【振动力学】习题.pdf

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1、振动力学习题集（含答案）振动力学习题集（含答案）1.1 质量为m的质点由长度为l、质量为m1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图 E1.1 所示。求系统的固有频率。lxm1m图 E1.1解：系统的动能为：T 其中I为杆关于铰点的转动惯量：112l2Ix mx22l mlm1I 1dxx21x2dx m1l200l3l则有：1112m1l2x 23m m1l2x 2T ml2x266系统的势能为：U mgl1cosx m1g l1cosx2111mglx2m1glx22m m1glx2244 nx和T U可得：利用xn32m m1g23m m1l1.2 质量为m、半径为R的均质柱体在水平面

2、上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。kAaRCk图 E1.2解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T 1211232IBmR2mR2mR22224122U 2kR a kR a22 和T U可得：利用n4kR aR a4kn23mRR3m2k2和k3的轴约束，1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，如图 E1.3 所示。求系统的固有频率。Jk1k2k3图 E1.3解：系统的动能为：T 12J2k2和k3相当于串联，则有：23,k22 k33以上两式联立可得：2系统的势能为：k3k2,3k2

3、k3k2 k31111 kk k k2k32U k12k222k3321232222k2 k3 和T U可得：利用nnk2k3 k1k2 k3Jk2 k31.4 在图 E1.4 所示的系统中，已知kii1,2,3,m,a和b，横杆质量不计。求固有频率。x1k1bk3mk2F1bmga bax0bxx2amgF2amga b答案图 E1.4图 E1.4解：对m进行受力分析可得：mg k3x3，即x3mgk3如图可得：x1F1mgbFmga,x22k1a bk1k2a bk2ax2 x1a2k1b2k2x0 x1 x x1mga ba b2k1k2a2k1b2k211x x0 x3mg mg2k0

4、a bk1k2k3则等效弹簧刚度为：2a bk1k2k3ke22a k1k3b2k2k3a bk1k2则固有频率为：kk1k2k3a bne222mm k1k2a b k3k1a k2b21.7 质量m1在倾角为的光滑斜面上从高h处滑下无反弹碰撞质量m2，如图 E1.7 所示。确定系统由此产生的自由振动。x12hx0答案图 E1.7m1km2x2x图 E1.7解：对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）：m1gh 对整个系统由动量守恒可得：1m1v12，即v12gh2m1v1m1 m2v0，即v0令m2引起的静变形为x2，则有：m1m1 m22ghm2gsin kx2，即x2令m1+

5、m2引起的静变形为x12，同理有：m2gsinkx12得：m1m2gsinkx0 x12 x2则系统的自由振动可表示为：m1gsinkx x0cosnt 其中系统的固有频率为：0 xnsinntnkm1m2注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：x x0cosnt v0nsinnt1.9 质量为m、长为l的均质杆和弹簧k及阻尼器c构成振动系统，如图 E1.9 所示。以杆偏角为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？aOkcka图 E1.9答案图 E1.9解：利用动量

6、矩定理得：I kaa cll，I 13ml22ml23cl23ka2 0，3kanml23cl23c12ml2 2n，2m1 c amknl3mgl2 ka，mgl0a02ka2cl1.12 面积为S、质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12 所示。作用于薄板的阻尼力为Fd2Sv，2S为薄板总面积，v为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数。图 E1.12解：平面在液体中上下振动时：2Sx kx 0m xnk2，mT0dn122Td2S22SS2 2n，mmnkk 2S21k222TdT0k 2S22mTd2T02kST0Td

7、2.1 图 E2.2 所示系统中，已知m，c，k1，k2，F0和。求系统动力学方程和稳态响应。k2mx1k1c1mk2c2c2k2xx2k1c1x1m xmc2x x 1k1x x1c1x图 E2.1答案图 E2.1(a)答案图 E2.1(b)解：等价于分别为x1和x2的响应之和。先考虑x1，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：k1 k2x c1 c2x k1x c1x m x cx kx k1A1sin1 c1A11cos1tm xc c1 c2，k k1 k2，n（1）的解可参照释义（2.56），为：（1）k1 k2mYt其中：k1A1ksin1t 11 s2s222c1

