2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作.doc

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1、12.3.12.3.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号待定系数法求抛物线的标准方程3,8 抛物线的焦点与准线2 抛物线定义及其应用1,4,5,6 抛物线的实际应用7 综合应用9,10,11,12,13 【基础巩固】 1.若 A 是定直线 l 外一定点,则过点 A 且与直线 l 相切的圆的圆心轨迹为( D ) (A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线 解析:因为圆过点 A,所以圆心到 A 的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的 距离也等于圆的半径,且点 A 是定直线 l 外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选 D. 2.如果抛物线 y2=2p

2、x 的准线是直线 x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(-1,0)解析:因为准线方程为 x=-2=- ,所以焦点为( ,0),即(2,0). 故选 B. 3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2+y2-2x+6y+9=0 的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x (C)y2=-9x 或 y=3x2(D)y=-3x2或 y2=9x 解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在 x 轴上时设抛物线的方程是 y2=ax,将(1,-3)代入 得 a=9,所以方程为 y2=9x,当焦点在 y 轴上时设抛物线的方程是

3、 x2=my,将(1,-3)代入得 m=-,所以方程为 y=-3x2.故选 D. 4.(2018南昌高二月考)已知 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且 P 到焦点的距离为 10,则焦点 到准线的距离为( B )(A)2(B)4(C)8(D)16 解析:根据题意可知,P 点到准线的距离为 8+p=10,可得 p=2,所以焦点到准线的距离为 2p=4, 选 B. 5.(2017海南高二期中)过点 F(0,3),且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x (C)x2=-12y(D)x2=12y 解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点 F(0

4、,3)为焦点,直线 y=-3 为准线的抛物线,故其方 程为 x2=12y.故选 D. 6.(2016泉州南安三中期中)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 A(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )2(A)(B)3(C)(D)解析:依题设 P 在抛物线准线的投影为 P,抛物线的焦点为 F,则 F( ,0), 依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 d=|PF|+|PA|AF|=.故选 A. 7. (2018贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在

5、 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立直角坐标系(图略), 设抛物线方程为 x2=-2py(p0), 则点(2,-2)在抛物线上,代入可得 p=1, 抛物线方程为 x2=-2y. 当 y=-3 时,x2=6,解得 x=. 所以水面宽为 2米. 答案:2 8.已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离是 5. (1)求抛物线方程和 m 值; (2)求抛物线的焦点和准线方程. 解:(1)因为点(-3,m)在 y 轴左侧,抛物线焦点在 x 轴上,所以抛物线开口向左. 设方程为 y2=

6、-2px(p0),因为 M 到焦点的距离为 5,所以 3+ =5, 所以 p=4. 所以抛物线的方程为 y2=-8x. 把点 M(-3,m)代入抛物线方程得 m2=24. 所以 m=2. (2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为 x=2. 【能力提升】 9.(2018杭州高二质检)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线PF 与 C 的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3(D)2 解析:过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q,因为=4,3所以|PQ|PF|=34, 又焦点 F 到准线 l 的距离为 4, 所以|QF|=|

7、QQ|=3.故选 C. 10.(2017衡水金卷)已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12(B)24(C)16(D)32 解析:当直线的斜率不存在时,其方程为 x=4,由得 y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为 y=k(x-4),由得 ky2-4y-16k=0,所以 y1+y2= ,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+3232,综上可知,+32.所以+的最小值为 32.故选 D. 11.(2018成都诊断)已知抛物线方程为 y2=-4x,直线 l

8、 的方程为 2x+y-4=0,在抛物线上有 一动点 A,点 A 到 y 轴的距离为 m,到直线 l 的距离为 n,则 m+n 的最小值为 . 解析:如图,过 A 作 AHl,AN 垂直于抛物线的准线, 则|AH|+|AN|=m+n+1, 连接 AF,则|AF|+|AH|=m+n+1, 由平面几何知识,知当 A,F,H 三点共线时, |AF|+|AH|=m+n+1 取得最小值,最小值为 F 到直线 l 的距离,即=,即 m+n 的最小值为-1.4答案:-112.(2017孝感高二期中)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的准线是直线 l:x=-2,焦点是 F. (1)求抛物线 C 的方程; (2

9、)若 l 与 x 轴交于点 A,点 M 在抛物线 C 上,且 M 到焦点 F 的距离为 8,求AFM 的面积 S.解:(1)由已知得- =-2,所以 p=4, 所以抛物线 C 的方程是 y2=8x. (2)由已知得 A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4, 设抛物线上的点 M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+ =x0+2=8, 所以 x0=6,代入 y2=8x,得=86=48,所以|y0|=4,所以 S= |AF|y0|= 44=8. 【探究创新】13.(2018沈阳高二质检)已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线-=1(a0,b0)交于 A,B 两点,点 F 为抛物线的焦点,若FAB 为直角三角形,则双曲线离心率的 取值范围是 . 解析:抛物线焦点 F(1,0),由题意 05,故 e.5答案:(,+)