概率论与数理统计试题与标准答案.docx.pdf

《概率论与数理统计试题与标准答案.docx.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计试题与标准答案.docx.pdf（20页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、考试科目：概率论与数理统计考试时间：120 分钟 试卷总分 100 分题号得分一二三34四56总分12一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5 小题，每小题 3分，总计 15分）1掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现(A)1/31 点的概率为（A）。(B)2/3f(x)(C)1/62设随机变量的概率密度，则 K=（B）。Kx2x0 x11(D)3/6(A)1/2(B)1,，若 E(C)-1(D)3/23对于任意随机变量)E()E()，则（B）。(A)D()D()D()(C)5设(A)（B）D()D()D(),一定独立（D）,不独立(1.25

2、)0.8944，N(1.5,4)，且(1.75)0.9599，则 P-2 4=（A）。(B)(C)(D)二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，总计 15分）填在题末的括号中，本大题共 5小题，每小题 3分，1设 A、B 为互不相容的随机事件P(A)0.3,P(B)0.6,则 P(AB)（）。2设有 10件产品，其中有1 件次品，今从中任取出 1件为次品的概率为（3设随机变量 X的概率密度 f(x)1/10）。1,0,0 x其它1则 P X0.2（8/10）。4设 D()=9,D()=16,*5设y N(,0.5，则 D()=（13）。）。2)，则y（N(0,1)n三、计算题（本大题共6 小题

3、，每小题10 分，总计60 分）1某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25，35，40，又这三条流水线的次品率分别为，。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少（1）全概率公式3P(A)i 1P(Bi)P(A Bi)255354402分(6)1001001001001001000.03452设连续型随机变量X 的密度为,x 0f(x)Ae5 x0,x 0.(1)确定常数 A(2)求P X0.2(3)求分布函数（2）0(x)dx0dxAe5 xdx1 A 105故 A=5。P(0.2)55 x10.3679.dxe0.2当 x0时,F(x)=0;当 xdx5ex

4、0 时，F(x)x(x)dx05 xdx01e5 x故,x 0.F(x)1 e5 x0 ,x023设二维随机变量（,）的分布密度f(,)6,0,求关于和关于的边缘密度函数。（3）fx(x)f(x,y)dy(2分）xx26dy 6(x x2),0 x 1（3 分）0其它(4分)(3分)（3分）（1分）（2 分）（1 分）,01其它 F(x).fy(y)f(x,y)dxy（2分）（3分）y6dx 6(yy),0 y 10其它x,2x,01x1x 2其它4设连续型随即变量的概率密度f(x)，0,求 E(x),D(x)（4）EX10 x dx2x(2 x)dx211(41)1(81)1（4 分）3x)

5、dxEX210 x dx321x2(21431623(81)14(161)76（3 分）DX EX2(EX)27 16（3分）四证明题（本大题共2 小题，总计10 分）2k1012k2设 Xk(k 1,2,)是独立随机变量序列，且Xk，12k2k 12k 11222试证 Xk 服从大数定理。k11(2)E(Xk)(2)22 k01k122 k(122 k)210,(2分)(k 1,2,).(2分)D(Xk)E(Xk2)(2k)21(2k)211,122 k122 k由切比雪夫大数定理可知 Xk 服从大数定理。（1 分）考试科目：概率论与数理统计考试时间：120 分钟试卷总分 100 分一、选择

6、题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5 个小题，每小题3 分，总计15 分）1设A,B为两随机事件，且AP(A B)P(A).2.设BA，则下列式子正确的是BP ABP AAP B|A P B P B A P B P AX:N,2 ,那么当增大时，P X-B减少C不变CA增大D 增减不定3设X P 1poission分布 ,且EB.2X-1 X21,则 AC 3D 0二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，总计 15 分1.设 A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C 表示事件“A、B、C 至少有一个发生”A U B U C;2设有 10件产品，其中有 1

7、 件次品，今从中任取出3设随机变量X N 1,2,Y NX 与 Y 相互独立，1 z 521 件为次品的概率是0,1,Z 2XY 3的概率则随机变量密度函数fz1e23 23;24已知X N2,0.42 ,则 EX6 小题，每小题3三、计算题（本大题共10 分，共计60 分）设考生的报名表来自三个地区，各有10 份，15 份，25份，其中女生的分别为3 份，7份，5份。随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解.设B为“取得的报名表为女生的”由全概率公式3,Ai为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1,2,32 分3 分P(B)P(Ai)P(B|Ai)i 13 171

