求三角形面积的海伦公式.pdf
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1、求三角形面积的海伦公式求三角形面积的海伦公式若ABC的三边长分别为a，b，c，则SABC(a b c)(a b c)(a b c)(a bc)4p(p a)(p b)(p c),其中p是ABC的半周长,即p (a b c)2。（证明一）设边c上的高为h。由于AD DB c，而在ADC和DBC中，根据勾股定理有222AD AC CD222DB CB CDAD b2h2;DB a h.C22bhaBAcD于是有即两边平方，化简得两边平方,化简得b2h2a2h2 c,a2h2 cb2h2.2c b2h2 b2c2a2.(b2c2a2)2h b 24c2仔细化简一下，得SABC11(b2c2a2)22
2、ch c b.224c21SABC44b2c2(b2c2a2)214b2c2(a42a2b22a2c2b42b2c2c4)414a42a2b2 2a2c2b4 2b2c2c414(a b c)(a b c)(a b c)(a bc).（证明二)SABC112absinC 2ab 1cos2C在ABC中，由余弦定理得C a2b2c2cos2ab.代入（1)式,化简得S111(a2ABC2absinC 2ab 1cos C b2c2)222ab 1(2ab)214(ab)2(a2b2c2)214(ab)222244(a b)c 2.化简得S1ABC4(a bc)(a bc)(a bc)(a bc).1）（
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