高三数学解三角形复习资料【超好资料】.pdf

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1、20092010 学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料第 27 讲解三角形解三角形一一【课标要求】【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二二【命题走向】【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用

2、。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题三三【要点精讲】【要点精讲】1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC中，C90，ABc，b，BCa。AC（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、acbcabB、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等abc 2R。sin Asin BsinC（R为外接圆半径）

3、（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）absinCbcsinAacsinB；a2sin BsinCb2sinCsin Ac2sin Asin B（3）；2sin(B C)2sin(C A)2sin(A B)121212121212（4）2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）abc；4R12（6）s(s a)(s b)(s c)；s(a b c)；

4、（7）rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=；（2）边与边关系：a+b c，b+c a，c+a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理abc 2R（Rsin Asin Bs

5、inC为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b22bccosC，b2=a2+c22accosB，a2=b2+c22bccosA；b2 c2 a2sin Aa它们的变形形式有：a=2RsinA，cos A2bcsin Bb。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。sinA BCA BC cos,cos sin；2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为

6、周长之半。（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。四四【典例解析】【典例解析】题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，AB a，AC b，ab 0，SABC15，a 3,b 5，则BAC 4（）A.30 B 150 C1500 D30或1500答案 C例 1（1）在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形；（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）。解析：

7、（1）根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；根据正弦定理，asinB42.9sin81.80b80.1(cm)；sinAsin32.00根据正弦定理，asinC42.9sin66.20c74.1(cm).sinAsin32.00（2）根据正弦定理，bsinA28sin400sinB0.8999.a20因为00B1800，所以B640，或B1160.当B640时，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760c30(cm).sinAsin400当B1160时，asinC20sin240C180(AB)180(40 116

8、)24，csinA13(cm).sin40000000点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例 2（1）在ABC 中，已知a2 3，c 6 2，B600，求 b 及 A；（2）在ABC 中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形解析：（1）b2a2c22accosB=(2 3)2(62)222 3(6 2)cos450=12(6 2)24 3(31)=8b2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a2(2 2)2(6 2)2(2 3)21,解法一：cosA2bc2

9、22 2(6 2)0A60.a2解法二：sinAbsinB3sin450,2 2又6 22.41.43.8,2 321.83.6,ac，即00A900,0A60.（2）由余弦定理的推论得：b2c2a287.82161.72134.62cosA0.5543,2bc287.8161.7A56020；c2a2b2134.62161.7287.82cosB0.8398,2ca2134.6161.7B32053；90047.C1800(AB)1800(5602032053)点评：应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。题型 2：三角形面积例 3在ABC中，sin A cos A 和ABC的面积。

10、2，AC 2，AB 3，求tan A的值2解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。2,2sin A cos A 2cos(A 45)cos(A 45)1.2又0 A 180,A45 60,A 105.13 23,13tan A tan(45 60)sinAsin105 sin(45 60)sin45 cos60 cos45 sin60 2 6.4SABC112 63AC ABsin A 2 3(2 6)。2244解法二：由sin AcosA计算它的对偶关系式sin AcosA的值。22sin A cos A(sin Acos A)22sin Acos A 12120 A 180,sin A 0

11、,cos A 0.(sin Acos A)212sin Acos A,6232sin A cos A+得sin A 2 6。4得cos A 2 6。4从而tan Asin A2 64 23。cos A42 6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢例 4（2009 湖南卷文）在锐角ABC中，BC 1,B 2A,则于，AC的取值范围为.AC的值等cos A答案 2(2,3)解析设A,B 2.由正弦定理得ACBCACAC,1 2.sin2sin2coscos由锐角ABC得0 2

12、 90 0 45，23 cos，22又0 180 3 90 30 60，故30 45 AC 2cos(2,3).例 5（2009 浙江理）（本题满分 14 分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA2 5，AB AC 325（I）求ABC的面积；（II）若bc 6，求a的值A2 5A34，cos A 2cos21,sin A，又由25255解（1）因为cosAB AC 3得bccos A 3,bc 5，SABCbcsin A 212（2）对于bc 5，又bc 6，b 5,c 1或b 1,c 5，由余弦定理得a2 b2c22bccos A 20，a 2 5例 6（200

13、9 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2c2 2b，且sin AcosC 3cos AsinC,求 b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2c2 2b左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sin AcosC 3cos AsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sin AcosC 3cos AsinC,则由正弦定理及余弦定理a2b2c2b2c2a2 3c,化简并整理得：2(a2c2)b2.又由已知有:a