8、=+3 103 15329901153 分1 分即先取到一份报名表为女生的概率为2990.1 分，x2设随机变量 X的概率密度为f x0,，求 A值；其他P 1.5X2.5(1)Qf2x dx1，A10Ax 1 dx 2A 22x(2)F xf t dt0,x000dtx1t1 dt,0 x 2021,x20,x01x24x,0 x21,x2(3)P 1.5 X 2.5 F2.5 F 1.5 0.0625设二维随机变量(X,Y)有密度函数：f(x,y)ke3x 4y,x 0,y0,其它求：（1）常数A；（2）x,y落在区域 D的概率，其中Dx,y;0 x1,0y3.ke(3 x 4 y)dxd

9、y ke3 xdx e4 ydyk1，k 12000012X 的分布函数F x；2 分1 分3分1 分分0;2.5 分3P x,y12 e013 xDP 02X1,0Y28dxe4 ydy1 e31e0.95025 分04.设足球队A 与 B 比赛，若有一队胜4 场，则比赛结束，假设A，B 在每场比赛中获胜的概率均为1，试求平均需比赛几场才能分出胜负24.设 X 为需要比赛的场数，1则 P X 45，P X 51，P X 6，P X 7811416所以 E X54856755.841616答：平均需比赛6 场才能分出胜负设 Xn为相互独立的随机变量序列,P Xnn1,P Xn 012,n 2,

10、3,Lnn证明 Xn 服从大数定律。2E Xnn1n10 1 20nnn2D XnE Xn2E Xn212122n0i 2,3,Lnnn1n2令 Y1 n 1nXi,n 2,3,L,则 EYn0,D2Yn,ni 2n0，由切比雪夫不等式知P YnE Yn12n2故有lim P YnE Yn1，n即 Xn服从大数定律。5，161 分分4 分1 分分1 分2 分1分1 分 411对于事件A,B，下列命题正确的是D A若A,B互不相容，则A 与 B也互不相容.B若A,B相容，则A 与 B也相容.若 A,B互不相容，则A 与 B也相互独立.若 A与 B相互独立,那么 A与 B相互独立.2.假设随机变量

11、的分布函数为F(x)，密度函数为f(x)若与有相同的分布函数，则下列各式中正确的是C BF(x)F(x)；D f(x)f(x)；AF(x)F(x)；C f(x)f(x)；2 X N1,.二维正态，且.若1，Y N0；22,2，那么(X,Y)的联合分布为 C .二维正态，且.以上都不对不定；.未必是二维正态；.设随机变量和的方差存在且不等于，则D(X Y)D(X)D(Y)是和的 CA.不相关的充分条件，但不是必要条件；C.不相关的充分必要条件；二、填空题（本大题共B.独立的必要条件，但不是充分条件；D.独立充分必要条件5 小题，每小题3 分，总计 15 分1.设 A、B、C、是三个随机事件。用

12、A、B、C 表示事件“A、B、C 恰有一个发生”ABC U ABC U ABC;2.设离散型随机变量 X 分布律为p X k 5 A(1/2)k(k 1,2,L)则 A=c=1/53.用(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)表示 p a X b,Y4已知X N 10,0.6,Y N 1,2三、计算题（本大题共6 小题，每小题F(b,c)F(a,c);,且X 与 Y 相互独立,则 D 3X Y10 分，共计 60分）400，200，100（米）的概率分别为，又设他在距离轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标目标 400，200，100（米）的命中率分别为，。求目标被命中的概率。1.由全概率公式2 分7

13、 分1 分0.5*0.01 0.3*0.02 0.2*0.1 0.031目标被命中的概率为 0.031.设随机变量X的概率密度为f xC21 x，x 1，求 C值；X的分布函数F(x)；0,其他求 X落在区间(1,)1内的概率。222.(1)Qf xdx C11dx1，11x2x(2)Fxft dt0,x1x1dt1arcsin x1,1x11 x221,x1(3)P 0.5 X0.5F 0.5F0.5设二维随机变量(X,Y)的密度函数：求：求关于X与关于 Y的边缘分布密度；3.当 R xR时fX(x)f(x,y)dy于是2 R2x2,R xRfX(x)R20,其他2 R2y2同理 fY(y)

