2019高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、1第第 1 1 课时课时 排列与排列数公式排列与排列数公式学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明(难点)自 主 预 习探 新 知1排列的概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2相同排列的两个条件(1)元素相同(2)顺序相同思考：如何理解排列的定义？提示 可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素相同，元素的排列顺序也相同3排列数与排列数公式排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m

2、n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A 表示m n全排列的概念n个不同元素全部取出的一个排列阶乘的概念把n(n1)21 记作n！，读作：n的阶乘A n(n1)(nm1)m n排列数公式阶乘式 A (n，mN N*，mn)m nn！ nm！特殊情况A n！，1！1,0！1n n思考：排列与排列数有何区别？提示 “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列m n基础自测1判断(正确的打“” ，

3、错误的打“”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列( )(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问2题( )(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题( )(4)从 3,5,7,9 中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题( )(5)从 1,2,3,4 中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题( )解析 (1) 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同(2) 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题(3) 因为分组之后，各组与顺序无

4、关，故不属于排列问题(4) 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同结果与顺序有关，故属于排列问题(5) 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题答案 (1) (2) (3) (4) (5)2甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )A3 种 B4 种C6 种 D12 种C C 由排列定义得，共有 A 6 种排列方法3 33909192100 可以表示为( )AA BA1010011100CA DA1210013100B B 由排列数公式得原式为 A，故选 B.111004A _，A _. 2 43 3【导学号：95032026】12 6 A 4312；A 32

5、16.2 43 3合 作 探 究攻 重 难排列的概念判断下列问题是否为排列问题(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；(3)选 2 个小组去种菜；(4)选 10 人组成一个学习小组；(5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员；思路探究 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有3关若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题解 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题(3)(4)不存在顺序

6、问题，不属于排列问题(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题规律方法1解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复” ，二是“与顺序有关” 2判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题跟踪训练1判断下列问题是否是排列问题(1)同宿舍 4 人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？(2)同宿舍 4 人，每两人通一次电话，问他们一共

7、通了几次电话？解 (1)是一个排列问题，相当于从 4 个人中任取两个人，并且按顺序排好有多少个排列就有多少封信，共有 A 12 封信2 4(2)不是排列问题， “通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话排列的简单应用写出下列问题的所有排列(1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.【导学号：95032027】解 (1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有 12 个不同的两位数(2)如图所示的树形图：故所有可能的站法

8、是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共 124种规律方法 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列跟踪训练2(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为( )A3 种 B4 种C6 种 D12 种(2)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有_种机

9、票(1)C (2)12 (1)所有的排法有：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共 6 种(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京、广州天津、广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种排列数公式的推导与应用探究问题1两个同学从写有数字 1,2,3,4 的卡片中选取卡片进行组数字游戏从这 4 个数字中选出 2 个或 3 个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？提示 从这 4 个数字中选出 2 个能构成 A 4312 个无重复数字的两位数；若选2 4出 3 个能构成 A 4322

10、4 个无重复数字的三位数3 42由探究 1 知 A 4312，A 43224，你能否得出 A 的意义和 A 的值？2 43 42n2n提示 A 的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从n个元素a1，a2，2nan中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 A .2n由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n1)种填法，所以 A n(n1)2n3你能写出 A 的值吗？有什么特征？若mn呢？m n提示 A n(n1)(n2)(nm1)(m，nN N*，mn)m n(1)公式特征：第一个因

11、数是n，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是5nm1，共有m个因数；(2)全排列：当mn时，即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：A n(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘)n n另外，我们规定 0！1.所以 A n(n1)(n2)(nm1).m nn！ nm！An n Anmnm(1)计算：；(2)求证：AA mA. 2A5 87A4 8 A8 8A5 9mn1m nm1n【导学号：95032028】思路探究：(1)合理选用排列数的两个公式进行展开(2)提取公因式后合并化简解 (1)2A5 87A4 8 A8 8A5 92 8 7 6 5 47 8 7 6 5 8 7 6

12、5 4 3 2 19 8 7 6 51.8 7 6 5 87 8 7 6 5 249(2)证明：AA mn1m nn1！ n1m！n！ nm！n！ nm！(n1 n1m1)mmA.n！ nm！m n1mn！ n1m！m1nAA mA.mn1m nm1n规律方法 排列数的计算方法1排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用2应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量跟踪训练3求 3A 4A中的x.x8x19解

13、 原方程 3A 4A可化为，x8x193 8！ 8x！4 9！ 10x！即，3 8！ 8x！4 9 8！ 10x9x8x！化简，得x219x780，解得x16，x213.6由题意知Error!解得x8.所以原方程的解为x6.当 堂 达 标固 双 基1已知下列问题：从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；从a，b，c，d四个字母中取出 2 个字母；从 1,2,3,4 四个数字中取出 2 个数字组成一个两位数其中是排列问题的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个B B 是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；不是排列问题

14、，因为两名同学参加的活动与顺序无关；不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列2456(n1)n等于( )【导学号：95032029】AA BA4nn4nC(n4)! DAn3nD D 456(n1)n中共有n41n3 个因式，最大数为n，最小数为4，故 456(n1)nA.n3n35 本不同的课外读物分给 5 位同学，每人一本，则不同的分配方法有_种120 利用排列的概念可知不同的分配方法有 A 120 种5 54A 6A 5A _.6 65 54 4120 原式A A A A 54321120.6 66 65 55 55计算：；A5 9A4 9 A 6 10A 5 10解 法一：.A5 9A4 9 A 6 10A 5 105A4 9A4 9 50A4 910A4 951 50103 20法二：.A5 9A4 9A 6 10A 5 109！4！9！5！10！4！10！5！5 9！9！5 10！10！6 9！4 10！320