抽象代数复习题及答案.pdf

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1、.-抽象代数试题及答案抽象代数试题及答案本科本科一、单项选择题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号。每小题并将正确答案的序号填在题干的括号。每小题 3 3 分分)1.设 Q Q 是有理数集，规定f(x)=x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（B）A.x2 2x 1B.x2 3C.x2 4x 5D.x2 x 32.设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的（A）A.单射 B.满射 C.双射 D.可逆映射3.设 S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3）

2、，（1 3 2），则 S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是(A.1B.2C.3D.44.在整数环 Z Z 中，可逆元的个数是(B)。A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.无限个5.剩余类环 Z Z10的子环有(B)。A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个6.设 G 是有限群，aG,且 a 的阶|a|=12,则 G 中元素a8的阶为(B)A2B.3C.6D.97设 G 是有限群，对任意 a,bG，以下结论正确的是(A)A.(ab)1 b1a1B.b 的阶不一定整除 G 的阶C.G 的单位元不唯一D.G 中消去律不成立8.设 G 是循环群，则以下结论不正确的是(A)A.G 的商群

3、不是循环群B.G 的任何子群都是正规子群C.G 是交换群D.G 的任何子群都是循环群9.设集合 A=a,b,c,以下 AA 的子集为等价关系的是(C)A.R1=(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)B.R2=(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C.R3=(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D.R4=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10.设f是A到B的满射，g是B到C的满射，则gf是A到C的（B）A.单射 B.满射 C.双射 D.可逆映射11.设 S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2

4、3），（1 3 2），则S3中与元素（1 2）能交换的元的个数是(A.1B.2C.3D.412.在剩余类环Z8中，其可逆元的个数是(D)。A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个13.设（R，+，）是环，则下面结论不正确的有(C)。-可修编-C)。B)。.-A.R的零元惟一 B.若x a 0，则x aC.对a R，a的负元不惟一D.若a b a c，则b c14.设 G 是群，aG,且 a 的阶|a|=12,则 G 中元素a的阶为(B)32A2B.3C.6D.915设 G 是有限群，对任意 a,bG，以下结论正确的是(A)A.|a|G|B.|b|=C.G 的单位元不唯一D.方程ax b在

5、 G 中无解16.设 G 是交换群，则以下结论正确的是(B)A.G 的商群不是交换群B.G 的任何子群都是正规子群C.G 是循环群D.G 的任何子群都是循环群17.设 A=1，-1,i，-i，B=1,-1,:AB,aa2,aA，则是从 A 到 B 的(A)。:a10a，aA，则是从 A 到 B 的(C)。A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射18.设 A=R R（实数域），B=R（正实数集），A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射19.设 A=所有实数 x，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到 A 的一个子集的同态满射的

6、是(C)。A.x10 x B.x2xC.x|x|D.x-x20.数域 P 上的 n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法(C)A.构成一个交换群B.构成一个循环群 C.构成一个群D.构成一个交换环21.在高斯整数环 Zi中，可逆元的个数为（D）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个22.剩余类加群 Z8的子群有(B)。A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个23.下列含有零因子的环是（B）A.高斯整数环 ZiB.数域 P 上的 n 阶全矩阵环 C.偶数环 2ZD.剩余类环Z524 设(R,+,)是一个环，则下列结论正确的是（D）A.R 中的每个元素都可逆B.R 的子环一定是理想C

7、.R 一定含有单位元D.R 的理想一定是子环25设群 G 是 6 阶循环群，则群 G 的子群个数为（A）A4 个B.5 个C.6 个D.7 个26.设 A=a,b,c，B=1,2,3,则从集合 A 到集合 B 的满射的个数为(D)。A.1B.2C.3D.627.设集合A=a,b,c,则以下集合是集合A的分类的是(C)A.P1=a,b,a,cB.P2=a,b,c,b,aC.P3=a,b,cD.P4=a,b,b,c,c28.设R=a0 a,b Z，那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(A)。0b A.有单位元的交换环B.无单位元的交换环C.无单位元的非交换环D.有单位元的非交换环-可修

