCEF，EBFE，BE 是半圆 O 所在圆的切线，ABE90，E+BAE90，由（1）知D90，DAF+AFD90，AFDBFE，AFDE，DAF90AFD，BAF90E，DAFBAF，AC 平分DAB15（2020河南）小亮

21、在学习中遇到这样一个问题：上一动点，线段BC8cm，点A 是线段 BC 的中点，过点C 作 CFBD，交DA 的延长如图，点D 是线于点 F当DCF 为等腰三角形时，求线段BD 的长度小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题 请将下面的探究过程补充完整：上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD 的长度，得到下表的几组（1）根据点D 在对应值BD/cmCD/cmFD/cm08.08.01.07.77.42.07.26.93.06.66.54.05.96.15.0a6.06.03.96.27.02.46.78.008.0操作中发现：的中

22、点时，BD5.0cm”“当点 D 为则上表中 a 的值是5；“线段 CF 的长度无需测量即可得到”请简要说明理由（2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yCD和 yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD的图象，如图所示请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF 为等腰三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）第1818页/共7676页页【分析】（1）由=可求 BDCDa5cm；由“AAS”可证BADCAF，可得 BDCF，即可求解；（2）由题意可画

23、出函数图象；（3）结合图象可求解【解析】（1）点 D 为的中点，=，BDCDa5cm，故答案为：5；（2）点 A 是线段 BC 的中点，ABAC，CFBD，FBDA，又BADCAF，BADCAF（AAS），BDCF，线段 CF 的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：第1919页/共7676页页（4）由题意画出函数 yCF的图象；由图象可得：BD3.8cm 或 5cm 或 6.2cm 时，DCF 为等腰三角形16（2020德州）如图，点 C 在以 AB 为直径的O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC，BC，AD，BD 过点 D 作 DHAB 交 CB 的延长线于点 H（1）求证：直

24、线 DH 是O 的切线；（2）若 AB10，BC6，求 AD，BH 的长【分析】（1）连接 OD，根据圆周角定理得到AOD=AOB90，根据平行线的性质得到ODH90，于是得到结论；（2）连接 CD，根据圆周角定理得到ADBACB90，推出ABD 是等腰直角三角形，得到 AB10，解直角三角形得到 AC=102 62=8，求得CADDBH，根据平行线的性质得到BDHOBD45，根据相似三角形的性质即可得到结论第2020页/共7676页页12【解析】（1）证明：连接 OD，AB 为O 的直径，点 D 是半圆 AB 的中点，AOD=12AOB90，DHAB，ODH90，ODDH，直线 DH 是O

25、的切线；（2）解：连接 CD，AB 为O 的直径，ADBACB90，点 D 是半圆 AB 的中点，=，ADDB，ABD 是等腰直角三角形，AB10，AD10sinABD10sin451022=52，AB10，BC6，AC=102 62=8，四边形 ABCD 是圆内接四边形，CAD+CBD180，DBH+CBD180，CADDBH，由（1）知AOD90，OBD45，ACD45，DHAB，BDHOBD45，ACDBDH，ACDBDH，=，第2121页/共7676页页852=52，254解得：BH=17（2020长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过 C 点的直线互相垂直，垂足

26、为 D，AC 平分DAB（1）求证：DC 为O 的切线（2）若 AD3，DC=3，求O 的半径【分析】（1）如图，连接 OC，根据已知条件可以证明OCADAC，得 ADOC，由 ADDC，得OCDC，进而可得 DC 为O 的切线；（2）过点 O 作 OEAC 于点 E，根据 RtADC 中，AD3，DC=3，可得 DAC30，再根据垂径定理可得 AE 的长，进而可得O 的半径【解析】（1）如图，连接 OC，OAOC，OACOCA，AC 平分DAB，DACOAC，第2222页/共7676页页OCADAC，ADOC，ADDC，OCDC，又 OC 是O 的半径，DC 为O 的切线；（2）过点 O 作

