大学统计学第七章练习题及答案讲解.pdf

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1、第第 7 7 章章参数估计参数估计练习题练习题7.17.1 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个样本量为40 的样本，样本均值为 25。（1）样本均值的抽样标准差x等于多少?（2）在 95%的置信水平下，边际误差是多少？解：已知 5,n 40,x 25样本均值的抽样标准差xn54010 0.794已知 5,n 40,x 25，x10，1 95%4Z2 Z0.0251.96边际误差E Z2n1.96*101.5547.27.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。（1）假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差；（2

2、）在 95%的置信水平下，求边际误差；（3）如果样本均值为 120 元，求总体均值的 95%的置信区间。解.已知.根据查表得z/2=1.96（1）标准误差：X（2）已知z/2=1.96所以边际误差=z/2*n1549 2.14sn1.96*sn1549=4.2（3）置信区间：x Z2120 15491.96 115.8,124.217.37.3 从一个总体中随机抽取n 100的随机样本，得到x 104560，假定总体标准差 85414，构建总体均值的 95%的置信区间。Z1.962Z2n1.96*8541410016741.144x Z2.n104560 16741.144 87818.856

3、x Z2.n104560 16741.144 121301.144置信区间：（87818.856，121301.144）7.47.4 从总体中抽取一个n 100的简单随机样本，得到x 81，s 12。（1）构建的 90%的置信区间。（2）构建的 95%的置信区间。（3）构建的 99%的置信区间。解；由题意知n 100,x 81,s 12.（1）置信水平为1 90%，则Z1.645.2由公式x zs811.645122n100 811.974即811.974 79.026,82.974,则的90%的置信区间为 79.02682.974（2）置信水平为1 95%，z1.962由公式得x zs2n=

4、811.9612100 81 2.352即 81 2.352=（78.648，83.352），则的 95%的置信区间为 78.64883.352（3）置信水平为1 99%，则Z 2.576.22s12由公式x z=81 2.5760962n100 813.即813.1则的99%的置信区间为7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。（1）x 25，3.5，n 60，置信水平为 95%。（2）x 119.6，s 23.89，n 75，置信水平为 98%。（3）x 3.419，s 0.974，n 32，置信水平为 90%。X 25,3.5,n 60,置信水平为 95%解：Z1.96,2Z1.9

5、63.52n60 0.89置信下限：X Z 250.89 24.112n置信上限：X Z25 0.89 25.892n置信区间为（24.11，25.89）X 119.6,s 23.89，n 75，置信水平为98%。解：Z 2.332Zs892.3323.2n75 6.43置信下限：X Zsn119.66.43 113.172置信上限：X Zsn119.6 6.43 126.032置 信 区 间 为 113（.17，126.03）x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为 90%3根据 t=0.1，查 t 分布表可得Z0.05(31)1.645.Z/2(所以该总体的置信区间为sn)0.

6、283x/2（sn)=3.4190.283即 3.4190.283=（3.136，3.702）所以该总体的置信区间为3.1363.702.7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。（1）总体服从正态分布，且已知 500，n 15，x 8900，置信水平为 95%。（2）总体不服从正态分布，且已知 500，n 35，x 8900，置信水平为 95%。（3）总体不服从正态分布，未知，n 35，x 8900，s 500，置信水平为90%。（4）总体不服从正态分布，未知，n 35，x 8900，s 500，置信水平为99%。（1）解：已知 500，n 15，x 8900，1-95%，z1.962

7、x z2n 8900 1.9650015(8647,9153)所以总体均值的置信区间为（8647，9153）（2）解：已知 500，n 35，x 8900，1-95%，z1.962x z2n 8900 1.9650035(8734,9066)所以总体均值的置信区间为（8734，9066）（3）解：已知n 35，x 8900，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差置信水平 1=90%z1.6452置信区间为x z2sn 811.64550035(8761,9039)所以总体均值的置信区间为（8761，9039）（4）解：已知n 35，x 8900，s 500，由于总

8、体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差4置信水平 1=99%z 2.582置信区间为x z2sn 8900 2.5850035(8682,9118)所以总体均值的置信区间为（8682，9118）7.77.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7Book7.7（单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和 99%。解：已知：x 3.3167s 1.6093n=361.当置信水平为 90%时，z1.645，2x z2sn 3.3167 1.645

