2019高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、12.32.3 数学归纳法数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行归纳 奠基证明当n取第一个值n0(n0 N N * )时命题成立归纳 递推假设nkkn0，k N N * 时命题成立， 证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为 1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.2数学归纳法

2、的框图表示基础自测1思考辨析(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( )(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可( )答案 (1) (2) (3)2下面四个判断中，正确的是( )A式子 1kk2kn(nN N*)中，当n1 时，式子的值为 1B式子 1kk2kn1(nN N*)中，当n1 时，式子的值为 1kC式子 1 (nN N*)中，当n1 时，式子的值为 1 1 21 31 2n11 21 3D设f(n)(nN N*)，则f(k1)f(k)1 n11 n21 3n11 3k21 3k31 3k42C C A 中，n1 时，式子

3、1k；B 中，n1 时，式子1；C 中，n1 时，式子1 ；1 21 3D 中，f(k1)f(k).故正确的是 C.1 3k21 3k31 3k41 k13如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n_成立. 【导学号：31062162】答案 24已知Sn，则1 131 351 571 2n12n1S1_，S2_，S3_，S4_，猜想Sn_.解析 分别将 1,2,3,4 代入得S1 ， S2 ，S3 ，S4 ，观察猜想得Sn1 32 53 74 9.n 2n1答案 1 32 53 74 9n 2n1合 作 探 究攻 重 难用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明(n1

4、)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN N*)， “从k到k1”左端增乘的代数式为_. 【导学号：31062163】(2)用数学归纳法证明：(nN N*)12 1 322 3 5n2 2n12n1nn1 22n1解析 (1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1) (k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以fk1 fk2(2k1)2k12k2 k1答案 2(2k1)(2)证明： 当n1 时，成立12 1 31 2 2 3假设当nk(nN N*)时等式成立，即有3，12 1 322 3 5k2 2k12k1kk1 22k1则当nk1 时，12

5、 1 322 3 5k2 2k12k1k12 2k12k3kk1 22k1k12 2k12k3，k1k2 22k3即当nk1 时等式也成立由可得对于任意的nN N*等式都成立规律方法 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：1弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；2弄清从nk到nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；3证明nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1 证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证：1 (nN N*)1 21 31 41 2n11 2n1 n11 n21 2n证明 当n1 时，左边1 ，1 21 2右边 ，所以等式成立1 2假设nk(kN N

6、*)时， 1 成立1 21 31 41 2k11 2k1 k11 k21 2k那么当nk1 时，1 1 21 31 41 2k11 2k1 2k111 2k11 k11 k21 2k1 2k11 2k11 k21 k31 2k1 2k11 k11 2k1，1 k111 k121 k1k1 2k1所以nk1 时，等式也成立综上所述，对于任何nN N*，等式都成立.归纳猜想证明已知数列，计算1 1 41 4 71 7 101 3n23n14S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.【导学号：31062164】解 S1 ；1 1 41 4S2 ；1 41 4 7

7、2 7S3 ；2 71 7 103 10S4 .3 101 10 134 13可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn .n 3n1下面我们用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1 时，左边S1 ，1 4右边 ，n 3n11 3 111 4猜想成立(2)假设当nk(kN N*)时猜想成立，即 ，1 1 41 4 71 7 101 3k23k1k 3k1当nk1 时， 1 1 41 4 71 7 101 3k23k11 3k123k11 k 3k11 3k13k43k24k1 3k13k4 3k1k1 3k13k4，k1 3k11所以，当nk

8、1 时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN N*都成立规律方法 (1)“归纳猜想证明”的一般环节5(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题跟踪训练2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前 4 项，再猜想an，并证明. 【导学号：31062165】解 由a12a1，得a11；由a1a22 2a2，得a2 ；3 2由a1a2a32 3a3，得a3 ；7 4由a1a2a3a42 4a

9、4，得a4 .15 8猜想an .2n1 2n1下面证明猜想正确：(1)当n1 时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当nk时猜想成立，则有ak ，2k1 2k1当nk1 时，Skak12(k1)ak1，ak1k1 (2k ) ，1 22k1Sk1 22k1 2k12k11 2k11所以，当nk1 时，等式也成立由(1)和(2)可知，an 对任意正整数n都成立.2n1 2n1用数学归纳法证明不等式探究问题61你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，；nn1nn1(2)，；1 n21 nn11 nn1(3)，.1 2k11 2k1 2k1提示：(1)1k2kk2kk12，(k1k)(k N N

10、 * ，k 1) 1)(2) ；1 k21 kk11 k11 k1 k21 kk11 k1 k1(3)1 2k 11 21 31 2k1 2k11 2k21 2k2kk 21 2k1.k1 2又 1 1)1 21 31 2n1证明 (1)当n2 时，左边1 ，右边2，左边右边，不等式成立1 21 3(2)假设当nk时，不等式成立，即 1 k，则当nk1 时，有1 21 31 2k11 kk1 21 31 2k11 2k1 2k11 2k111 2k1 2k11 2k11k1，1 2k 2k所以，当nk1 时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于 1 的正整数n，不等式均成立2(变条件)用数

11、学归纳法证明：12 (n2)1 221 321 n21 n证明 (1)当n2 时，1 2 ，命题成立1 225 41 23 2(2)假设nk时命题成立，即12 .1 221 321 k21 k当nk1 时，11 221 321 k21 k122 1 k1 k122 1 k1 kk12 2.命题成立1 k1 k1 k11 k1由(1)和(2)知原不等式在n2 时均成立规律方法 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活8些，用数学归纳法证明的第二步，即已知fkgk，求证fk1gk1时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：1先凑

12、假设，作等价变换；2瞄准当nk1 时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.当 堂 达 标固 双 基1用数学归纳法证明 1aa2an1(a1，nN N*)，在验证n1 成1an2 1a立时，左边计算所得的项是( ) 【导学号：31062166】A1B1aC1aa2 D1aa2a3C C 当n1 时，左边1aa111aa2，故 C 正确2用数学归纳法证明 123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1” ，左边需增添的代数式是( )A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)C C 当nk时，左边是共有 2k1 个连续自然数相加，即 1

13、23(2k1)，所以当nk1 时，左边共有 2k3 个连续自然数相加，即 123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选 C.3已知f(n)1 (nN N*)，计算得f(2) ，f(4)2，f(8) ，f(16)1 21 31 n3 25 23，f(32) ，由此推测，当n2 时，有_7 2答案 f(2n)n2 24用数学归纳法证明： .假设nk时，不等式成立，1 221 321 n121 21 n2则当nk1 时，应推证的目标不等式是_解析 从不等式结构看，左边nk1 时，最后一项为，前面的分母的底1 k22数是连续的整数，右边nk1 时，式子为 即，不

14、等式为1 21 k121 221 32 .1 k221 21 k39答案 .1 221 321 k221 21 k35用数学归纳法证明：当n2，nN N*时，(11 4)(11 9). (11 16)(11 n2)n1 2n【导学号：31062167】证明 (1)当n2 时，左边1 ，右边 ，n2 时等式成立1 43 421 2 23 4(2)假设当nk(k2，kN N*)时等式成立，即，(11 4)(11 9)(11 16) (11 k2)k1 2k那么当nk1 时，(11 4)(11 9)(11 16) (11 k2)11 k12k1 2k11 k12k121 2kk1k2 2k1.k11 2k1当nk1 时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意 n2，nN*，等式都成立