8、A11kcos1t 11 s2s222（2）s 112s，1 tg2n1 s212s2 c1 1k k122k1 k22c1c2212k1 k2221 s2s2212m c1 c211k kk k1212故（2）为：k1 k2 mc1 c212k1 k22221xtk1A1sin1t 1c1A11cos1t 1kk122 k m c c12112122 A1k c k2m22121c c212212121sin1t 121tg12s11c1k1 k21c1c2tgtg12m1 s2k1 k212m1k1 k22 tg1c11k1考虑到x2t的影响，则叠加后的xt为：xti12c1 c2itg1

9、cii1sint tgi22222k k mk12iik1 k2 mic1 c2iAiki2 ci2i22.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知，30，m=1 kg，k=49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kmx0mg答案图 T 2-1x图 T 2-1解：mgsin kx0，x0mgsink19.84912 0.1cmk49102n 70rad/sm1x x0cosnt 0.1cos70tcm2.2 如图T 2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。求W2下降的最大距离

10、和两物体碰撞后的运动规律。解：动量守恒：平衡位置：故：故：kx1x12W2x0h平衡位置W1x图 T 2-2答案图 T 2-2W2h 1W22 gv22，v22ghW2W W2W2gv21gv12，v12W2gh1W2WW11 kx1，x1kWW W21W2 kx12，x112kx0 x12 xW21knkWkg1W2gW1W2x x0cosnt x0cosnt 0 xnv12sinntnsinnt2.4 在图 E2.4 所示系统中，已知m，k1，k2，F0和，初始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。k1k2x1mx2k1x1k2x2 x1k2x2 x1mF0sint图 E2.4F0s

11、int答案图 E2.42m x解：取坐标轴x1和x2，对连接点A列平衡方程：k1x1 k2x2 x1 F0sint 0即：k1 k2x1 k2x2 F0sint对m列运动微分方程：（1）2 k2x2 x1m x即：2 k2x2 k2x1m x由（1），（2）消去x1得：（2）2m x故：k1k2F kx202sintk1 k2k1 k2（3）2nk1k2mk1 k2由（3）得：x2tF0k2sint sintn2mk1 k2n2n v0，求2.5 在图 E2.3 所示系统中，已知m，c，k，F0和，且t=0 时，x x0，x系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。km

12、c图 E2.3F0cost解：xt e0tCcosdt Dsindt Acost A F0k11 s2s222，tg12s21 sx0 x0 C Acos C x0 Acost 0e0tCcosdt Dsindtxe0tCdsindt Ddcosdt Asint v00C0 v0 0C Dd Asin D x求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。dAsind2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图 E2.7 所示。当齿轮转动角速度为时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为me2sint。已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧

13、总刚度系数k=967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅Xm1.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X0 0.32cm。求支承阻尼器的阻尼比及在 300r min运行时机器的垂直振幅。me2sint1me221me22图 E2.7解：mextMs21 s2s222sint，tg12s21ss=1 时共振，振幅为：X1远离共振点时，振幅为：me11.07cmM2（1）X2由（2）M me 0.32cmM（2）meX2由（1）me1me1X20.15M2X1me X22X12X1 300r min，0故：k，s 01MmeX Ms21 s2s222 3.8103m2.7 求图 T 2-7 中系统的固

14、有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量忽略不计。k1k1k3k2k2k3k4k4mm图 T 2-7答案图 T 2-7解：k1和k2为串联，等效刚度为：k12k1k2k。（因为总变形为求和）1 k2k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则：k123 k12 k3k1k2 kk1k2 k1k3 k2k3k31 k2k1 k2k123和k4为串联（因为总变形为求和），故：kk123k4k1k2k4 k1k3k4 k2k3k4ek k1234k1k2 k1k3 k2k3 k1k4 k2k4故：kenm无质量2.9 如图 T 2-9 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质

15、量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。x1l1k1mmgl1l2F2l1mgl1l2xl2k2F1l2mgl1l2xx2图 T 2-9答案图 T 2-9解：（1）保持水平位置：n（2）微幅转动：k1 k2mx x1 x F1x2 x1l1k1l1l2l2mgll1l21mgl1l2k1l1l2l1l2k2l1l2k1l mgll k l k211 122mgl1l2k1l1l2l1l2k1k2l2k2l1l2l12k1l1l2k2mgl1l22k1k22l1

