2019高中数学 第一章 解三角形 阶段复习课 第1课 解三角形学案 新人教A版必修5.doc

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1、- 1 -第一课第一课 解三角形解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表达：2R.a sin Ab sin Bc sin C(2)公式变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；a 2Rb 2Rc 2Rabcsin Asin Bsin C；2R.abc sin Asin Bsin Ca sin Ab sin Bc sin C2余弦定理(1)公式表达：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.(2)推论：cos A，cos B，cos C.b2c2a2 2bca2c2b2 2aca2b2c2 2ab

2、3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；1 2(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；1 21 21 2(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1 2体系构建- 2 - 题型探究题型探究 利用正、余弦定理解三角形在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小. a2 4【导学号：91432090】解 (1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是

3、 sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故 08，应舍去，所以x433.9，即这条公3333路的长约为 3.9 km.(2)在ABD中，由正弦定理得，所以AD sinABDAB sinADBsinABDsinCBDsinADB 0.8，所以 cosCBD0.6.在CBD中，AD AB4 5sinDCBsin(CBDBDC)sin(CBD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得CDsinDBC3.9.故景点C与景点D之间的距离约为 3.9 km.BD sinDCB规律方法 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解

4、决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.跟踪训练3如图 13，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方 20 km 和 54 km 处某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，- 7 -声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.图 13(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止

5、目标P到海防警戒线a的距离(精确到 0.01 km). 【导学号：91432092】解 (1)由题意得PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PBx12，PC18x.在PAB中，AB20 km，cosPAB.PA2AB2PB2 2PAABx2202x122 2x203x32 5x同理 cosPAC.72x 3xcosPABcosPAC，解得x.3x32 5x72x 3x132 7(2)作PDa于D，在 RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx3x32 5x17.71(km)3 132 7325所以静止目标P到海防警戒线a的距离为 17.71 km.与三角形有关的

6、综合问题探究问题1如图 14 所示，向量与的夹角是B吗？在ABC中，两向量的数量积与余ABBCABAC弦定理有怎样的联系？- 8 -图 14提示：向量与的夹角是B的补角，大小为 180B，ABBC由于|cos Abccos A.ABACABAC所以bccos A (b2c2a2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三ABAC1 2角形问题2在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般

7、选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos BABCB ，b3.求：1 3(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值. 【导学号：91432093】思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解解 (1)由2 得cacos B2.BABC又 cos B ，所以ac6.1 3由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c2926 13.1 3解Error!得Error!或Error!因为ac，所以

8、a3，c2.(2)在ABC中，sin B，1cos2 B1(13)22 23- 9 -由正弦定理，得 sin C sin B .c b2 32 234 29因为abc，所以C为锐角，因此 cos C .1sin2 C1(4 29)27 9于是 cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C .1 37 92 234 2923 27母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“ac，2，cos B ，b3”变BABC1 3为“已知SABC30 且 cos A”求的值12 13ABAC解 在ABC中，cos A，12 13A为锐角且 sin A，5 13SABCbcsin Abc30.1

9、 21 25 13bc156.|cos AABACABACbccos A156144.12 132(变条件，变结论)在“母题探究 1”中再加上条件“cb1”能否求a的值？解 由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)1215625，a5.1 1325规律方法 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公 式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.