27、 OEAC 于点 E，在 RtADC 中，AD3，DC=3，tanDAC=3，DAC30，AC2DC23，OEAC，根据垂径定理，得AEEC=2AC=3，EAODAC30，OA=30=2，O 的半径为 2=，连接 AE，AC过点 C 作18（2020襄阳）如图，AB 是O 的直径，E，C 是O 上两点，且CDAE 交 AE 的延长线于点 D（1）判定直线 CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AB4，CD=3，求图中阴影部分的面积13=，【分析】（1）连接 OC，根据求得CADBAC，根据等腰三角形的性质得到BACACO，推出 ADOC，根据平行线的性质得到OCCD，于是得到 CD 是

28、O 的切线；（2）连接 OE，连接 BE 交 OC 于 F，根据垂径定理得到 OCBE，BFEF，由圆周角定理得到AEB90，根据矩形的性质得到 EFCD=3，根据勾股定理得到 AE=2 2=42(23)2=2，第2323页/共7676页页求得AOE60，连接 CE，推出 CEAB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接 OC，=，CADBAC，OAOC，BACACO，CADACO，ADOC，ADCD，OCCD，CD 是O 的切线；（2）解：连接 OE，连接 BE 交 OC 于 F，=，OCBE，BFEF，AB 是O 的直径，AEB90，FEDDEFC90，四边形 DE

29、FC 是矩形，EFCD=3，BE23，AE=2 2=42(23)2=2，AE=12AB，ABE30，AOE60，BOE120，=，COEBOC60，连接 CE，OEOC，第2424页/共7676页页COE 是等边三角形，ECOBOC60，CEAB，SACESCOE，OCD90，OCE60，DCE30，DE=3CD1，AD3，1602332图中阴影部分的面积SACDS扇形COE=2 3 3360=232319（2020衡阳）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 A 和点 D 的圆，圆心 O 在线段 AB 上，O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（1）判断

30、BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 AD8，AE10，求 BD 的长【分析】（1）连接 OD，根据平行线判定推出ODAC，推出 ODBC，根据切线的判定推出即可；（2）连接 DE，根据圆周角定理得到ADE90，根据相似三角形的性质得到AC=得到 CD=2 2=82+(【解析】（1）BC 与O 相切，理由：连接 OD，OAOD，OADODA，AD 平分BAC，第2525页/共7676页页32，根据勾股定理5322841)=，根据相似三角形的性质即可得到结论55BADCAD，ODACAD，ODAC，C90，ODC90，ODBC，OD 为半径，BC 是O 切线；（2）连接 DE，AE 是O

31、 的直径，ADE90，C90，ADEC，EADDAC，ADEACD，=，1088=，AC=325，CD=2 2=82(32245)2=5，ODBC，ACBC，OBDABC，=，532=524，5BD=1207第2626页/共7676页页20（2020淮安）如图，AB 是O 的弦，C 是O 外一点，OCOA，CO 交 AB 于点 P，交O 于点 D，且 CPCB（1）判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若A30，OP1，求图中阴影部分的面积【分析】（1）根据等边对等角得CPBCBP，根据垂直的定义得OBC90，即 OBCB，则 CB与O 相切；（2）根据三角形的内角和定理得到AP

32、O60，推出PBD 是等边三角形，得到PCBCBP60，求得 BC1，根据勾股定理得到 OB=2 2=3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）CB 与O 相切，理由：连接 OB，OAOB，OABOBA，CPCB，CPBCBP，在 RtAOP 中，A+APO90，OBA+CBP90，即：OBC90，OBCB，又OB 是半径，CB 与O 相切；（2）A30，AOP90，APO60，BPDAPO60，PCCB，PBD 是等边三角形，第2727页/共7676页页PCBCBP60，OBPPOB30，OPPBPC1，BC1，OB=2 2=3，3130(3)图中阴影部分的面积SOBCS扇形O