14、2ab2bca2c2 2b4b b2.解得b 4或b 0(舍）.解法二:由余弦定理得:a2c2 b22bccos A.又a2c2 2b,b 0.所以b 2ccosA2又sin AcosC 3cos AsinC，sin AcosC cosAsinC 4cos AsinCsin(AC)4cos AsinC，即sin B 4cos AsinC由正弦定理得sin B sinC，故b 4ccos A由，解得b 4.评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强

15、化训练bc题型 4：三角形中求值问题例 7 ABC的 三 个内角 为A、B、C，求 当 A 为 何值 时，cos A2cosBC取得最大值，并求出这个最大值。2B+C AB+CA解析：由 A+B+C=，得=，所以有 cos=sin。22222B+CAAA2AcosA+2cos=cosA+2sin =12sin+2sin=2(sin22222123)+；22A1B+C3当 sin =，即 A=时,cosA+2cos取得最大值为。22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。例 8（2009 浙江文）（本题满分 14 分）在ABC中，角

16、A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA2 5，AB AC 325（I）求ABC的面积；（II）若c 1，求a的值A2 5231 2()1255解（）cos A 2cos2又A(0,)，sin A 1cos2A，而AB.AC AB.AC.cos A bc 3，所以bc 5，所以ABC的面积为：bcsin A 5 21212454535（）由（）知bc 5，而c 1，所以b 5所以a b2c22bccosA 25123 2 5点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力题型 5：三角形中的三角恒等变换问题例 9在

17、ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及bsin B的值。c分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b=ac定理可求bsin B的值。c2b2可变形为c=a，再用正弦解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABCb2 c2 a2中，由余弦定理得：cosA=2bc=bc1=，A=60。2bc2在ABC中，由正弦定理得 sinB=bsin A，b2=ac，A=60，absin Bb2sin60=sin60=32cac。解法二：在ABC中，

18、由面积公式得1bcsinA=1acsinB。22b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。bsin B=sinA=c32。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例 10 在 ABC中，已 知A、B、C成 等 差 数 列，求tanACAC tan3tantan的值。2222解析：因为A、B、C成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而ACAC60，故 tan3.由两角和的正切公式，22AC tan223。得AC1tantan22tanACAC tan3 3tantan,2222所以tantanACAC tan3tantan3。2222

19、点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 6：正、余弦定理判断三角形形状例 11在ABC中，若2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例 12（2009 四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin A 51

20、0,sin B 510（I）求A B的值；（II）若ab 2 1，求a、b、c的值。解（I）A、B为锐角，sin A 5105,sin B 10cos A 1sin2A 2 55,cos B 1sin2B 3 1010cos(A B)cos AcosBsin Asin B 2 553 101055101022.0 A B A B 4（II）由（I）知C 324，sinC 2由asin Absin BcsinC得5a 10b 2c，即a 2b,c 5b又ab 2 12bb 2 1b 1a 2,c 5题型 7：正余弦定理的实际应用例 13（2009 辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面

21、垂BC直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为750，300，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为600，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，2，6）解:在ABC 中，DAC=30,ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA，在ABC 中，ABAC,sin BCAsin ABC即 AB=ACsin603 2 6,sin1520因此，BD=3 2 6 0

22、.33km。20故 B，D 的距离约为 0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。（2）（2009 宁夏海南卷理）（本小题满分 12 分）为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B 间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算 M，N间的距离的步骤1,1解：方案

23、一：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角；B点到 M，N 的俯角2,2；A，B 的距离 d（如图所示）.第一步：计算 AM.由正弦定理AM d sin2；sin(12)第二步：计算 AN.由正弦定理AN d sin2；sin(21)第三步：计算 MN.由余弦定理MN AM2 AN22AM AN cos(11).方案二：需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角1，1；B 点到 M，N 点的府角2，2；A，B的距离 d（如图所示）.d sin1；sin(12)第一步：计算 BM.由正弦定理BM 第二步：计算 BN.由正弦定理BN d sin1；sin(21)第三步：计算 MN.由余弦定

24、理MN BM2 BN22BM BN cos(22)21.（2009 四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin A 510,sin B 510（I）求A B的值；（II）若ab 2 1，求a、b、c的值。510,sin B 510解（I）A、B为锐角，sin A cos A 1sin2A 2 53 10,cos B 1sin2B 510cos(A B)cos AcosBsin Asin B 2 53 105102.51051020 A B A B 423，sinC 24（II）由（I）知C 由abc得sin Asin BsinC5a 10b 2c，即a

25、2b,c 5b又ab 2 12bb 2 1b 1a 2,c 5点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t)t 4，这些解题思维的拐点，t你能否很快的想到呢五五【思维总结】【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=，求角C。abc斜2S，特别地，r直；2abc2三角形内切圆的半径：r 3三角学中的射影定理：在ABC 中，b acosC ccosA，4两内角与其正弦值：在ABC 中，A B sin A sinB，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。