【教育资料】第1章 1.2 基本不等式学习精品.pdf

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1、教育资源1.21.2基本不等式基本不等式1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.基础初探教材整理基本定理(重要不等式及基本不等式)1.定理 1设 a，bR R，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号成立.2.定理 2ab如果 a，b 为正数，则2 ab，当且仅当ab 时，等号成立.这个不等式ab我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时，我们称2为正数 a，b 的算术平均值，称 ab为正数 a，b 的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.定理 3abc3如果 a，b，c

2、 为正数，则3abc，当且仅当abc 时，等号成立.4.定理 4如果 a1，a2，an为 n 个正数，则a1a2an时，等号成立.设 0ab，则下列不等式中正确的是()abA.ab ab2abB.a ab2babC.a abb2abD.aba2ba1a2anna1a2an，当且仅当n教育资源教育资源ab【解析】0ab，a20，即 aba，故选 B.【答案】B质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型利用基本不等式证明不等式a2b2c2已知 a，b，c 都是正数，求证：bcaabc.【导学号：38000004】【精彩

3、点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系.【自主解答】a0，b0，c0，a2bb2a2b2a，bb2c2同理：cc2b，aa2c.三式相加得：a2b2c2bca(bca)2(abc)，a2b2c2bcaabc.1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等教育资源教育资源式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明.2.当且仅当 abc 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到.再练一题1.设 a0，b0，m0，n0.证明：(m2n4)(m4n2)4m3n3.【证明】因为 m0，n0，则 m2n

4、42mn2，m4n22m2n，所以(m2n4)(m4n2)4m3n3，当且仅当 mn1 时，取等号.利用基本不等式求最值11(1)已知 x，yR，且 x2y1，求xy的最小值；(2)已知 x0，y0，且 5x7y20，求 xy 的最大值.【精彩点拨】根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件.【自主解答】(1)因为 x2y1，11x2yx2y2yx所以xyxy3xy322y xxy32 2，2yx当且仅当xy，x2y1，即2x 21，y12时，等号成立.211所以当 x 21，y12时，xy取最小值 32 2.115x7y(2)xy35(5x7y)35212020352 7，22教育资源

5、教育资源1020当且仅当 5x7y10，即 x2，y7时，等号成立，此时 xy 取最大值7.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况.再练一题192.若将本例(1)的条件改为“已知 x0，y0，且xy1”，试求 xy 的最小值.19【解】x0，y0，且xy1，19xy(xy)xyy9xxy102y9x当且仅当xy，即 y3x 时等号成立.19又xy1，当 x4，y12 时，(xy)min16.基本不等式的实际应用某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费

6、用 m 万元(m0)满足 x3k(k 为常数)，如果不搞m1y 9xxy1016.促销活动，该产品的年销售量只能是 1 万件.已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？教育资源教育资源【精彩点拨】(1)可先通过 m0 时，x1 求出常数 k，再根据条件列出 y关于 m 的函数；(2)在(1

7、)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.【自主解答】(1)依题意得 m0 时，x1，代入 x32m1km1，得 k2，即 x3.23(万元)，年成本为 816x816m123m所以 y(1.51)816m128m16m1(m0).16m121.m116m1292(2)由(1)得 y29m1当且仅当 m116m1，即 m3 时，厂家的年利润最大，为 21 万元.建立定义域设出变量 数学模型 “”成利用均值不等式求最值 结论立的条件再练一题3.某工厂建一底面为矩形(如图 1-2-1)，面积为 162 m2，且深为 1 m 的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过 16 m，

8、如果池外围四壁建造单价为 400 元/m2，中间两条隔墙建造单价为 248 元/m2，池底建造单价为 80 元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.图 1-2-1162【解】设污水池的宽为 x m，则长为xm，则总造价教育资源教育资源21622482x80162f(x)4002xx1 2961001 296x12 960 x1001 296xx12 960.0 x16，由限制条件，知1620 x16，81得8x16.10081设 g(x)xx8x16，81因为 g(x)在8，16上是增函数，16281所以当 x8时此时x16，g(x)有最小值，81800即 f(x)有最小值，f(x)mi