33、BD=21 3=36024221（2020南京）如图，在ABC 中，ACBC，D 是 AB 上一点，O 经过点 A、C、D，交 BC 于点 E，过点 D 作 DFBC，交O 于点 F求证：（1）四边形 DBCF 是平行四边形；（2）AFEF【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出BACB，根据平行线的性质得出ADFB，求出ADFCFD，根据平行线的判定得出BDCF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）求出AEFB，根据圆内接四边形的性质得出ECF+EAF180，根据平行线的性质得出ECF+B180，求出AEFEAF，根据等腰三角形的判定得出即可【解析】证明：（1）ACBC，BACB，DFBC，A

34、DFB，BACCFD，第2828页/共7676页页ADFCFD，BDCF，DFBC，四边形 DBCF 是平行四边形；（2）连接 AE，ADFB，ADFAEF，AEFB，四边形 AECF 是O 的内接四边形，ECF+EAF180，BDCF，ECF+B180，EAFB，AEFEAF，AEEF22（2020辽阳）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，CAB90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作A，交 BC 边于点 E，交 AC 于点 F，连接 DE（1）求证：DE 与A 相切；（2）若ABC60，AB4，求阴影部分的面积第2929页/共7676页页【分析】（1）证明：连接 AE，根

35、据平行四边形的性质得到 ADBC，ADBC，求得DAEAEB，根据全等三角形的性质得到DEACAB，得到 DEAE，于是得到结论；（2）根据已知条件得到ABE 是等边三角形，求得 AEBE，EAB60，得到CAEACB，得到 CEBE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论【解析】（1）证明：连接 AE，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEAEB，AEAB，AEBABC，DAEABC，AEDBAC（AAS），DEACAB，CAB90，DEA90，DEAE，AE 是A 的半径，DE 与A 相切；（2）解：ABC60，ABAE4，ABE 是等边三角形，AEBE，EAB60，C

36、AB90，CAE90EAB906030，ACB90B90CAEACB，AECE，CEBE，S11ABC=2ABAC=2 4 43=83，S1ACE=2S1ABC=2 83=43，CAE30，AE4，6030，第3030页/共7676页页30230424S扇形AEF=360=360=3，S阴影SACES扇形AEF43 3423（2020菏泽）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 与 BC 相交于点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E（1）求证：DEAC；（2）若O 的半径为 5，BC16，求 DE 的长【分析】（1）连接AD、OD先证明ADB90，EDO90，从而可证明E

37、DAODB，由ODOB 可得到EDAOBD，由等腰三角形的性质可知CADBAD，故此EAD+EDA90，由三角形的内角和定理可知DEA90，于是可得到 DEAC（2）由等腰三角形的性质求出BDCD8，由勾股定理求出 AD 的长，根据三角形的面积得出答案【解析】（1）证明：连接 AD、ODAB 是圆 O 的直径，ADB90ADO+ODB90DE 是圆 O 的切线，第3131页/共7676页页ODDEEDA+ADO90EDAODBODOB，ODBOBDEDAOBDACAB，ADBC，CADBADDBA+DAB90，EAD+EDA90DEA90DEAC（2）解：ADB90，ABAC，BDCD，O 的

38、半径为 5，BC16，AC10，CD8，AD=2 2=102 82=6，SADC=2 =2ACDE，DE=6824=10=51124（2020天津）在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P，ABC63（）如图，若APC100，求BAD 和CDB 的大小；（）如图，若 CDAB，过点 D 作O 的切线，与AB 的延长线相交于点E，求E 的大小【分析】（1）由三角形的外角性质得出C37，由圆周角定理得BADC37，ADCB63，ADB90，即可得出答案；第3232页/共7676页页（2）连接 OD，求出PCB27，由切线的性质得出ODE90，由圆周角定理得出BOD2PCB54，即可得出答案【

