费马点与中考试题.pdf

《费马点与中考试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《费马点与中考试题.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、费马点与中考试题 The final edition was revised on December 14th,2020.识别“费马点”识别“费马点”思路快突破思路快突破例例 1 1 探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PAPBPC的值为ABC的费马距离.如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCDBCDAACBD.此为托勒密定理.（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的BC上任意一点.求证：PBPCPA.根据（2）的结论，我们有

2、如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在BC上任取一点 P，连结PA、PB、PC、PD.易知PAPBPCPA（PBPC）PA；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为ABC的费马距离.（3）知识应用：2010 年 4 月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120），现选取一点P打水井

3、，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.（1）平面内一点 P 到ABC 三顶点的之和为 PA+PB+PC，当点 P 为费马点时，距离之和最小.特殊三角形中：(2)三内角皆小于 120的三角形，分别以 AB，BC，CA，为边，向三角形外侧做正三角形 ABC1，ACB1，BCA1，然后连接 AA1，BB1，CC1，则三线交于一点 P，则点 P就是所求的费马点.(3)若三角形有一内角大于或等于 120 度，则此钝角的顶点就是所求.(4)当ABC 为等边三角形时，此时外心与费马点重合.可见，永州卷这道考题对于费马点只是以课题学习为问题载体，考得比较直截了当；巧合

4、的是例例 2 2如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转 60得到BN，连接EN、AM、CM.求证：AMBENB；当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；当AMBMCM的最小值为3 1时，求正方形的边长.A DNEMB C思路探求：思路探求：略；要使AMCM的值最小，根据“两点之间线段最短”，需设法将AMCM转化为一条线段，连接 AC 即可获取；要使AMBMCM的值最小，由例 3 积累的知识经验：点 M 应该是ABC的费马点.由例 3 中（2）的求解示范，只要连接 CE 即可获得

5、CE 为AMBMCM的值最小.这样获到 M 点至少帮助我们在思路获取上提高了效率.理由说明供助于第（1）问的全等获得 BM=BN，将三条线段转化到 CE 上去，问题化为两点之间线段最短.根据题意，添加辅助线，构造直角三角形，过E点作EFBC交CB的延长线于F.设正方形的边长为 x，则BF（3xx）222xx3x，EF.在RtEFC中，由勾股定理得（）22223 1，解得即可.简答：简答：略；当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小.如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小.理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短FENA DMB C当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方形的边长为 x，则BFx3x，EF.22在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（x23xx）223 1.2解得，x2（舍去负值）.正方形的边长为2.点评：本题中“AMBMCM的值最小”如果没有费马点的知识积累，会在探究点M 的位置上花费不少时间，这对紧张的考试来说，势必造成“隐性失分”