14、R2,Rx R0,其他C12 分1 分14分1/33分1,x2y2R2f(x,y)R20,其它R2x2222212x，Rx2 dy2 RRR2 分5 分分 3x4.设随机变量0 x11x其他X具有密度函数f(x)2x02，求 E(X)及 D(X)。4.E(X)x dx21210 x(2x)dx11215 分D(X)EX22(EX)xdx302x (2 x)dx 1 1/65 分四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）2kXk12 k 10112k2k12k 1设 Xk，(k1,2L)是独立随机变量序列，222证明 Xk 服从大数定律。2E(Xk)(2)k122k 10 (11

15、22k)2k122k 10,(2分)(k 1,2,).(2分)D(Xk)E(Xk2)(2k)21(2k)211,22k122k1由切比雪夫大数定理可知 Xk 服从大数定理。（1 分）一、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，总计 20 分）1.设 A,B为随机事件,P A2设 10把钥匙中有0.5,P B0.6,P A U B0.7,则 PA|B17/452/3352 把能打开门 ,现任意取两把 ,能打开门的概率是3设X N(10,3),Y N(1,2),且X与Y相互独立,则D(3 X 2Y)4设随机变量X 在区间 0,6上服从均匀分布 ,则关于未知量概率为 _5/6_x的方程 x22 Xx

16、1 0有实根的5.设 随 机 变 量 X的 数 学 期 望E(X)7,方 差 D(X)5,用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得P 2X 124/5.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5 个小题，每小题 4分，总计 20分）1设事件A,B相互独立,且P(A)0,P(B)0,，则有B(A)P B|A0;(B)P A|BP ABP A;P A(C)P A|B0;(D)设N(,2)那么概率 P XX2.,2D(A)随增加而变大;(B)随增加而减小；(C)随3.设P X增加而不变;(D)随增加而减小0,Y1(A);01,P X52(B);0 P Y(C)

17、35;0 2,则Pmax X,Y54(D)0C5554设X,Y相互独立，X服从0,2上的均匀分布，Y的概率密度函数为fY(y)ey,y0,y0，0则 P XY1 D122e2;(D)1 0.5e1(A)1e;(C)1(B)1 e;5 小题，每小题 10 分，共计50 分）三、计算题（本大题共1某产品整箱出售，每一箱中 20 件产品，若各箱中次品数为10，10，现在从中任取一箱，顾客随意抽查次品的概率 .0 件，1 件，2 件的概率分别为80，4 件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求:(1)顾客买下该箱产品的概率；(2)在顾客买下的一箱产品中，确实无解:设A表示“顾客买下该箱产

18、品”，Bi分别表示“箱中次品数为0 件，1 件，2件”i0,1,2则 P B080 ，P B110 P B210 ，P A|B01，P A|B1C194，C204P A|B2C184，(3分)C2042由全概率公式得：PAi 0PA|Bi P Bi448/475，(7分)由贝叶斯公式得：P B0|APA|B0P B0P(A)95/112 (10 分)2已知随机变量X的密度为f(x)ax b,0,0 x其它,且P x 1/2 5/8,1求:(1)常数a,b的值;(2)随机变量 X的分布函数 F x解:(1)由 1f(x)dx a/2 b,5/8 P X 1/21/2f(x)dx 3a/8 b/2

19、解得a1,b1/2(4分)x0.5,0(2)x1,当xf(x)0时,F xP Xx0，当 0 x 1时,0,其它Fx PxxXx0.5 dxx21x/2,当x时,F x1，0所以0,x0F xx2x/2,0 x1(10 分)1,x1x21 xy,0 x 1,0 y 2;3设二维随机变量(X,Y)有密度函数：f(x,y)30,其他（1）求边缘概率密度fXx,fYy；（2）求条件密度fX|Yx|y,fY|Xy|x；（3）求概率P XY.解:（1）fx2f(x,y)dy2x2x/3,0 x 1X0,其他fYyf(x,y)dx1/3y/6,0y 20,(4分)其他2f(x,y)6 x2 xy(2)当

20、0y2时,fX|Yx|y=f,0 x 1Y(y)2y0,其他3x2xy当 0 x1时,ff(x,y)Y|Xy|xfX(x)6x22x,0 y 2(8分)0,其他(3)P X1xYf(x,y)dydxx21 xy dy 7/24(10分)00 x y34.设随机变量X,Y独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设 U 2 X Y,V2X Y随机变量U与 V的相关系数UV4.解:E XE Y,DXD Y,E U3,E V3,求D UUVD V5,Cov U,V=3/54DXD Y3,(8分)Cov U,VD UD V(10 分)四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10分）1.设事件 A,B