9、1.609336 3.3167 0.4532所以置信区间为（2.88，3.76）2.当置信水平为 95%时，z1.96，2x z2sn 3.31671.961.609336 3.31670.5445所以置信区间为（2.80，3.84）3.当置信水平为 99%时，z 2.58，2x z2sn 3.3167 2.581.609336 3.3167 0.7305所以置信区间为（2.63，4.01）7.87.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8 的样本，各样本值见 Book7.8Book7.8。求总体均值 95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但未知，n=8 为小样本，0.05，t0.05(81

10、)2.3652根据样本数据计算得：x 10,s 3.465总体均值的 95%的置信区间为：x t2sn10 2.3653.46810 2.89，即（7.11，12.89）。7.97.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（单位：km）数据见 Book7.9Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离 95%的置信区间。已知：总体服从正态分布，但未知，n=16 为小样本，=0.05，t0.05/2(16 1)2.131根据样本数据计算可得：x 9.375，s=4.113从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：x t/2sn 9.

11、375 2.1314.11314 9.375 2.191，即（7.18，11.57）。7.107.10 从一批零件中随机抽取36 个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为 1.93cm。（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。（2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。解：已知103,n=36,x=149.5,置信水平为1-=95%，查标准正态分布表得/2=1.96.根据公式得：x/2103=149.51.96n3610336=（148.9，150.1）即 149.51.96答：该零件平均长度 95%的置信区间为 148.9150.1（3）在上面的估计中

12、，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。67.117.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50 包进行检查，测得每包重量（单位：g）见 Boo

13、k7.11Book7.11。已知食品重量服从正态分布，要求：（1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。（2）如果规定食品重量低于 100g 属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。(1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50 为大样本。=0.05，0.05/2=1.96根据样本计算可知=101.32s=1.63该种食品平均重量的 95%的置信区间为 /2s/n 101.321.96*1.63/50 101.320.45即（100.87，101.77）（2）由样本数据可知，样本合格率：p 45/50 0.9。该批食品合格率的 95%的置信区间为：p /2p(1 p)0.9(10.

14、9)=0.91.96=0.90.08，即（0.82，0.98）n50答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82，0.98）7.127.12 假设总体服从正态分布，利用Book7.12Book7.12 的数据构建总体均值的 99%的置信区间。根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；x=16.13=0.8706E=Z20.8706=2.58*=0.455n置信区间为xE所以置信区间为（15.68，16.58）7.137.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13Book7.13（单位：h）。假定员

15、工每周加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：已知x=13.56 7.80E=*2 0.1n=18nn,x+2置信区间=x-2n7所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/18),13.56+1.645*(7.80/18)=10.36,16.767.14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。（1）n 44，p 0.51，置信水平为 99%。（2）n 300，p 0.82，置信水平为 95%。（3）n 1150，p 0.48，置信水平为 90%。（1）n 44，p 0.51，置信水平为 99%。解：由题意,已知 n=44,置信水平 a=99%

16、,Za/2=2.58又检验统计量为：PZp(1 p)n，故代入数值计算得，PZp(1 p)n=（0.316，0.704），总体比例的置信区间为（0.316，0.704）（2）n 300，p 0.82，置信水平为 95%。解：由题意,已知 n=300,置信水平 a=95%,Za/2=1.96又检验统计量为：PZp(1 p)n，故代入数值计算得，PZp(1 p)n=（0.777，0.863），总体比例的置信区间为（0.777，0.863）（3）n 1150，p 0.48，置信水平为 90%。解：由题意,已知 n=1150,置信水平 a=90%,Za/2=1.645又检验统计量为：PZp(1 p)n

17、，故代入数值计算得，8PZp(1 p)=（0.456，0.504），总体比例的置信区间为（0.456，0.504）n7.157.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。解：由题意可知 n=200，p=0.23（1）当置信水平为 1-=90%时，Z/2=1.645所以p z/2p(1 p)0.23(10.23)0.231.645=0.230.04895n200即 0.230.04895=（0.1811，0.2789），（2）当置信水平为 1-=95%时，

18、Z/2=1.96所以p z/2p(1 p)0.23(10.23)0.231.96=0.230.05832n200即 0.230.05832=（0.1717，0.28835）；答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为（18.11%，27.89%），在置信水平为 95%的置信区间为（17.17%，28.835%）7.167.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存款额的标准差为 1000 元，要求估计误差在200 元以内，应选取多大的样本？解：已知1000,E=1000,1 99%,z/2 2.58z2/2*2由公式n 可知 n=(