9、n1 29688112 96038 882(元).81所以当长为 16 m，宽为8m 时，总造价最低，为 38 882 元.探究共研型基本不等式的特点ab探究 1在基本不等式2 ab中，为什么要求 a0，b0?ab【提示】对于不等式2 ab，如果a，b 中有两个或一个为 0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b 都为负数时，不等式不成立；当a，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义.教育资源教育资源探究 2你能给出基本不等式的几何解释吗？【提示】如图，以 ab 为直径的圆中，DC ab，且DCAB.ab因为 CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为2，根据半ab弦长不大于半径

10、，得不等式 ab2.显然，上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合，即当 ab 时，等号成立.因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.探究 3利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？【提示】利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值.(1)已知 x，y(0，)，如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P.(2)已知 x，y(0，)，如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有12最大值4S.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小.条件满足：“一正、

11、二定、三相等”.求下列函数的值域.x212x(1)y2x；(2)y2.x 1b1【精彩点拨】把函数转化为 yaxx或 yb的形式，再利用基本不axx等式求解.教育资源教育资源x2111【自主解答】(1)y2x2xx，当 x0 时，111xx2，y1；当x0 时，x0，x2，xx2，yxx211，综上函数 y2x的值域为y|y1 或 y1.(2)当 x0 时，y2xx 121.xx2111因为 xx2，所以 012，xx所以 0y1，当且仅当 x1 时，等号成立；1当 x0 时，xx2，所以 01112，xx所以1y0，当且仅当 x1 时，等号成立；当 x0 时，y0.2x综上，函数 y2的值域

12、为y|1y1.x 1cx2exf形如 y型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为 ytaxbPtC(P，C 为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量 t 的取值范围.再练一题x284.求函数 y(x1)的最小值.x1【导学号：38000005】【解】因为 x1，所以 x10.教育资源教育资源所以 yx28x1x122x7x1x122x19x1(x1)9x1229x128，x19x1，当且仅当 x1即 x4 时，等号成立.所以当 x4 时，ymin8.构建体系1.函数 y1x(x3)的最小值是()x3A.5B.4C.3D.2【解析】原式变形为 y1x31x3x33.x3，x30，

13、0，y21x335，x31x3，即 x4 时等号成立.当且仅当 x3【答案】A2.下列函数中最小值为 4 的是()4A.yxx4B.ysin xsin x(0 x)C.y3x43-xD.ylg x4logx10教育资源教育资源4【解析】A 项，当 x0 时，yxx0，故 A 项错误；B 项，当 0 x4 时，sin x0，ysin xsin x244sin x4，当且仅当 sin xsin xsin x，即sin x2 时取等号，但sin x1，B 项错误；C 项，由指数函数的性质可得 3x0，所以 y3x43x2 44，当且仅当 3x2，即 xlog32 时取得最小值 4，故C 项正确；D

14、项，当0 x1 时，lg x0，logx100，所以ylg x4logx100，故 D 项错误.【答案】C3.若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()【导学号：38000006】A.a2b22ab112C.abab【解析】A 选项中，当 ab 时，a2b22ab，则排除 A；当 a0，b0112ba时，ab02 ab，ab00，b0，abba得ab2b aab2，当且仅当 ab 时取“”，所以选 D.B.ab2 abbaD.ab2【答案】Dba4.不等式ab2 成立的充要条件是_.bab【解析】由ab2，知a0，即 ab0，教育资源教育资源ba又ab，ab.ba因此ab2 的充要条件是 ab0 且 ab.【答案】ab0 且 ab5.若对任意 x0，【解】由 x0，知原不等式等价于21x 3x1100 时，xx21xx2，1xx35，当且仅当 x1 时，取等号.1因此xx3min5，11从而 0a5，解得 a5.1故实数 a 的取值范围为5，.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)教育资源