21、,C相互独立,证明事件 A B与事件 C也相互独立1.证 明：由 于 事 件A,B,C相 互 独 立，所 以P ABCP A P BP C，P AB P A P B，P ACPA B CP A P C，P BCP B P C，(2 分)所以P ACP AC BCP ABCP A P C P A P B P C P A B P CB CP A B P C即 P A,所以事件A B与C也相互独立(5分)一、填空题（本大题共5 小题，每小题4 分，总计 20 分）1.设A,B是两个随机事件 ,P(A)=0.7,P(A对立事件的概率为2设有 40件产品，其中有为次品的概率是B)=0.3,则事件“A,B

22、同时发生”的4 件次品，从中不放回的任取10 次，每次取一件，则最后一件取的3设随机变量X与Y相互独立,X N 1,224,Y N0,1,则随机变量 Z 2X 4Y 3的方差为4 设 随 机 变 量X的 数 学 期 望E(X)75,方 差 D(X)5,用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得PX750.05,则10二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共题，每小题4 分，总计 20 分）25 个小1设总体X N(1,是(),X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,则为参数2的无偏估计量的A)n(A)1(Xi X)2n;(B)1n1i1ni 12.设X N

23、(,1),则满足P X 2P X(XiX);(C)1ni 12n2Xi2;(D)X2的参数(C)(A)0;(B)1;03设P X0,Y3(C)2;,P X0P Y04(D)3,则Pmax X,Y0(C )77(A)3;(B)47;(C)57;(D)677三、计算题（本大题共5 小题，每小题10 分，共计 50 分）1两个箱子中都有10 个球，其中第一箱中4 个白球，6个红球，第二箱中6 个白球，4个红球，1 个球，(1)求 从第二箱中取的现从第一箱中任取2 个球放入第二箱中，再从第二箱中任取球为白球的概率；率(2)若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2 个球都为白球的概1解:设A表示“从

24、第二箱中取的球为白球”，Bi分别表示“从第一箱中取的2 个球都为白球,1白 1红，2个球都为红球”i1,2,3，则C42，C41C61P B17/12，PC102=2/15P B2C102，=8/15P B3C62=1/3，PA|BC1022/3，P A|B21A|B1/2，(4分)3由全概3率公式得：PAi 1P A|BiP Bi17/30，由贝叶斯公式得：PB1|AP A|B1PB1P(A)8/51(10 分)3 x2，0 x 22设随机变量X与Y同分布，X的概率密度为f x80,，事件 AX a其它与事件 BYa相互独立，且P A U B34，求常数a的值。22:解由于事件A,BP AB

25、P A P B相互独立，所以，所以PA2P A U BPAP AP BP AB2P AP A3/4，解得1/2或 P A3/2（舍去），(5分)a所以 1/2P APXaf(x)dx 1a3/8，得 a34(10 分)3设二维随机变量(X,Y)有密度函数：f(x,y)Ae4 x 3 y,x0,y0,其他0;（1）求常数A；（2）求边缘概率密度fXx,fYy；（3）X,Y是否相互独立。3解：（1）10f(x,y)d xdy0Ae(4 x 3 y)dxdy00A，A 12(4 分)12（2）fXxf(x,y)dy4e4 x,x 00,其他(8分)fY yf(x,y)dx3e3 x,y 00,其他（

26、3）f(x,y)fX x fY y，所以 X,Y相互独立。(10 分)4.设随机变量X N求：(1)随机变量(2)随机变量1,9，Y N0,16，相关系数Z的期望 E Z与方差 D ZX与 Z的相关系数XZ1XY，设 ZX3Y22；4 .解：(1)X N 1,9，Y N 0,16XY，所以 E X1，E Y0，D X9，D YE Z116，Cov(X,Y)E X31DX E Y3，D Z19D Y D X6，所以1DY4XZ26 Cov(X,Y)3(5 分)2(2)由于Cov(X,Z)13 D X1 Cov(X,Y)0，所以2Cov(X,Z)D XD Z0(10 分)四、证明题（本大题共2 小

