2019高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11.61.6 微积分基本定理微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1微积分基本定理内容如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)b a符号f(x)dxF(x) F(b)F(a).b a思考：满足F(x)f(x)的函数F(x)唯一吗？提示不唯一，如F1(x)x1，F2(x)x5，等其导数为 1，故F(x)不唯一2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下则(1)当曲边梯

2、形在x轴上方时，如图 161，则f(x)dxS上b a(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图 161，则f(x)dxS下b a(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图 161，则f(x)dxS上Sb a下，若S上S下，则f(x)dx0.b a图 图 图图 161基础自测1思考辨析2(1)若f(x)dxg(x)dx，则f(x)g(x)( )b ab a(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为 0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数( )答案 (1) (2) (3)2若a (x2)dx，则被积函数的原函数为( )

3、1 0Af(x)x2 Bf(x)x2CCf(x)x22xCDf(x)x22x1 2答案 C C3cos xdx_.解析 答案 14如图 162，定积分f(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f(x)b ab adx_. 【导学号：31062090】图 162解析 根据定积分的几何意义知f(x)dxS1S2S3.b a答案 S1S2S3合 作 探 究攻 重 难求简单函数的定积分求下列定积分3(1) (2xex)dx；1 0(2)dx；2 1(1 x3cos x)(3) 2dx；(sin x 2cos x 2)(4) (x3)(x4)dx.3 0解 (1) (2xex)dx(x2ex) (

4、1e1)(0e0)e.1 0(2)dx2 1(1 x3cos x)(ln x3sin x)Error!(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)2(sin x 2cos x 2)12sin cos 1sin x，x 2x 2(0cos 0)1.( 2cos 2) 2(4)(x3)(x4)x27x12， (x3)(x4)dx3 0 (x27x12)dx3 04(1 3x37 2x212x)2736.63 263 2规律方法 1当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数Fx.2由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函

5、数fx的一个原函数Fx；第二步：计算函数的增量FbFa.跟踪训练1计算下列定积分(1)dx；2 1(xx21 x)(2) dx；(cos2 x 2sin2 x 2)(3)(1)dx. 【导学号：31062091】9 4xx解 (1)dx2 1(xx21 x)(x2x3 3ln x)(48 3ln 2) (11 3)ln 2 .2 3(2 3 27812) (2 3 8162)8(1881 2)16 35271 6求分段函数的定积分计算下列定积分(1)f(x)Error!求f(x)dx；4 0(2) |x21|dx.2 0思路探究 (1)按f(x)的分段标准，分成，(2,4三段求定积分，再0，

6、2) 2，2求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分解 (1) (x1)dx(cos x) 1(40)7.(2 2) 2(2) |x21|dx (1x2)dx (x21)dx2 01 02 1Error!Error!2.(x1 3x3)(1 3x3x)规律方法 1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解2分段函数在区间a，b上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行3带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解跟踪训练2(1)f(x)Error!求f(x)dx.2 0(2)求|x2x|dx的值. 【

7、导学号：31062092】6解 (1)f(x)dx (12x)dxx2dx2 01 02 1(xx2)2 .7 313 3(2)|x2x|Error!|x2x|dx .14 31 65 617 3利用定积分求参数探究问题1求f(a) (2ax2a2x)dx的表达式1 0提示：f(a) (2ax2a2x)dxaa2.1 0(2 3ax31 2a2x2)2 31 22试求f(a)取得最大时a的值提示：f(a)aa22 31 21 2(a24 3a4 9)2 92 ，1 2(a2 3)2 9当a 时，f(a)的最大值为 .2 32 9(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.t 07

8、(2)已知 2 (kx1)dx4，则实数k的取值范围为_2 1解 (1)f(x)dx (2x1)dxt2t6，t 0t 0解得t3 或2，t0，t3.(2) (kx1)dxk1.2 1(1 2kx2x)3 2由 2k14，得 k2.3 22 3母题探究：1.(变条件)若将例 3(1)中的条件改为f(x)dxf，求t.t 0(t 2)解 由f(x)dx (2x1)dxt 0t 0t2t，又ft1，(t 2)t2tt1，得t1.2(变条件)若将例 3(1)中的条件改为f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值t 0解 F(t)f(x)dxt2tt 02 (t0)，(t1 2)1 4当t 时，F(t)

9、min .1 21 4规律方法 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限当 堂 达 标固 双 基1下列值等于 1 的是( ) 【导学号：31062093】8A.xdxB. (x1)dx1 01 0C. 1dx D.dx1 01 01 2C C 选项 A，因为x，所以xdx ；(x2 2)1 0x2 21 2选项 B，因为x1，所以 (x1)dx ；(x2 2x)1 0(x2 2x)3 2选项 C，因为x1，所以 1dxx1；1 0选项 D，因为

10、，所以dxx .(1 2x)1 21 01 21 21 22若dx3ln 2，则a的值是( )a 1(2x1 x)A5B4C3D2D D dxa2ln a1，a213，且 ln aln 2，故a2.a 1(2x1 x)(x2ln x)3.dx_. 【导学号：31062094】2 0(x22 3x)解析 dxx2dxxdx2 0(x22 3x)2 02 02 3 x3 3x2 38 34 34 3答案 4 34设函数f(x)Error!则f(x)dx_.2 0解析 f(x)dx (x21)dx (3x)dx.2 01 02 1(x3 3x)(3xx2 2)17 69答案 17 65已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f(0)2，f(x)dx0，求f(x)的1 0解析式解 设f(x)ax2bxc(a0)，abc0.f(x)2axb，f(0)b2.f(x)dx (ax2bxc)dx1 01 0(1 3ax31 2bx2cx)abc0.1 31 2由得Error!f(x) x22x .3212