8、编-.-29.设 S3=（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2），则 S3的子群的个数是(D)。A.1B.2C.3D.630.在高斯整数环 Zi中，单位元是(B)。A.0B.1C.iD.i31.设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是(B)。A.任意两个子群的乘积还是子群B.任意两个子群的交还是子群C.任意两个子群的并还是子群D.任意子群一定是正规子群32.7 阶循环群的生成元个数是(C)。A.1B.2C.6D.733.设 A=a,b,c，B=1,2,3,则从集合 A 到集合 B 的映射有(D)。A.1B.6C.18D.2734.设G,为群，

9、其中G是实数集，而乘法:ab a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（D）A.0 和 x；B.1 和 0；C.k和x 2k；D.k和(x 2k)2135.设a,b,c和x都是群G中的元素，且x a bxc,acx xac，那么x（A）A.bc a；B.c a；C.a bc；D.b ca。36.下列正确的命题是（A）A.欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。37设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H|6，那么G的阶G（B）A.6；B.24；C.10；D.12。38.设

10、G 是有限群，则以下结论正确的是（A）A.G 的子群的阶整除 G 的阶B.G 的任何子群都是正规子群C.G 是交换群D.G 的任何子群都是循环群39设f:G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（D）A.f的同态核是G1的正规子群；B.G2的正规子群的原象是G1的正规子群；C.G1的子群的象是G2的子群；D.G1的正规子群的象是G2的正规子群。40.关于半群，下列说确的是：（A）A.半群可以有无穷多个右单位元B.半群一定有一个右单位元C.半群如果有右单位元则一定有左单位元D.半群一定至少有一个左单位元1111111二、填空题二、填空题(每空每空 3 3 分分)1.设 A 是 m 元集，

11、B 是 n 元集，那么 A 到 B 的映射共有（n）个.2.n 次对称群Sn的阶是（n！）.3.一个有限非交换群至少含有（6）个元素.-可修编-m.-4.设 G 是 p 阶群，（p 是素数），则 G 的生成元有（p 1个.)5.除环的理想共有（2）个.6.剩余类环Z6的子环 S=0,2,4，则 S 的单位元是（4）.7.在i+3,e-3 中，（i 3）是有理数域 Q 上的代数元.8.2在有理数域 Q 上的极小多项式是（x22）.9.设集合A=a,b，B=1,2,3，则 AB=（(a,1）（,b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3).）10.设 R 是交换环，则主理想(a)=（R

12、a ra ma|rR,mZ.）11设(5431),则12(1345).12.设 F 是 9 阶有限域，则 F 的特征是（3）.13设1(351),2(2154)是两个循环置换，则21（1342）14.设F是 125 阶有限整环，则F的特征是（5）.15.设集合A含有 3 个元素，则A A的元素共有（9）个.16.设群 G 的阶是 2n,子群 H 是 G 的正规子群，其阶是 n,则 G 关于 H 的商群所含元素的个数是（2）.1117.设 a、b 是群 G 的两个元，则(ab)=（b a）.118.环Z Z10的可逆元是（1,3,7,9）.19.欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环，

13、但欧式环一定是主理想环）.20如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则fn1fa(a)。21.设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为（m整除n）。22设(31425)是一个 5-循环置换，那么1(52413).。23有限群G的阶是素数p，则G是（循环）群。24若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为（有限和x ayiii|xi,yiR）。25群(Z12,)的子群有（6）个。26由凯莱定理，任一个抽象群G都同一个（群G的变换群）同构。27设A、B分别是m、n个元组成的集合，则|A B|=（mn）。28设A=a,b,c，则可定义A的（5）个不同的等

14、价关系。A的分类M=a,c,b确定的等价关系是R(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)）。29.设 G 是 6 阶循环群，则 G 的生成元有（2）个。30.非零复数乘群 C C*中由-i 生成的子群是（i,i,1,1）。31.剩余类环 Z7的零因子个数等于（0）。32.素数阶有限群 G 的子群个数等于（2）。33.剩余类环 Z6的子环 S=0,3,则 S 的单位元是（3）。34群:GG，e是G的单位元，则(e)是（G的单位元）。35.复数域的特征是（0）.36.在剩余类环(Z12,)中，67=（6）.37.在 3-次对称群S3中，元素(123)的阶为：（3）.38.设Z和Z