27、题，每小题5 分，共 10分）1.设事件 A,B,C相互独立,证明事件 A U B与事件 C也相互独立.1.证 明：由 于 事 件A,B,C相 互 独 立，所 以P ABCP A P B P C，P ABP A P B，P ACP A P C，P BCP B P C，所以P ACP BC P ABCPA U B C P AC U BCP A P CP B P CP A P B P CP A P BP A P CP A P B P CP A U B P C即 PA U B CP A U B P C,所以事件 A U B与 C也相互独立。(5 分)一、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，总计

28、18 分）1.设A,B为随机事件 ,P AUB210 个球队平均分成两组进行比赛3设随机变量0.8,P B0.4,则 P A|BeX的数学期望为2/3,则最强的两个队分到同一组的概率为,D2/9X在区间0,1上服从均匀分布,则YXX在区间0,2上服从均匀分布.e 1P X 1 26 个小4设X b(n,p)为二项分布,且E X1.61.28,则n_8_ p,用切比雪夫不等式估计得5.设随机变量1/12二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共题，每小题3 分，总计 18分）1设A,B为事件,且AB,则下列式子一定正确的是(P A;B)(A)(C)P A U

29、BP ABX(B)P BA(D)P A;kP B;P AB2.设随机变量的分布率为PXk(A)e;(B)e;1a k!(C)e1;(B)P X(D),P AP Bk1,2,L,则a(D)(D)e1A3.设 X:N(1,1),概率密度为f x,分布函数为F x,则有(1;0P X)(A)(C)P X1 P X0;f xf1x,xR;Fx1Fx,xR14.设 P X 1,Y(A)45;(B)2,P X159PY1(C);35;3,则Pmin X,Y52(D)(A )2555.设随机变量X,Y满足方差DXYDXY,则必有(B)X与 Y独立;(B)X与 Y不相关;0或 D Y(C)X与 Y不独立;(D

30、)D X(A)6 小题，每小题0三、计算题（本大题共10 分，共计60 分）1有三个盒子 ,第一个盒子中有2 个黑球,4个白球,第二个盒子中有4 个黑球,2个白球,第三个盒子中有 3 个黑球,3个白球,今从 3个盒子中任取一个盒子(1)求此球是白球的概率；,再从中任取1 球.(2)若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率.解:设A表示“取得的为白球”，Bi分别表示“取得的为第一，二，三盒的球”i1,2,3则P B1 P B2分)P B31/3，P A|B132/3，P A|B21/3，P A|B31/2，(2由全概率公式得：PAi 1PA|BiPBi1/2，(6分)由贝叶斯公式得：

31、PB1|APA|B1PB1P(A)4/9 (10 分)0,2已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)AB arcsin,xxaaa x a,其中a0为常1,数。xa求:(1)常数A,B的值;(2)随机变量X的密度函数f x;(3)PaXa2解:(1)由Fx右连续性,FaF a，F aF a得A2B 0，A2B 1，解得 A1/2,B 1/(6分)1(2)f(x)F,a x a,(8分)x0,aa2x2其它(3)PaXF a Fa/2=1/3 (10 分)23设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布,求Ye2 X概率密度。3 解:X的 概 率 密 度 为 fX x 1,10,x 2其他，ye2 x

32、，y 2e2x0，反 函 数 导 数hy1，min e,e24e，2max e,e24e，所以Y4e的概率密度为2 X2 yfYyfX h y h y ,y其他1/2y,e2y e4其他(10 分)0,0,4设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)Ay,0 xy2,0 y10,其他（1）求常数A的值；（2）求边缘概率密度fXx,fYy；（3）X和Y是否独立4解:（1）由f(x,y)dy 1，得A4(3分)0 x 1其他 (6 分)2 1 x,(2)fXxf(x,y)dyf(x,y)dx0,4 y3,00,fY yy1其他(9分)(3)fXx fY yf(x,y)，不独立(10 分)5.