19、2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=1672E答：置信水平为 99%，应取 167 个样本。7.177.17 要估计总体比例，计算下列个体所需的样本容量。（1）E 0.02，0.40，置信水平为 96%。（2）E 0.04，未知，置信水平为 95%。（3）E 0.05，0.55，置信水平为 90%。9（1）解：已知E 0.02，0.40,，/2=2.05由n /2(1)/2得222n 2.05 0.40(1 0.4)0.02=2522答：个体所需的样本容量为2522。（2）解：已知E 0.04，/2=1.96由n /2(1)/2得2n 1.9620.520.04260

20、1答：个体所需的样本容量为601。（3）解：已知 0.05，由2 0.55，/2=1.645n /2(1)/2得n 1.64520.550.450.052=268答：个体所需的样本容量为268。7.18 某居民小区共有居民 500 户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。（2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？（1）已知：n=50Z1.962根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%根据（7.8）式得

21、：P P(1P)n 64%1.9664%(164%)50即64%12.63%(51.37%,76.63%)答：置信区间为（51.37%，76.63%）（2）已知80%10%Z1.96210Z22*(1)1.962*0.8(10.8)62则有：n 220.1答：应抽取 62 户进行调查7.197.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差的 90%的置信区间。（1）x 21，s 2，n 50。（2）x 1.3，s 0.02，n 15。（3）x 167，s 31，n 22。解：已知1 90%，10%,1)查表知(n1)67，22122 0.05,12 0.952(n1)34由公式(n 1)s2222

22、(n 1)s2212(501)*22(501)*22得，解得（1.72，2.40）67342)查表知(n 1)23.6848，22212(n1)6.57063由公式(n 1)s2222(n 1)s2212(151)*0.022(151)*0.022得，解得（0.015，0.029）23.68486.570633)查表知(n 1)32.6705，22212(n 1)11.5913由公式(n 1)s2222(n 1)s2212(221)*312(221)*312得，解得（24.85，41.73）32.670511.59137.207.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短

23、与许多因素有关，11比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，银行各随机抽取了10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min）见 Book7.20Book7.20。（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（3）根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？7.217.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本

24、，它们的均值和标准差如下表：来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本n114n2 7x1 53.2x2 43.4s21 96.8s22102.0（1）求12的 90%的置信区间。（2）求12的 95%的置信区间。（3）求12的 99%的置信区间。7.227.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本x1 25x2 23s2116s22 20（1）设n1 n2100，求1295%的置信区间。（2）设n221 n210，12，求12的 95%的置信区间。（3）设n221 n210，12，求12的 95%的置信区间。（4）设n

25、110,n222 20，12，求12的 95%的置信区间。（5）设n22110,n2 20，12，求12的 95%的置信区间。7.237.23 Book7.23Book7.23 是由 4 对观察值组成的随机样本。（1）计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd。12（2）设1和2分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造d12的 95%的置信区间。7.247.24 一家人才测评机构对随机抽取的10 名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得到的自信心测试分数见Book7.24Book7.24。构建两种方法平均自信心得分之差d12的95%的置信区间。7.257.25 从两个总

26、体中各抽取一个n1 n2 250的独立随机样本，来自总体 1 的样本比例为p1 40%，来自总体 2 的样本比例为p2 30%。（1）构造12的 90%的置信区间。（2）构造12的 95%的置信区间。7.267.26 生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以减小方差。两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据见 Book7.26Book7.26。构造两个总体方差比12的 95%的置信区间。7.277.27 根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2%。如果要求 95%的置信区间，若要求边际误差不超过 4%，应抽取多大的样本？解：已知 P=2%E=4%当置信区间

27、1-为 95%时22=2p(1 p)n2 p(1 p)n=22p1-=0.95=0.025=1.9622 p(1 p)N=22p1.9620.020.98=47.060.042答：所以应取样本数 48。7.287.28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120 元，现要求以 95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超13过 20 元，应抽取多少个顾客作为样本？解：已知120，E 20，当a 0.05时，z0.05/21.96。(z/2)221.962*1202139应抽取的样本量为：n 22E207.297.29 假定两个总体的标准差分别为112，215，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为 95%，假定n1 n2，估计两个总体均值之差12时所需的样本量为多大。7.307.30 假定n1 n2，边际误差E 0.05，相应的置信水平为 95%，估计两个总体比例之差为12时所需的样本量为多大。14