等差数列前n项和基础练习题.pdf

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1、等等差差数数列列前前 n n 项项和和基基础础练练习习题题公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-等等差差数数列列性性质质总总结结数列数列an是等差数列是等差数列1.1.等差数列的定义式：等差数列的定义式：an an1 d（d d为常数）（为常数）（n 2）；）；2 2等差数列通项公式：等差数列通项公式：an a1(n1)d dn a1d(nN*)，首项首项:a1，公差，公差:d:d，末项，末项:an推广：推广：an am(n m)d从而从而d an amn m；3 3等差中项等差中项（1 1）如果）如果a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做

2、a与与b的等差中项即：的等差中项即：A a b2或或2A a b（2 2）等差中项：数列）等差中项：数列an是等差是等差数列数列 2an an-1 an1(n 2,nN+)2an1 an an24 4等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式：项和公式：（其中（其中A A、B B是常数，所以当是常数，所以当d d0 0时，时，S Sn n是关于是关于n n的二次式且常数项为的二次式且常数项为0 0）特别地，当项数为奇数特别地，当项数为奇数2n1时，时，an1是项数为是项数为 2n+12n+1 的等差数列的中间项的等差数列的中间项Sn1a1a2n12n1222n1an1（项数为奇数的等差数列的各

3、项和等于（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）项数乘以中间项）5 5等差数列的判定方法等差数列的判定方法（1 1）定义法：若定义法：若an an1 d或或an1 an d(常数常数n N)an是等是等差数列差数列（2 2）等差中项：数列等差中项：数列an是等差是等差数列数列 2an an-1 an1(n 2)2an1 an an2an kn b（其中（其中k,b是常数）。是常数）。（4 4）数列）数列an是等差数列是等差数列S2n An Bn,（其中（其中A A、B B是常是常数）。数）。6 6等差数列的证明方法等差数列的证明方法定义法：若定义法：若an an1 d或或an1 an

4、 d(常数常数n N)an是等是等差数列差数列等差中项性质法：等差中项性质法：2an an-1 an1(n 2，nN)7.7.提醒：提醒：（1 1）等差数列的通项公式及前）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到和公式中，涉及到 5 5 个元素：个元素：a1、d、n、an及及Sn，其中，其中a1、d称作为基本元称作为基本元素。只要已知这素。只要已知这 5 5 个元素中的任意个元素中的任意 3 3个，便可求出其余个，便可求出其余 2 2 个，即知个，即知 3 3 求求 2 2。（2 2）设项技巧：）设项技巧：一般可设通项一般可设通项an a1(n1)d奇数个数成等差，可设为，奇数个数成等差，可设

5、为，a2d,ad,a,ad,a2d（公差为（公差为d）；）；偶数个数成等差，可设为，偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（注意；公差（注意；公差为为 2 2d）8.8.等差数列的性质：等差数列的性质：（1 1）当公差）当公差d 0时，时，等差数列的通项公式等差数列的通项公式an a1(n1)d dna1d是关于是关于n的一次的一次函数，且斜率为公差函数，且斜率为公差d；前前n和和Sn1)n na1n(2d d2n2(ad12)n是关是关于于n的二次函数且常数项为的二次函数且常数项为 0.0.（2 2）若公差）若公差d 0，则为递增等差数，则为递增等差数列，若公差列，若公差d 0

6、，则为递减等差数，则为递减等差数列，若公差列，若公差d 0，则为常数列。，则为常数列。（3 3）当）当mn pq时时,则有则有am an ap aq，特别地，当，特别地，当mn 2p时，则有时，则有am an 2ap.注：注：a1an a2an1 a3an2，（4 4）若）若an、bn为等差数列，则为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列都为等差数列(5)(5)若若 an 是等差数列，则是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，也成等差数列，也成等差数列（6 6）数列）数列an为等差数列为等差数列,每隔每隔k(kk(k N*)项取出一项项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)

7、仍为等差数列仍为等差数列（7 7）设数列）设数列an是等差数列，是等差数列，d d 为公为公差，差，S奇是奇数项的和，是奇数项的和，S偶是偶数项项是偶数项项的和，的和，Sn是前是前 n n 项的和项的和。当项数为偶数。当项数为偶数2n时，时，。当项数为奇数。当项数为奇数2n1时，则时，则（其中（其中an+1是项数为是项数为 2n+12n+1 的等差的等差数列的中间项）数列的中间项）（8 8）bn的前的前n和分别为和分别为An、Bn，且，且AnB f(n)，n则则anb(2n1)anbA2n1 f(2n1).n(2n1)nB2n1（9 9）等差数列）等差数列an的前的前 n n 项和项和Sm n

8、，前前 m m 项和项和Sn m，则前，则前 m+nm+n 项和项和Smn mnan m,am n,则则anm 0(10)(10)求求Sn的最值的最值法一：因等差数列前法一：因等差数列前n项是关于项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性最值，但要注意数列的特殊性nN*。法二：（法二：（1 1）“首正”的递减等差）“首正”的递减等差数列中，前数列中，前n项和的最大值是所有非负项和的最大值是所有非负项之和项之和即当即当a1 0，d 0，由由an 0an1 0可得可得Sn达到最大值时的达到最大值时的n值值（2 2）“首负”的递增等差数列

9、“首负”的递增等差数列中，前中，前n项和的最小值是所有非正项之项和的最小值是所有非正项之和。和。即即 当当aan 01 0，d 0，由由0可得可得an1Sn达到最小值时的达到最小值时的n值值或求或求an中正负分界项中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：两类方法：基本量法：即运用条件转化基本量法：即运用条件转化为关于为关于a1和和d的方程；的方程；巧妙运用等差数列的性质，巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量少运算量等差数列前 n 项和练习题一、填空题1.等 差 数 列an的 前n项 和S2

10、n n 3n 则 此 数 列 的 公 差d。2.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S3 5,则a4。3.设等差数列an的前n项和为Sn，若S9 72,则a2 a4 a9=。4.已知an为等差数列，a2 a812，则a5=。5.已知an为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则 a5=_。6.等差数列an的前n项和为Sn，且 S36，a34，则公差d=。7.等比数列an的前 n 项和为Sn，若S2 6,S4 30,则S6=。8.等差数列an的前 n 项和为Sn，已知a5 a7 4,a6 a8 2，则当Sn取最大值时 n 的值是。9.设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2

11、a380，则a11 a12 a13。10.在 等 差 数 列an中，已 知a1 a2 a3 a4 a5 20，那 么a3的 值为。11.已知数列an的前n项和Sn3n22n，求an。12.设等差数列an的前n项和为Sn，若aS5 5a3则9S。513.设等差数列an的前n项和为Sn，若S9 72,则a2a4a9=。二、计算题1.已知等差数列 an中，a1，d=1，求该数列前 10 项和S10。2.已知等差数列an的公差为正数，且a3a7 12，a4a6 4，求S20。3.等差数列an中，S10=100，求a1a10的值。4.等差数列an的前 m 项的和为 30，2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和。5.已知数列an，若an 2n13，求Sn达到最大值时 n 的值，并求Sn的最大值。6.由下列等差数列的通项公式，求出首项、公差和前 n 项和。（1）an 3n6;(2).an 2n77.(1)设等差数列 an的通项公式是3n2，求它的前 n 项和公式；(2)设等差数列an的前 n 项和公式是Sn 5n23n，求它的前 3项，并求它的通项公式。