2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第一课时 椭圆的简单几何性质课时作业.doc

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1、1第一课时第一课时 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的简单几何性质1,2 求椭圆的标准方程3,9 椭圆的离心率4,7,10 综合问题5,6,8,11,12,13 【基础巩固】 1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是( D )(A)(-1,0),(1,0) (B)(-6,0),(6,0)(C)(-,0),(,0)(D)(0,-),(0,) 解析:因为椭圆的焦点在 y 轴上,且 a2=6, 所以长轴的两个端点坐标为(0,-),(0,). 故选 D.2.椭圆+=1 和+=k(k0)具有( D )(A)相同的长轴(B)相同的焦点 (C)相同的顶点(D)相同

2、的离心率解析:椭圆+=1 和+=k(k0)中,不妨设 ab,椭圆+=1 的离心率 e1=,椭圆+=1(k0)的离心率 e2=.故选 D.3.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( B )(A)+=1(B)+=1 或+=1(C)+=12(D)+=1 或+=1解析:因为 a=4,e= , 所以 c=3. 所以 b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是+=1 或+=1.故选 B. 4.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为 2x2+3y2=m(m0)+=1,所以 c2=-=.所以 e2= . 故选

3、B.5.(2018衡水周测)若 AB 为过椭圆+=1 中心的线段,F1为椭圆的焦点,则F1AB 面积的最大值为( B )(A)6(B)12(C)24(D)48解析:如图,=+=2.又因为 OF1=c=3 为定值, 所以点 A 与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,此时AOF1的面积最大为 43=6.所以的最大值为 12.故选 B.36.(2018昆明质检)椭圆+=1 上的点到直线 x+2y-=0 的最大距离是( D )(A)3(B)(C)2(D) 解析:设与直线 x+2y-=0 平行的直线为 x+2y+m=0 与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0, 即 4y2+4my+4y2-1

4、6+m2=0 得2y2+my-4+=0.=m2-8（-4）=0,即-m2+32=0, 所以 m=4. 所以两直线间距离最大是当 m=4时,dmax=.故选 D.7.(2016上饶高二期中)已知椭圆 C:+=1(ab0),直线 l 为圆 O:x2+y2=b2的一条切线,若直线 l 的倾斜角为 ,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为 .解析:直线 l 的倾斜角为 ,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线 l:y=tan (x-a), 即 y=(x-a),直线 l 为圆 O:x2+y2=b2的一条切线,则=b,即 b=a,c= a,则 e= = .4答案:8.(2018许昌高二月考)若 F1,F2是椭

5、圆 C:+=1 的焦点,则在 C 上满足 PF1PF2的点 P的个数为 . 解析:因为椭圆 C:+=1,所以 c=2. 所以 F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为B(0,2),A(0,-2), 所以F1BF2=F1AF2=90. 又短轴端点与 F1,F2连线所成的角是椭圆上动点 P 与 F1,F2连线所成角中的最大角, 所以在 C 上满足 PF1PF2的点有 2 个. 答案:2 【能力提升】9.已知椭圆 C:+=1(ab0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B两点.若AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( A )(A)+=1(B)+y2=

6、1(C)+=1 (D)+=1解析:e= =,又AF1B 的周长为 4, 所以 4a=4, 所以 a=, 所以 c=1. 所以 b2=a2-c2=2.故 C 的方程为+=1.故选 A.10.(2018上饶质检)已知圆 C1:x2+2cx+y2=0,圆 C2:x2-2cx+y2=0,椭圆 C:+=1(ab0),半焦距为 c,若圆 C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( B )5(A) ,1)(B)(0, )(C),1)(D)(0,解析:圆 C1,C2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,所以只需 2c3 时,A(0,-),B(0,),M(-,0). 由题意可知AMO60,

7、所以|OA|3,|-|3,3,m9.故选 A.12.设椭圆 E 的方程为+=1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为.(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MNAB.(1)解:由题设条件知,点 M 的坐标为( a, b),又 kOM=,6从而=.进而得 a=b,c=2b,故 e= =.(2)证明:由 N 是线段 AC 的中点知,点 N 的坐标为( ,- ),可得=( ,).又=(-a,b),从而有=- a2+ b

8、2= (5b2-a2). 由(1)可知 a2=5b2,所以=0,故 MNAB. 【探究创新】13.在直线 l:x-y+9=0 上任取一点 P,过点 P 以椭圆+=1 的焦点为焦点作椭圆.(1)P 点在何处时,所求椭圆的长轴最短? (2)求长轴最短时的椭圆方程. 解:|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是 P 到 F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化 为在直线 l 上求一点 P,使|PF1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接 PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点 F2关于直线 l:y=x+9 的对称点 F2,则 F2(-9,12),那么 F1F2与直线 l 的交点即为所求的点 P. 易知 F1F2的方程为 2x+y+6=0. 与直线 y=x+9 联立,得 P(-5,4). (2)由(1)知 2a=6,a=3, 所以 b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为+=1.