39、解析】（1）APC 是PBC 的一个外角，CAPCABC1006337，由圆周角定理得：BADC37，ADCB63，AB 是O 的直径，ADB90，CDBADBADC906327；（2）连接 OD，如图所示：CDAB，CPB90，PCB90ABC906327，DE 是O 的切线，DEOD，ODE90，BOD2PCB54，E90BOD90543625（2020凉山州）如图，O 的半径为 R，其内接锐角三角形 ABC 中，A、B、C 所对的边分别是a、b、c第3333页/共7676页页（1）求证：=2R；（2）若A60，C45，BC43，利用（1）的结论求 AB 的长和 sinB 的值【分析】（1

40、）证明：作直径 BE，连接 CE，如图所示：则BCE90，EA，根据三角函数的定义得到 sinAsinE=2，求得（2）由（1）得：=2R，同理：24323=2R，=2R，于是得到结论；=，得到 AB=42，2R=433=8，过 B 作 BHAC 于 H，解直22角三角形得到 ACAH+CH2（2+6），根据三角函数的定义即可得到结论【解析】（1）证明：作直径 BE，连接 CE，如图所示：则BCE90，EA，sinAsinE=2，=2R，同理：=2R，=2R，=2R；=（2）解：由（1）得：即45，=43=2R，60AB=24323=42，2R=433=8，22过 B 作 BHAC 于 H，A

41、HBBHC90，AHABcos6042 2=22，CH=2BC26，ACAH+CH2（2+6），sinB=2=2(2+6)2+6=4812第3434页/共7676页页26（2020深圳）如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D连接 BC 并延长，交 AD 的延长线于点 E（1）求证：AEAB；（2）若 AB10，BC6，求 CD 的长【分析】（1）证明：连接 AC、OC，如图，根据切线的性质得到 OCCD，则可判断 OCAD，所以OCBE，然后证明BE，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到ACB90，则利用勾股定理可计算出AC8，再根据等腰三角

42、形的性质得到 CEBC6，然后利用面积法求出CD 的长【解析】（1）证明：连接 AC、OC，如图，CD 为切线，OCCD，CDAD，OCAD，OCBE，OBOC，OCBB，BE，AEAB；（2）解：AB 为直径，第3535页/共7676页页ACB90，AC=102 62=8，ABAE10，ACBE，CEBC6，CDAE=ACCE，2112CD=6824=10527（2020陕西）如图，ABC 是O 的内接三角形，BAC75，ABC45连接AO 并延长，交O 于点 D，连接 BD过点 C 作O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E（1）求证：ADEC；（2）若 AB12，求线段 EC 的长【分

43、析】（1）连接OC，由切线的性质可得OCE90，由圆周角定理可得AOC90，可得结论；（2）过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F，由锐角三角函数可求 AD83，可证四边形 OAFC 是正方形，可得 CFAF43，由锐角三角函数可求EF12，即可求解【解析】证明：（1）连接 OC，第3636页/共7676页页CE 与O 相切于点 C，OCE90，ABC45，AOC90，AOC+OCE180，ADEC2）如图，过点 A 作 AFEC 交 EC 于 F，BAC75，ABC45，ACB60，DACB60，sinADB=3=2，AD=1223=83，OAOC43，第3737页/共7676页页（AFE

44、C，OCE90，AOC90，四边形 OAFC 是矩形，又OAOC，四边形 OAFC 是正方形，CFAF43，BAD90D30，EAF180903060，tanEAF=3，EF=3AF12，CECF+EF12+4328（2020天水）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 O 在 AB 上，以点 O为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D，分别交 AC、AB 于点 E、F（1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 BD23，AB6，求阴影部分的面积（结果保留）【分析】（1）连接 OD，求出 ODAC，求出 ODBC，根据切线的判定得出即可；（2）根据

