椭圆中焦点三角形的性质含答案.pdf

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1、-焦点三角形习题焦点三角形习题b2性质一：性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为2ax2y2性质二：性质二：已知椭圆方程为221(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形abPF1F2中F1PF2,则SF1PF2 b2tan证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，由椭圆的第一定义得r1 r22a,(r1 r2)4a.222在F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos(2c).222.配方得：(r1 r2)2r1r22r1r2cos4c.22即4a 2r1r2(1cos)4c.22由任意三角形的面积公式得：SF1PF21sinr1r2sin b2

2、b221cos2sin22 b2tan.22cos22cosy2x2同理可证，在椭圆221（ab0）中，公式仍然成立.abx2y2性质三：性质三：已知椭圆方程为221(a b 0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形abPF1F2中F1PF2,则cos1 2e2.性质三证明：设PF1 r1,PF2 r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：2a2 2c22a2 2c2111 2e2.命题得证。2r r2a2(12)22例1.x2y21上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF2 60，若 P 是椭圆10064求F1PF2的面积.z.-x2y21中，a 10,b 8,c 6,而 60.例 1解法一：

3、在椭圆10064记|PF1|r1,|PF2|r2.点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：r1 r2 2a 20.2在F1PF2中，由余弦定理得：r1 r2 2r1r2cos(2c).22配方，得：(r1 r2)3r1r2144.24003r1r2144.从而r1r2256.3x2y22解法二：在椭圆1中，b 64，而10064 60.x2y2例 2.已知 P 是椭圆1上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，259若PF1PF2|PF1|PF2|1，则F1PF2的面积为（）2A.3 3B.2 3C.解：设F1PF2，则cosSF1PF2 b2tan3D.1，60.233PF1PF2|PF1|P

4、F2|2 9tan30 3 3.故选答案 A.x2y2例 3.已知椭圆1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上.若 P、F1、F2是一169个直角三角形的三个顶点，则点P 到x轴的距离为（）A.9999 79 7B.C.D.或44775b29解：若F1或F2是直角顶点，则点 P 到x轴的距离为半通径的长；若 P 是直角顶点，a4设点 P 到x轴的距离为 h，则SF1PF2 b2tan7h 9，h 29tan 45 9，又SF1PF21(2c)h 7h,29 7.故选 D.7y2x21.椭圆1上一点 P 与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则F1PF2的面积为4924（）A.20B.22

5、C.28D.24.z.-解：F1PF290,b224，SF1PF2 b2tan2 24tan45 24.故选 D.x22.椭圆 y21的左右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，当F1PF2的面积为 1 时，4PF1PF2的值为（）A.0B.1C.3D.6解：设F1PF2，SF1PF2 b2tan2 tan21，2 45,90，PF1PF20.故选 A.x23.椭圆 y21的左右焦点为F1、F2，P 是椭圆上一点，当F1PF2的面积最大时，4PF1PF2的值为（）A.0B.2C.4D.2解：a 2,b 1,c 3，设F1PF2，SF1PF2 b2tan tan，22当F1PF2的面积最大时，为最

6、大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，120，PF1PF2|PF1|PF2|cos a2cos120 2.故答案选 D.4已知椭圆x2a2 y21（a1）的两个焦点为F1、F2，P 为椭圆上一点，且F1PF2 60，则|PF1|PF2|的值为（）A11B3C243D23解：F1PF2 60，b 1，SF1PF2 b2tan又SF1PF2 tan30 3，313|PF1|PF2|sin|PF1|PF2|，24334，从而|PF1|PF2|.|PF1|PF2|433故答案选 C.5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点 P 在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为F1PF2 90

7、，F1PF2的面积是 20，且 c/a=5/3，求椭圆的标准方程.解：设F1PF2，则90.SF1PF2 b2tan2 b2tan45 b2 20，.z.-c又e aa2b25，a3205b2512，即12.99aa解得：a245.x2y2y2x2所求椭圆的标准方程为1或1.45204520专题专题 2 2：离心率求法：离心率求法：1若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()2356A.B.C.D.22331.解析：选 A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则B2OF2为等腰直角三角形，ca2.22若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，

8、则该椭圆的离心率是()4321A.B.C.D.55552.解析：选 B.由题意知 2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.35e22e30.e 或e1(舍去)53若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_3.解析：依题意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，c44椭圆的离心率为e .答案：a55*2y24.已知A为椭圆221(ab0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭ab圆交于B、C两点，若当AC垂直于*轴时，恰好有|AF1|AF2|31，求该椭圆的离心率4.解：设|A

9、F2|m，则|AF1|3m，2a|AF1|AF2|4m.又在 RtAF1F2中，|F1F2|AF1|2|AF2|222m.2c|F1F2|22m2e.2a2a4m25如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，.z.-2其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率35.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，23b)，则MF1F2为直角三角形在 RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即 4c249b2|MF1|2.而|MF1|MF2|4c2429b23b2a，整理得 3c23a22ab.又c2a2b2，所以 3b2a.所以b24a29.e2c2a2b2b255a2a21a29，e3.法二：设椭圆方程为*2y2a2b21(ab0)，则M(c，2c24b23b)代入椭圆方程，得a29b21，所以c25c55a29，所以a3，即e3.椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二离心率求法：离心率求法：.y yPF F1 1O OF F2 2*z.