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1、3.13.1空间向量及其运算(练习)空间向量及其运算(练习)班级:姓名:学号:学习目标1.熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示;2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式解决有关问题.例例 2 2如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC 90,CB 1,CA 2,AA16,点M是CC1的中点,求证:AM BA1.学习过程一、课前准备:(阅读课本 p p115)复习复习:学习评价1.具有和的量叫向量向量,叫向量的模向量的模;叫零向量零向量,记着;当堂检测具有叫单位向量单位向量.2.向量的加法和减法的运算法则
2、运算法则有法则和法则.3.实数 与向量 a a 的积是一个量,记作,其长度和方向规定如下:(1)|a a|.(2)当 0 时,a a 与 A.A.;当 0 时,a a 与 A.A.;当 0 时,a a.4.向量加法和数乘向量运算律向量加法和数乘向量运算律:交换律:a ab b结合律:(a ab b)c c数乘分配律:(a ab b)5.表示空间向量的所在的直线互相或,则这些向量叫共线向量,共线向量,也叫平行向量平行向量.空间向量共线定理共线定理:对空间任意两个向量a,b(b 0),a/b的充要条件是存在唯一实数,使得;推论:推论:l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线,对空间的任意
3、一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是6.空间向量共面空间向量共面:共面向量:同一平面的向量.定理:定理:对空间两个不共线向量a,b,向量p与向量a,b共面的充要条件是存在,使得.推论:推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是:存在,使 对空间任意一点 O,有7.向量的数量积向量的数量积:ab.8.单位正交分解:单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相,长度都为,则这个基底叫做单位正交基底,通常用i i,j j,k k表示.9.空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a a,且设 i i、j j、k k 为 x
4、轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组x,y,z,使得a xi y j zk,则称有序实数组x,y,z为向量 a a的坐标,记着p.10.设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB.11.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算:设 a a(a1,a2,a3),b b(b1,b2,b3),则a ab b;a ab b;a aa ab b 典型例题例例 1 1 如图,空间四边形 OABC 中,OA a,OB b,OC c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,点N为BC的中点,则MN.1在下列命题中:若a a、b b 共线,则a a、b b 所在的直线平行;若a a、
5、b b 所在的直线是异面直线,则a a、b b 一定不共面;若a a、b b、c c 三向量两两共面,则a a、b b、c c 三向量一定也共面;已知三向量a a、b b、c c,则空间任意一个向量 p p 总可以唯一表示为 p pxa ayb bzc c其中正确命题的个数为()A0B.1C.2D.32已知 a a(2,1,3),b b(1,4,2),c c(7,5,),若 a a、b b、c c 三向量共面,则实数=A.627B.637C.647D.6573若 a a、b b 均为非零向量,则a ab b|a a|b b|是 a a 与 b b 共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件
6、C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4 已知ABC 的三个顶点为 A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5,1),则 BC 边上的中线长为()A2B3C4D55.a 3i 2 j k,b i j 2k,则5a 3b()A15B5C3D16直三棱柱 ABCA1B1C1中,若CA a a,CB b b,CC1 c c,则A1B()A.a a b b c cB.a a b b c cC.a a b b c cD.a a b b c c7.m a,m b,向量n a b(,R且、0)则()Am/nB、m与n不平行也不垂直 C.m n,D以上情况都可能.8.已知a+b+c0,|a|2,|b|
7、3,|c|19,则向量a与b之间的夹角 a,b 为()A30B45C60D以上都不对9.已知a 1,1,0,b 1,0,2,且ka b与2a b互相垂直,则k的值是()A.1B.15C.35D.7510.若 A(m1,n1,3),B.(2m,n,m2n),C(m3,n3,9)三点共线,则 m+n=11、如图,在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.求证:EF CF;求EF与CG所成角的余弦;求CE的长.1第三章第三章空间向量(复习)空间向量(复习)班级:姓名:学号:学习目标1.掌握空间向量的运算及其坐标运算;2.立体几何问题的解决熟练掌
8、握向量是很好的工具.学习过程一、课前准备(预习教材 P115116,找出惑之处)复习复习 1:如图,空间四边形OABC中,OA a,OB b,OC c.点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则MN 复习复习 2 2:平行六面体ABCD ABCD中,AB aAD b,AA c,点 P,M,N分别是CA,CD,CD的中点,点 Q 在CA上,且CQ:QA 4:1,用基底a,b,c表示下列向量:AP;AM;AN;AQ.主要知识点:1.空间向量的运算及其坐标运算:空间向量的运算及其坐标运算:空间向量是平面向量的推广,有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成“三维的”了.2.立体几何
9、问题的解决向量是很好的工具立体几何问题的解决向量是很好的工具平行与垂直的判断角与距离的计算 典型例题例例 1 1如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg,在它的顶点处分别受力F1、F2、F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60,且F1 F2 F3 200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板?小结小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学中向量的问题来解决,具体方法有坐标法和直接向量运算法,对能建立坐标系的题,尽量使用坐标计算会给计算带来方便.例例 2 2 如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,ABC 90,CB 1,CA
10、 2,AA16,点 M 是CC1的中点,求证:AM BA1.例例3 3如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,点 E,F 分别在BB1,DD1上,且AE A1B,AF A1D.求证:A1C 平面AEF;当AB 4,AD 3,AA1 5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的余弦值.动手试试练练 1 1.如图,正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a.试建立适当的坐标系,写出点A,B,A1,C1的坐标求AC1的侧面ABB1A1所成的角.2练练 2 2.已知点 A(1,-2,0),向量a 3,4,12,求点 B 的坐标,使得AB/a,且AB 2a.三、总结提升 学习小结1.空
11、间向量的运算与平面向量的方法相同;2.向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法.知识拓展若二面角两个面的法向量分别是n1,n2,二面角为则cos cos n1,n2,而cos n1,n2n1n2|n|n.12|学习评价 当堂检测1.已知a 1,1,0,b 1,0,2,且(ka b)(2a b),则 k;2.已知a 1t,2t 1,0,b 2,t,t,则ba的最小值是()A.5B.6C.2D.33.空间两个单位向量OA m,n,0,OB 0,n,p与OC 1,1,1的夹角都等于4,则cosAOB 4.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,异面直线AB,CD所成角的余弦值为.5.正方体ABCD A11B1C1D1的棱长为a,AM 3AC1,N 是BB1的中点,则MN()A.21615156aB.6aC.6aD.3a6、如图,在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F,G分别为DD1,BD,BB1的中点.求证:EF CF;求EF与CG所成角的余弦值;求CE的长.7 7、正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 1,棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线CC1上求一点 N,使MN AB.3
限制150内