45、勾股定理求出OD2，求出 OB4，得出B30，再分别求出ODB 和扇形 DOF 的面积即可【解析】（1）证明：连接 OD，如图：OAOD，OADODA，AD 平分CAB，OADCAD，CADODA，ACOD，ODBC90，第3838页/共7676页页即 BCOD，又OD 为O 的半径，直线 BC 是O 的切线；（2）解：设 OAODr，则 OB6r，在 RtODB 中，由勾股定理得：OD2+BD2OB2，r2+（23）2（6r）2，解得：r2，OB4，OD=2 2=42(23)2=2，OD=OB，B30，DOB180BODB60，16022阴影部分的面积 SSODBS扇形DOF=2 3 2=2

46、3 2360321229（2020内江）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C 作O 的切线，交OD 的延长线于点 E，连结 BE（1）求证：BE 是O 的切线；（2）设 OE 交O 于点 F，若 DF2，BC43，求线段 EF 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积第3939页/共7676页页【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由ODBC 得到 CDBD，则OE 为 BC 的垂直平分线，所以 EBEC，证明OCEOBE（SSS），得出OBEOCE90，根据切线的判定定理得BE 与O相切；（2）设O 的半径为 x，则 ODx2，OBx，由勾股定理

47、得出（x2）2+（23）2x2，解得 x4，求出 OE 的长，则可求出 EF 的长；（3）由扇形的面积公式可得出答案【解析】（1）证明：连接 OC，如图，CE 为切线，OCCE，OCE90，ODBC，CDBD，即 OD 垂直平分 BC，ECEB，在OCE 和OBE 中=，=OCEOBE（SSS），OBEOCE90，OBBE，BE 与O 相切；（2）解：设O 的半径为 x，则 ODOFDFx2，OBx，在 RtOBD 中，BD=12BC23，OD2+BD2OB2，第4040页/共7676页页（x2）2+（23）2x2，解得 x4，OD2，OB4，OBD30，BOD60，OE2OB8，EFOEOF

48、844（3）BOE60，OBE90，在 RtOBE 中，BE=3OB43，S阴影S四边形OBECS扇形OBC1120422443，2360163 330（2020武威）如图，O 是ABC 的外接圆，其切线 AE 与直径 BD 的延长线相交于点 E，且 AEAB（1）求ACB 的度数；（2）若 DE2，求O 的半径16【分析】（1）连接 OA，先由切线的性质得OAE 的度数，再等腰三角形的性质得OABABEE，再由三角形内角和定理求得OAB，进而得AOB，最后由圆周角定理得ACB 的度数；（2）设O 的半径为 r，再根据含 30解的直角三角形的性质列出r 的方程求解便可【解析】（1）连接 OA，

49、AE 是O 的切线，OAE90，ABAE，ABEAEB，OAOB，ABOOAB，OABABEE，第4141页/共7676页页OAB+ABE+E+OAE180，OABABEE30，AOB180OABABO120，ACB=AOB60；12（2）设O 的半径为 r，则 OAODr，OEr+2，OAE90，E30，2OAOE，即 2rr+2，r2，故O 的半径为 2上31（2020福建）如图，AB 与O 相切于点 B，AO 交O 于点 C，AO 的延长线交O 于点 D，E 是不与 B，D 重合的点，sinA=（1）求BED 的大小；（2）若O 的半径为 3，点 F 在 AB 的延长线上，且 BF33，

50、求证：DF 与O 相切12【分析】（1）连接OB，由切线求出ABO 的度数，再由三角函数求出A，由三角形的外角性质求得BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；（2）连接 OF，OB，证明BOFDOF，得ODFOBF90，便可得结论【解析】（1）连接 OB，如图 1，AB 与O 相切于点 B，ABO90，sinA=2，第4242页/共7676页页1A30，BODABO+A120，BED=2BOD60；1（2）连接 OF，OB，如图 2，AB 是切线，OBF90，BF33，OB3，=3，BOF60，BOD120，BOFDOF60，在BOF 和DOF 中，=，=BOFDOF（SAS），OBFOD