全国卷Ⅰ理数高考真题含答案.pdf

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1、绝密启用前绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合M x 4 x 2，N x x2 x6 0，则MAx 4 x 3N=Dx 2 x 3Bx 4 x2Cx 2 x22设

2、复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A(x+1)y 122B(x1)y 1Cx(y 1)1Dx(y+1)1222222a log20.2，b 20.2，c 0.20.3，则3已知Aa bcBa c bCc a bDbc a4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 15 1（，称22为黄金分割比例)，着名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 1若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度2为 26 cm，则其身高可能是A165 cm5函数f(x)=B175 cmC1

3、85 cmD190 cmsinx x在,的图像大致为cosx x2BACD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D11167已知非零向量a a，b b满足|a a|2|b b|，且(a ab b)b b，则a a与b b的夹角为A6B3C23D568如图是求121212的程序框图，图中空白框中应填入AA=12 ABA=21ACA=112ADA=112A9记Sn为等差数列an的前n项和已知S4 0，a5 5，则Aan 2n5an

4、3n10BCSn 2n28nDSn12n 2n210已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为x2 y21A2x2y21B32x2y21C43x2y21D5411关于函数f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（2，）单调递增f(x)在,有 4 个零点其中所有正确结论的编号是ABf(x)的最大值为 2CD12已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为A8

5、6B46 C26D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线y 3(x x)e在点(0，0)处的切线方程为_214记Sn为等比数列an的前n项和若a1，a4 a6，则S5=_2x1315甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41 获胜的概率是_x2y216已知双曲线C：221(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分ab别交于A，B两点若F1BF2B 0，则

6、C的离心率为_1A AB，F三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin BsinC)2 sin2Asin BsinC（1）求A；（2）若2ab 2c，求 sinC18（12 分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点（1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角A?MA1?N的正弦值19（12

7、 分）已知抛物线C：y=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若AP 3PB，求|AB|20（12 分）已知函数f(x)sin xln(1 x)，f(x)为f(x)的导数证明：（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；（2）f(x)有且仅有 2 个零点21（12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只

8、数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，23的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P22若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i 0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认,7)，其中为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0，p81，pi api1bpicpi1(i 1,2,a P(X 1)，b P(X 0)，

9、c P(X 1)假设0.5，0.8(i)证明：pi1 pi(i 0,1,2,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）1t2x，21t（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y 4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin11 0（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知a，b，c为正数，且满足a

10、bc=1证明：（1）111 a2b2c2；abc333（2）(a b)(bc)(ca)242019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学?参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x三、解答题17解：（1）由已知得sin Bsin C sin AsinBsinC，故由正弦定理得b c a bc22222214121315162b2c2a21由余弦定理得cos A 2bc2因为0 A180，所以A 60（2）由（1）知B 120 C，由题设及正弦定理得2sin Asin 120C 2sin C，即6312cosC sinC 2sin C，可得c

11、osC 60 2222由于0 C 120，所以sin C 602，故2sinC sinC 6060 sinC 60cos60cosC 60sin606 2418解：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=1B1C21A1D2又因为N为A1D的中点，所以ND=由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则A(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1

12、,0,2)，A1A(0,0,4)，A1N (1,0,2)，MN (0,3,0)设m m (x,y,z)为平面Am m A1M 01MA的法向量，则 0，m m A1A所以x3y 2z 0，4z 0可取m m (3,1,0)设n n (p,q,r)为平面An nMN 0，1MN的法向量，则n n A1N 0所以 3q 0，0可取n n (2,0,1)p 2r 于是cosm m,n n m mn n2|m m n n|32 5155，所以二面角AMA101 N的正弦值为5A1M (1,3,2)，19解：设直线l:y 3xt,Ax1,y1,Bx2,y22（1）由题设得F35 3,0，故|AF|BF|

13、x1 x2，由题设可得x1 x2224312(t 1)y xt22由，可得9x 12(t 1)x4t 0，则x1 x2 292y 3x从而12(t 1)57，得t 92837x28所以l的方程为y（2）由AP 3PB可得y1 3y23y xt2由，可得y 2y 2t 022y 3x所以y1 y2 2从而3y2 y2 2，故y2 1,y1 3代入C的方程得x13,x213故|AB|4 13320解：（1）设g(x)f(x)，则g(x)cosx11，g(x)sin x.2(1 x)1 x当x1,设为.1,时，单调递减，而，可得在g(x)g(x)g(0)0,g()0有唯一零点，222则当x(1,)时

14、，g(x)0；当x,时，g(x)0.2所以g(x)在(1,)单调递增，在,单调递减，故g(x)在1,存在唯一极大值点，22即f(x)在1,存在唯一极大值点.2（2）f(x)的定义域为(1,).（i）当x(1,0时，由（1）知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1,0)时，f(x)0，故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x0是f(x)在(1,0的唯一零点.（ii）当x0,时，由（1）知，f(x)在(0,)单调递增，在,单调递减，而f(0)=0，22所以存在,，使得f()0，且当x(0,)时，f(x)0；当x,f0，222时，f(x)0.故f(x)在(0,)单调

15、递增，在,单调递减.2又f(0)=0，f1ln 10，所以当x0,时，f(x)0.从而，f(x)在0,2222没有零点.（iii）当x,时，f(x)0，所以f(x)在,单调递减.而22所以f(x)在,有唯一零点.2f0，f()0，2（iv）当x(,)时，ln(x 1)1，所以f(x)0，从而f(x)在(,)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得a 0.4,b 0.5,c 0.1.因此pi=0.4pi1+0.5 pi+0.1pi1，故0.1pi1 pi0.4

16、pi pi1，即pi1 pi 4pi pi1.又因为p1 p0 p1 0，所以pi1 pi(i 0,1,2,（ii）由（i）可得,7)为公比为 4，首项为p1的等比数列p8 p8 p7 p7 p6由于p8=1，故p1 p1 p0 p0p8 p7p7 p6481p1 p0p1.33，所以84 14411p4p4 p3p3 p2p2 p1p1 p0p1.3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为p4明这种试验方案合理.1 0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说2572221t24t2 y 1t 21，且x 22解：（

17、1）因为11，所以C的直角坐标方程为22221t21t1ty2x 1(x 1).42l的直角坐标方程为2x 3y 11 0.（2）由（1）可设C的参数方程为x cos,（为参数，）.y 2sin4cos11|2cos2 3sin11|3C上的点到l的距离为.77当 2时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.3322222223解：（1）因为a b 2ab,b c 2bc,c a 2ac，又abc1，故有a2b2c2 abbcca 所以abbcca111.abcabc111 a2b2c2.abc（2）因为a,b,c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)3 33(ab)3(bc)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2 ab)(2 bc)(2ac)=24.所以(a b)(bc)(ca)24.333