33、设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数：f(x,y)6x,0 x y 1其他0,求（1）数学期望E X与 E Y；（2）X与 Y的协方差 Cov X,Y1/2,(2分)E YE XY E X E X1 小题，每小题5.解:E X3/4,(4分)E XY=9/40(10分)3/5(6分)，所以Cov X,Y四、证明题（本大题共1.设三个事件1.证明：由于4 分，共 4分）A,B,C满足 ABABC,试证明:P AP C，所以P A U BP B1 P CC，所以 P ABP AP BP A U BP ABP C1P C(4分)一、填空题（本大题共1.设为随机事件 ,6 小题，每小题3 分，总计

34、18 分）0.3,则 P AB,P ABA,BP AP B0.7210 件产品中有 4 件次品,从中任意取2 件,则第 2 件为次品的概率为3 设 随 机 变 量fY y14 y ,P ABX在 区 间0,2上 服 从 均 匀 分 布,则YX2的 概 率 密 度 函 数 为0y 40,其他24设随机变量X的期望EX3,方差 D X5,则期望E X4545.设随机变量1/2X服从参数为.2 的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得P X 2 26 个小二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共题，每小题3 分，总计18 分）A,B0 P B1,则下列概率值为1

35、的是(C1设为对立事件,(A)PA|B;(B)P B|A;(C)PA|B;1,1,概率密度为f x,分布函数F0;(B)P X(D)P AB2.设随机变量 X Nx,则下列正确的是(BP X1;)(A)P X(C)0 P X1f xff1,Y2fx,xR;(D)Fx1FBx,x)R3.设 f x是随机变量 X的概率密度,则一定成立的是(A)(C)x定义域为0,1;x的值域为0,1;(B)(D)f x非负;f x连续4.设 P X1 4,P X 1 PY1 5,则Pmin X,Y99(B)1(A)(A);2081;(C)4;(D)1339XY5.设随机变量X,Y的方差 D X4,D Y1,相关系

36、数0.6,则方差D 3X 2Y(D)(A)40;(B)34;(C);(D)三、计算题（本大题共6 小题，每小题10 分，共计60 分）1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为 :,(1)求恰有 2位同学不及格的概率；(2)若已知 3位同学中有 2位不及格,求其中 1位是同学乙的概率 .1解:设A,B,C分别表示“甲,乙,丙同学不及格”,则P A由题意 A,B,C相互独立(2 分)(1)事件“恰有 2位同学不及格”0.2，P B0.3，P C0.4，为:D ABC U ABC U ABC，所以P DP ABCP ABC P ABCP A P B P CP A P B P CP A P

37、 B P C=(6分)P BDP ABCP ABC(2)P B|DP(D)(10分)P(D)=33/470,x02已知连续型随机变量X的分布函数为F(x)x2,A Be2 ,x0求:(1)常数A,B的值;(2)随机变量 X的密度函数 f x;(3)P 2 X 2解:(1)由 F x右连续性得 F 0F0，即 A B0,又由 FA1,B1(5分)x2(2)f(x)Fxxe2,x0,(8分)0,其它(3)P2X2F2F2e1e2(10 分)3设随机变量X与 Y相互独立,概率密度分别为:ex,x01,0y 1fX(x)(y),fY,0,x00,其他求随机变量 ZXY的概率密度3解:由于随机变量X与

38、Y相互独立,所以 ZXY的密度函数为fZ zfX x fY z x dx(2分)z0exdy,0 z11ez,0 z1z 1zexdy,z1e1zez,z1(10 分)0,z00,z01得，A，解得14设二维随机变量(X,Y)的密度函数：f(x,y)A,0 x2,y0,其他x（1）求常数A的值；（2）求边缘概率密度fXx,fYy；（3）X和Y是否独立4解:（1）由f(x,y)dy 1，得A 1/4(2分)x(2)fXxf(x,y)dy21/4dy,0 x2x/2,00,x 2其他 (5 分)x0,其他fY yf(x,y)dx2yy 1/4dx,21/4dx,0y2y 02y/4,2 y 02

39、y/4,0 y 2(9分)0,其他0,其他(3)fXx fY y f(x,y)，不独立(10 分)5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数：f(x,y)3 y,0,0 x y,0 y其他1求（1）数学期望E X与 E Y；（2）X与 Y的协方差 Cov X,Y5.解:E X3/8,(2分)E XYE Y3/4,(4分)E XY=3/160,(10 分)3/10(6分)，所以Cov X,YE X E X1 小题，每小题四、证明题（本大题共4 分，共 4分）1.设 A,B,C任意三个事件,试证明:P AB1.证明：因为 P AB,ABC AC，所以PP BCP BP ACP BCAB U BCP AB U BCP ABC,又由于 AB U BCP B,所以P BP ACBP B，P ABCP BCP ABP BCP BP AC,即 P AB(4分)