15、m分 别 表 示 整 数 环 和 模m剩 余 类 环，则 环 同 态f:Z Zm,n n的 同 态 核 为（mZ mr|rZ）-可修编-.-39.32在有理数域上的极小多项式为（x32）40.无限循环群一定和（整数加群(Z,)）同构.三、判断题三、判断题(判断下列说法是否正确，正确的请打“”判断下列说法是否正确，正确的请打“”，错误的请打“，错误的请打“”，每小题，每小题 3 3 分分)1.设 G 是群，则群 G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。（）2.群的有限子集（非空）构成子群，当且仅当该非空子集的任何两个元素在G 的运算之下，仍在该非空子集之中。（）3.设 G 是非零实数在数的乘法运

16、算之下构成的群。f:GG 是一个映射，且f(x)=7x,xG.则 f 是 G 到 G 的同态映射。（）4.一个环如果有单位元，则它的子环也一定有单位元。（）5.设 G 是群，则群 G 的任意两个正规子群的交仍是群G 的正规子群。（）6.设 G 是 n 阶有限循环群，则 G 同构于模 n 剩余类加群Zn。（）7.设:G G是群同态，则将 G 的单位元不一定映射为G的单位元。（）8.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则A B也是环R的理想。（）9.域的特征可以为任何自然数.（）10.群的任何两个正规子群的乘积仍然是正规子群.（）11.4 次交错群A4在 4 次对称群S4中的指数为 4.（）12.

17、复数域是实数域的单代数扩。（）13.除环一定是域.（）14.3-次对称群S3的中心是(1).（）15.整数环的商域是有理数域.（）16.无限循环群和整数加群同构.（）217.多项式x3在有理数域上可约。（）18.在特征为p的域F中始终有(ab)ab,a,bF.（）ppp19.高斯整数环Zi是唯一分解环.（）20有限集合到有限集合的单射不一定是满射。（）21.有限群的任何子群的阶一定整除这个群的阶。（）-可修编-.-22.设:G1 G2是群G1到群G2的同态，则同态核Ker()是G1的正规子群.（）23.素数阶群不一定是循环群。（）24.设(Z,)为整数环，p为素数，则(pZ,)是(Z,)的极想

18、。（）四、证明题1.设Q为有理数域，设T a b 2|a,bQ，则T按数的乘法和加法构成一个域.（6 分）证证 明明：T非 空，且 T 是 实 数 域 的 一 个 子 集。T 关 于 数 的 加 法、乘 法 封 闭 是 显 然 的，而 且0 a b 2 T,(a b 2)1T,这样我们就得T关于加法、乘法构成实数域的一个子域.，因此T按数的乘法和加法构成一个域.。2.设E是F的扩域，且（E：F）=1，则E=F.（6 分）证明证明：用反证法：若E F，则存在xE,xF，这样(E:F)2，矛盾！3.证明：交换群的商群是交换群.（8 分）证明证明：设 G 为交换群，且H G，则G任意aH,bH GH

19、G 关于正规子群 H 的商群，且对H,有,(aH)(bH)(ab)H (ba)H (bH)(aH)故G H是交换群.4.设A 1,1,i,i,B 1,1，“”是数的乘法，证明：（A，）（B，）。（这里“”表示（A，）与（B，）是满同态）（8 分）证明：证明：构造映射：f:A B,11,11,i 1,i 1，则容易验证f是(A,)到（B,)的同态映射.a5.证明：设 G=0证明：证明：对任意的成（R22022|aR，则G关于矩阵乘法构成（R,）的子半群.（6 分）0a0 b0a0b0ab0,G,G，故由子半群的判定知，G关于矩阵乘法构 00 00000000,）的子半群，得证.16.设 a 是群

20、 G 的任一元素，若a的阶|a|=2，求证：a a.（6 分）1证明：证明：由题设我们知道：a e,对这个式子的两边同时乘以a得2a1a2 a1e,(a1a)a a1利用群 G 中逆元和单位元的性质，即得，a a.1-可修编-.-7.设=13i31,2，证明：有如下的群同构：，即1=1，G=（Z3，）（G，），这里（0）=1，22（1）=，（2）=。（8 分）证明：证明：容易验证下述映射：Z3 G,0 1,1,2 2是双射，且保持运算，即：(ij)(i)(j),i,jZ3.由同构映射的定义，即得（Z3，）（G，）.8.设 G 是 R中所有可逆矩阵组成的集合，（i）.证明 G 关于矩阵的乘法成群