16、2k1l2k2mgl1l22k1k2故：ke2l1l2k1k22l12k1l2k2nkem2.10 求图 T 2-10 所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。F1k1almmgk2x1xA答案图 T 2-10图 T 2-10解：m的位置：x x2 xAmg xAk2mgl F1a，F1mglmgl，x1aka1x1aamgl2，xAx12xAlla k1mgmgl2 1l2x x2 xA2 2mgk2a k1k2a k122a k1l k2mga2k1k2kea2k1k2，ke2n2ma k1l k22.11 图 T 2-11 所示是一个倒置的摆。摆球质量为m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚

17、度为k。2（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质量m为 0.9 kg 时，测得频率fn为 1.5 Hz，m为 1.8 kg 时，测得频率为 0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？mk/2k/2la零平衡位置lcos零平衡位置图 T 2-1答案图 T 2-11(2)答案图 T 2-11(1)解：（1）T 12122Iml22112U 2kamgl1cos22111ka22mgl2ka2mgl2222 利用TmaxUmax，maxnmaxka2mglka2gn22mlmllg ka21lmgl-（2）若取下面为平衡位置，求解如下：T 12122Iml22111

18、2U 2ka mglcoska22 mgl12sin22222111ka22 mgl mgl2ka2mgl2 mgl222d2ka2mgl0T U 0，2ml2dt ka2mgl 0ml2ka2mgln2ml2.17 图 T 2-17 所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，试问：（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？k1k2mk3k4图 T 2-17解：k23 k2k3 2kk123k1234（1）mg k1234x0，x0k1k232kk1k233k123k41kk123k422mgk4mgk（2）xtx0cosn

19、t，xmax 2x02.19 如图 T 2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。IR2R1 xm1rm2k2k1图 T 2-19解：系统动能为：2 111 x11222 x I m2r T m1xm2x22R222r221I32m m2x122R2212mex2系统动能为：11 R1V k2x2k122R21R122k2k12x2R2根据：x21kex22maxnxmaxTmaxVmax，xR12k2 k12R22nI3m12m2R222.20 如图 T 2-20 所示，刚性曲臂绕支点的转

20、动惯量为I0，求系统的固有频率。m2k2k3balm1k1图 T 2-20解：系统动能为：T 121a21ml2I0m1222212I0 m1a2 m2l22 系统动能为：V 根据：111222k1ak2lk3b2221k1a2 k2l2 k3b222 TmaxVmax，maxnmaxk1a2 k2l2 k3b222I0 m1a m2l2n2.24 一长度为l、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图 T 2-24 所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。kcOal图 T 2-24kalc答案图 T 2-24解：利用动量矩方程，有：kaa cll，

21、J 1ml2J33cl23ka2 0ml23ka2n2ml3cl2 2n，12ml223ka22amkc mnm233mll32.25 图 T 2-25 所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。cmakabacbl图 T 2-25kblml答案图 T 2-25解：aa kbb 0mll cca2 kb2 0ml2kb2bkn2mllmca2ca2ca2m 2n，22ml2mln2mlbkbkc2a4m12224dn114kml b c a2 222lm4m l bk2ml2由1 c2blmk2a2.26 图 T 2-26所示的系统中，m=1 kg，k=14

22、4 N/m，c=48 N s/m，l1=l=0.49 m，l2=0.5l，l3=0.25l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n及阻尼。ml1mml1l2Ol3kcl3k l2c图 T 2-26答案图 T 2-25解：受力如答案图 T 2-26。对O点取力矩平衡，有：l l kl l 0ml1l1 c3322 cl2 kl2 0ml1232m11ck 01642n1k 364 mn 6 rad/s1c16 2nmc1 0.2516m 2n4.7 两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图 E4.7 所示。忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。求系统的固有频率和模态，并计算主质量、

