2019高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.4 函数的单调性学案 苏教版必修1.doc

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1、1函数的单调性函数的单调性一、考点突破一、考点突破 1. 如何求解函数的单调区间； 2. 利用函数的单调性求参数的取值范围。二、重难点提示二、重难点提示 重点：重点：求函数的单调区间。 难点：难点： 1. 从数、形两种角度理解函数的单调性与最值； 2. 带参函数的最值问题，如何对参数进行讨论。 函数的单调性增函数减函数一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间某个区间 D上的任意任意两个自变量x1，x2定 义当x1 f（x2） ，那么就说函数f（x）在区间 D上是减函数。减函数。图 象 描 述自左向右看图象是上升上升的自左向右看图象是下降下降的注 意1. 如果函数)(xfy

2、 在区间D上是单调递增函数或单调递减函数（两者只能居其一） ，那么就说函数)(xfy 在区间D上具有单调性单调性。2. 在单调区间上，增函数增函数的图象是上升上升的，减函数减函数的图象是下降下降的。 3. 函数单调性是针对某个区间某个区间而言的，是一个局部性质。【方法提炼方法提炼】 判断函数判断函数)(xfy 单调性的基本方法单调性的基本方法定义法定义法设元，任取Dxx21,，且21xx ；作差)()(21xfxf；变形（通常是因式分解和配方） ； 定号（即判断差)()(21xfxf的正负） ；下结论。 （即指出函数)(xf在给定的区间 D 上的单调性）2示例示例 已知a0，函数f（x）x （

3、x0） ，证明函数f（x）在（0， ）上是减函a xa 数，在（，）上是增函数。a思路分析思路分析：可利用定义法讨论函数的单调性。用定义法证明函数单调性的步骤：取值 作差变形确定符号下结论。 答案：答案：证明：设x1，x2是任意两个正数，且 0a，又 x1x20，由于x1x21， 所以x1x20，x110，x210， 所以a10，即a1。 故实数a的取值范围是（，1） 。 技巧点拨：技巧点拨：已知函数单调性求参数的值或范围时，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任 意子集上也是单调的。例题例题 2 2 设( )f x的定义

4、域0,对于任意正实数,m n恒有()( )( )f m nf mf n，且当1x 时，1( )0,( )12f xf （1）求)2(f的值； 3（2）求证：( )f x在0,上是增函数。思路分析：思路分析：（1）求特殊点处的函数值可利用灵活赋值的方法解决。先求出) 1 (f的值，然后再利用 2 与21互为倒数及1)21(f求出)2(f的值。（2）由()( )( )f m nf mf n推出)()()(12 12xxfxfxf是解题的关键。答案：答案：（1）解：令1, 1nm，代入到()( )( )f m nf mf n中， ) 1 () 1 () 1 (fff，解得) 1 (f0令21, 2n

5、m，代入到()( )( )f m nf mf n中，)21()2() 1 (fff0，又1)21(f，1)2( f。（2）证据：任意取), 0(,21xx，且210xx ，则：)()(12 1xxfxf)(2xf，112xx)()()(12 12xxfxfxf，又当1x时0)(xf，112xx，0)(12xxf，即0)()(12xfxf，)()(21xfxf( )f x在0,上是增函数。技巧点拨：技巧点拨：对于抽象函数（未给出具体解析式的函数）的求值问题，需要根据题目给 出的已知条件进行灵活赋值，求出需要求的函数值；抽象函数单调性的证明仍然采用单调 性的定义以及结合题目已知来进行。【综合拓展综

6、合拓展】 巧用函数单调性解不等式巧用函数单调性解不等式 解函数不等式问题的一般步骤： 确定函数f（x）在给定区间上的单调性； 将函数不等式转化为f（M）f（N）的形式； 运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f” ，转化成一般的不等式或不等式组；解不等式或不等式组确定解集；【满分训练】已知函数 , 0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)( ),faf a求实数a的取值范围。 思路分析：思路分析：画出函数)(xf的图象，结合图象可看出函数)(xf的单调性，再利用单调性将不等式)()2(2afaf中的“壳”f给去掉，形成关于a的不等式。4答案：答案：解：画出函数)(xf的图象如下：由函数图象可知，)(xf在R上单调递增，所以2(2)( ),faf a等价转化为 aa 22，解得12a。技巧点拨：技巧点拨：利用函数单调性解不等式的关键：准确判断出函数单调性，成功去掉f这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系。然后，解关于x的 简单不等式。