21、。（6 分）(ii).221 0的阶是多少？（4 分）0-111的阶是多少？（4 分）01(iii).(iv).证明 G 不是交换群.（6 分）解：解：（i）注意到由线性代数知识有：方阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而且两个方阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，由此A,BG,A(ii).注意到此时群G的单位元是：1G,ABG,故 G 关于矩阵的乘法成群.1 100，经过简单计算，我们可知-1的阶是 3.010(iii).11的阶是.10 011111 0101 0110，故 G 是非交换群。10(iv).通过简单计算，得解答题：解答题：1.设Q Q是有理数集，“+”是数的加法，找（Q，+）的

22、所有不同的自同构映射。（8 分）解解：对任意xQ，定义fx:QQ,aax,对aQ,则集合fx|xQ,但x 0为(Q,)的所有自同构映射.设G=A1,A2,A8，其中-可修编-.-A1=1 0 1 0 1 0,A ,A 2 3 ,0 1 0 -1 0 1 A4=10 i0i0,A,A 0-150i60-iA7=i0 i00-i,A8 0i列出 G 的乘法（矩阵乘法）运算表。解：解：运算表如下：A1A2A3A4A5A6A7A8A1A2A3A1A2A3A2A3A4A5A6A7A8A1A4A3A6A5A8A7A4A2A8A7A6A6A5A3A2A1A7A8A5A6A6A8A7A2A1A3A4A5A7A

23、8A1A2A4A3A8A6A5A3A4A2A1A7A5A6A4A3A1A2A4A5A6A7A8A4A5A6A7A8（）写出次对称群S3的所有元素；（分）（）求出S3中所有元素的阶；（分）（）求出S3中所有元素的逆元.（分）解：解：()S3的全部元素为：1 2 3 4 0 123，23 1，32 1，13 221 35 31 2（）各元素的阶为：|1|2|4|2,|3|5|3,|0|1.（）0，1，2，3，4，5的逆元分别为：0，1，2，5，4，3-可修编-12312 312 312 312 312 3.-找出Z12中的所有零因子（分）解：解：2,3,4,6,8,9,10为所有的零因子在有理数域

24、的扩域Q（32）中，求 1+32的逆。（分）解：解：由于 32在 Q 上的最小多项式是 p(x)=x3-2，因此由定理 4.3.3，得到Q(32)a0 a132 a224 a0,a1,a2Q由于 1+32在 Q(32)的逆元仍然是 Q(32)中的元素，故可设 1+32在 Q(32)的逆元为a0 a132 a234,则（1+32）（a0 a132 a234）=13将 p(32)=(32)-2=0 代于上式，并经过简单计算，得到(1 32)1=13114 32 333设H 0,3,6,9Z12，写出Z12关于H陪集分解式。（分）解：解：Z12关于 H 的陪集分解式为Z12=036914710258

25、11 列出整数模 6 剩余类环Z6中元素的加法和乘法运算表.（分）解：解：Z6=0 1 2 3 4 5Z6中元素的加法和乘法运算表如下:+012345001234550543211123450223450133450124450123550123401234500000001012345202402430303034042042-可修编-.-写出Z4中每个元所含整数。（分）解解0 4q|qZ,14q1|qZ,2 4q2|qZ,34q3|qZ在S3中，计算(12)(23)与(2 3)(1 2)。（分）解：解：(1 2)(23)=(123)，(23)(12)=(132)。求出S3的所有正规子群。（分）解解：S3的所有正规子群为：H1(1),H2 A3(1),(123),(132),H3 S31,2，写出A的所有双变换的集合G，关于变换的乘法列出G的运算表。设A=（分）解解：所有双变换为：f:11,2 2,g:1 2,2 1，则G f,g，其运算表如下：fg求模 8 的剩余类环Z8的所有子环。（分）ffgggf解：解：Z8的所有子环为：Z8；0；0,4；0，2，4，6-可修编-