23、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。mllmlF1FFF2y2Fy13图 E4.7答案图 E4.7(1)解：sin1 1y1y y1y，sin2，sin32232lll根据m1和m2的自由体动力平衡关系，有：y1y y1F F2y2 2y1llly y1yF2 Fsin2 Fsin3m2 y F2y1 2y2 F2lll1 Fsin1 Fsin2m1 y F故：1F 21y1ym10 0ml12y 0 0 y222当m1=m2时，令：y1Y1sint，y2 Y2sint，代入矩阵方程，有：2mlF211 Y1 0 02Y221122113 021,21,312FFF3F2，212mlmlm

24、lml根据2Y1Y20得：Y1Y111，1 1YY21222221-1.01.01.01.0第一振型第二振型答案图 E4.7(2)4.11 多自由度振动系统质量矩阵MM和刚度矩阵K K均为正定。对于模态x xi和x xj及自然数n证明：x xiTMKMK1MxMxj 0，x xiTKMKM1KxKxj 0解：1KxKxj2jMxMxj，等号两边左乘KMKMT12x x，等号两边左乘KMKM1KxKxj2KMKM MxMx KxKxijjjjTx xiTKMKM1K K x xj2jx xiKxKxj 0，当i j时重复两次：1，等号两边再左乘KMKMKMKM1KxKxj2KxKxjjT1KMK

25、M1KMKM1KxKxj2jKMKM K K x xj，等号两边左乘x xiT1x xiTKMKM1KxKxj2jx xiKMKM K K x xj 0，当i j时2重复n次得到：x xiTKMKM1KxKxj 01，等号两边左乘MKMKKxKxj2MxMxjjn1MKMK1KxKxj2jMKMK MxMxj故：T1x x，等号两边左乘MxMxj2MKMK MxMxijjT1x xiTMxMxj2jx xiMKMK MM x xj 0，当i j时即x xiTMxMxj 0，当i j时重复运算：1MKMK1MxMxj2MxMxjjMKMKT1x xiTMKMK1MxMxj2x xMKMKMxMx

26、j 0，当i j时ji22重复n次。2.10 图 T 4-11 所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。k1m1bam2k2图 T 4-11解：先求刚度矩阵。令1，x 0，得：k1bm1k11k2ak21m2k11 k1bbk2aa k1b2 k2a2答案图 T 4-11(1)xk21 k2am1令 0，x 1，得：k12k21k12 k2ak22 k2答答案图 T 4-11(2)m2k22k1b2k2a2则刚度矩阵为：K K k2a再求质量矩阵。k2ak21，0，得：令xm11m11m1a2，m21 03 0，1，得：令xm11m2答案图 T 4-11(3)m21m12 0，m22 m

27、212m a则质量矩阵为：MM 310故频率方程为：K K 2MM 00m25.1 质量m、长l、抗弯刚度EI的均匀悬臂梁基频为 3.515(EI/ml3)1/2，在梁自由端放置集中质量m1。用邓克利法计算横向振动的基频。解：3.5151EI，23ml3EIm1l311l3mm1222112EI12.3553115.2 不计质量的梁上有三个集中质量，如图 E5.2 所示。用邓克利法计算横向振动的基频。6.088lEI3m12.355m1lmm3ml/4l/4l/4l/4图 E5.2解：当系统中三个集中质量分别单独存在时：16l/49l/49l/4f11，f22，f3312EI12EI12EI3

28、3311113ml32222 mf11mf223mf331123192EI115.3 在图 E5.3 所示系统中，已知m和k。用瑞利法计算系统的基频。kk3.843lEIlm2k2mm图 E5.3解：近似选取假设模态为：1 1.52.5T系统的质量阵和刚度阵分别为：3kMM diagm2mm，K 2k0由瑞利商公式：2k3kk0 kk TK K 2.5kR T12 MM 11.75m1 0.461km5.9 在图 E5.9 所示系统中，已知k和J。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。JJ/21k(1)图 E5.92k(2)解：两端边界条件为：01RR固定端：X X0 ，自由端：X X2 。T

