2019高中数学 第二章 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质学案 新人教A版选修2-1.doc

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1、12.3.22.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)自 主 预 习探 新 知1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)x2 a2y2 b21(a0，b0)y2 a2x2 b2图形范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e 1c a性质渐近线yxb ayxa b思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示 (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但

2、它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e21， 是渐近线的斜率或其倒数c2 a2b2 a2b a2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.2基础自测1思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点( )(2)等轴双曲线的渐近线是yx.( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长( )答案 (1) (2) (3)22双曲线y21 的顶点坐标是( )x2 16A(4,0)，(0,1) B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1)D(4,0)，(0，1)B B 由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4

3、，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)3若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是x2 4y2 m32_. 【导学号：46342096】(，0)，(，0) 由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得77m2双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)x2 4y2 377合 作 探 究攻 重 难根据双曲线方程研究几何性质(1)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为x2 a2y2 b21，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )x2 a2y2 b232Axy0 Bxy022Cx2y0D2xy0(2)求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的

4、实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解 (1)椭圆C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2.由e1e2a2b2aa2b2a，解得 ，所以 ，所以双曲线C2的渐近线a2b2aa2b2a32(b a)21 2b a22方程是yx，即xy0.222答案 A(2)把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，x2 my2 n由此可知，实半轴长a，m虚半轴长b，c，nmn3焦点坐标为(，0)，(，0)，mnmn离心率e .c amnm1nm顶点坐标为(，0)，(，0)mm渐近线的方程为yxx.nmmnm规律方法 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲

5、线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置跟踪训练1(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是( )Ax21 By21y2 4x2 4Cx21Dy21y2 4x2 4C C A、B 选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D 选项中双曲线的焦点在y轴上，令x20，得y2x；令y20，得yx.故选 Cy2 4x2 41 2(2)若双曲线1 的离心率为，则其渐近线方程为( )x2 a2y2 b23Ay2xByx2CyxDyx1 222B B 在双曲线中，离心率e

6、 ，可得 ，故所求的双曲线的渐近线方c a3b a2程是yx.2利用几何性质求双曲线方程(1)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，x2 a2y2 b2OAF是边长为 2 的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )A1 B1x2 4y2 12x2 12y2 4Cy21Dx21x2 3y2 34(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)的双曲线方程为_. 1 2【导学号：46342097】思路探究 (1)OAF是边长为 2 的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率求a，b(2)方法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解方法：待定系数法求解解析 (1)不妨设点A在第

7、一象限，由题意可知c2，点A的坐标为(1，)，所以3，又c2a2b2，所以a21，b23，故所求双曲线的方程为x21，故选 Db a3y2 3(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为yx，1 2若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：1(a0，b0)，则 . x2 a2y2 b2b a1 2因为点A(2，3)在双曲线上，所以1. 4 a29 b2联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则 . y2 a2x2 b2a b1 2因为点A(2，3)在双曲线上，所以1. 9 a24 b2联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程为1.y2 8x2 32法二：由双曲线的

8、渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0)1 2x2 22因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.22 22故所求双曲线的标准方程为1.y2 8x2 32答案 (1)D (2)1y2 8x2 32规律方法 1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本5量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0

9、，n0)；如果两条n mx2 m2y2 n2渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线1 或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2或(0)x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2 a2y2 b2(0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置x2 a2y2 b2y2 a2x2 b2跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线 2x3y0 为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1 具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；y

10、2 4x2 3(3)过点(2,0)，与双曲线1 离心率相等；y2 64x2 16解 (1)由题意可设所求双曲线方程为 4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.y2 32 9x2 8(2)设所求双曲线方程为(0)y2 4x2 3由点M(3，2)在双曲线上得 ，得2.4 49 3故所求双曲线的标准方程为1.x2 6y2 8(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的x2 64y2 16坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；1 16x2 46当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标y2

11、 64x2 16代入方程得 0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，x2 a2y2 b2ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以3M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.故选 D3x2 a2y2 b22答案 (1)D (2)D规律方法 求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e 得解.c a7(2)若已知a，b，可直接利用e得解.(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0 求解.跟踪训练3(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右

12、焦点，双曲线上存在一x2 a2y2 b2点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为( )9 4A B C D34 35 39 4B B 考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知9b24a2 4|PF1|PF2|ab，ab，得 (负值舍去)该双曲线的离心率e 9 49 49b24a2 4b a4 3c a .5 3(2)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交Cx2 a2y2 b2于点P.若点P的横坐标为 2a，则C的离心率为_2

13、如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标 2a代入13x2 a2y2 b2中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，3此时kPF2 ，3bc2ab a得到c(2)a，3即双曲线C的离心率e 2.c a3直线与双曲线的位置关系8探究问题1直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0,2)和双曲线1 只有一个公共点的直线有几条？x2 16y2 9提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线已知双曲线C：x2y21 及直线l：ykx1，(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交

14、点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数2k的值思路探究 直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系解 (1)联立方程组Error!消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则Error!解得k，且k1.22若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)22(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，2k 1k2x1x2，2 1k2|AB|x1x2|1k21k2.(1k2)(84

15、k2) (1k2)2又点O(0,0)到直线ykx1 的距离d，11k2SAOB |AB|d，1 21 284k2 (1k2)22即 2k43k20，解得k0 或k.629实数k的值为或 0.62规律方法 直线与双曲线位置关系的判断方法1方程思想的应用把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0 的形式，在a0 的情况下考察方程的判别式(1)0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点(2)0 时，直线与双曲线只有一个公共点(3)0，符合题意，3 4所求直线MN的方程为yx ，3 45 4即 3x4y50.10法二 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，Error

16、!两式相减，得yy，x2 2x2 1 42 22 1.y2y1 x2x1x2x1 4(y2y1)点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN .y2y1 x2x1x2x1 4(y2y1)3 4经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1 (x3)，3 4即 3x4y50.当 堂 达 标固 双 基1双曲线1 的渐近线方程是( )x2 4y2 9Ayx Byx2 34 9CyxDyx3 29 4C C 双曲线的焦点在x轴上，且a2，b3，因此渐近线方程为yx.3 22已知双曲线1(a0)的离心率为 2，则a( )x2 a2y2 3A2 B C D16252D D 由题意得e2，2a，a23aa

17、23a234a2，a21，a1.3若一双曲线与椭圆 4x2y264 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )Ay23x236Bx23y236C3y2x236D3x2y236A A 椭圆 4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的x2 16y2 6433211焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236.3234直线ymx1 与双曲线x2y21 有公共点，则m的取值范围是( ) 【导学号：46342100】Am或m22Bm且m022CmR RDm22D D 由Error!得(1m2)x22mx20，由题意知 1m20，或Error!解得m.225求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程 6解 渐近线方程为 yx，设双曲线方程为 x23y2.将(3，2)代入求得333，所以双曲线方程为 y21.x23