29、01T20RR111k0kX X1R S S1X X0R 22J12JJ11k k 212J112kkkRRkX X2 S S2X X12JJJJJJ2212121212k2kk22kk 由自由端边界条件得频率方程：2JJ 2J 121 02k2kk1 0.765kk，21.848JJ代入各单元状态变量的第一元素，即：11k2J222k k得到模态：(1)1 1.414T，(2)11.414T5.10在图 E5.10 所示系统中，已知GIpi(i=1,2)，li(i=1,2)和Ji(i=1,2)。用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。J1GIp1GIp2J2l1l2图 E5.10解：11LR两

30、自由端的边界条件为：X X1 ，X X2 。T10T20LR0111X X S S X X202JJ111 R1P1L1LX X1R.5 X X1.51FR S S1X X102J11 11k1k12J121J1RX X2 S S2X X1R.521J12J1211J1k21kk12 k441JJ1J2J1J22J 2J2J21222J121kk2k12其中：k1GIp1l1，k2GIp2l2。由自由端边界条件得频率方程：4J1J2k14J1J2k22J12J2 01 0，2J1J2Ip1l2 Ip2l1GIp1Ip2J1 J2代入各单元状态变量的第一元素，即：112J12J112k1k2得到

31、模态：(1)1 1，(2)TJ11J2T5.11在图 E5.11 所示系统中悬臂梁质量不计，m、l和EI已知。用传递矩阵法计算系统的固有频率。(1)m(0)EIl图 E5.11解：引入无量纲量：FSl2ml32yMl，FS，y，M EIEIEIl定义无量纲的状态变量：X X y边界条件：R左端固结：X X0 0MFST0MFS，右端自由：X X1RyT00T根据传递矩阵法，有：X X1R S S1PS S1FX X0R其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：10PS S10得：00100100010F，S S010010111210100161211M FS 01M 11F 0S26利用此齐次线性代

32、数方程的非零解条件导出本征方程：11211 1 0136 313EIlml15.12在图 E5.12 所示系统中梁质量不计，m、l和EI已知，支承弹簧刚度系数k=6EI/l3。用传递矩阵法计算系统的固有频率。(1)m(0)(0.5)EIkll图 E5.12解：引入无量纲量：y yMll，M EI，FFSl2ml32SEI，EI定义无量纲的状态变量：X X yMFTS边界条件：左端铰支：X XR000FST，右端自由：X XR1y根据传递矩阵法，有：11111266FSX XL0.5 S SFR1X X001112X XR01FS0011F2S0001FST在支承弹簧处：X XR0.1156FS

33、2FSFS FS00TX X1R S S1X X0R.5110100121112X XR0.5116FSFS216121 2FS FS 0 注意到上式中为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：FSl3y l 6EI因此有：2FS ky l6EI6EI F F SS32llFSl2 FS 6EIFS3FS2412l3EIml6.3 图 E6.3 所示阶梯杆系统中已知m，S，E和k。求纵向振动的频率方程。mESk图 E6.3解：模态函数的一般形式为：xC1sin题设边界条件为：xaC2cosxaul,t2ul,t mkul,tu0,t 0，ES2xt边界条件可化作：0 0，ESl m2lkl导出C

34、2=0 及频率方程：tanlaES，其中a a m2kE6.4 长为l、密度为 、抗扭刚度为GIp的的等直圆轴一端有转动惯量为J的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k的弹簧，如图 E6.4 所示。求系统扭振的频率方程。G,Ipkl图 E6.4解：模态函数的一般形式为：xC1sin题设边界条件为：xaC2cosxa0,t20,tl,tGIp JGI kl,t，pxt2x边界条件可化作：GIp0 J20，GIpl kl以上两式联立消去C1和C2得频率方程：tanla2G2IpGIpa k J22，其中a a kJG6.5 长为l、单位长度质量为 l的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图 E6.5 所示。物块质量为m，弹簧刚度系数为k，静平衡位置在y=0 处。弦线微幅振动，弦内张力F保持不变，求弦横向振动的频率方程。yl,lmxk图 E6.5解：模态函数的一般形式为：xC1sin题设边界条件为：xaC2cosxayl,t2yl,t mkyl,ty0,t 0，Fxt2边界条件可化作：0 0，Fl m2lkl导出C2=0 及频率方程：tanlaa mkF2，其中a Fl