2020年高中数学教学论文 思想与方法函数与方程的思想方法 新人教版.pdf

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1、函数与方程的思想方法概述函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式

2、yf(x)看做二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。函数与表达式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。f(x)(abx)n(n N*)函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。立体几何中有关线段、角、面

3、积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；第二层次

4、：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；第四层次：构造方程或不等式求解问题。其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，纲举目张”，抓住了函数这个“纲”“就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解

5、题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。经典例题：一函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。1.构造函数，运用函数的性质例 1.（1）已知关于x的方程x22cosxa2 0有唯一解，求a的值；（2）解不等式x(1x22)(x1)(1(x1)22)0。分析：（1）构造 函数f(x)x22cosx a2，则问题转化为求f(x)的零点唯一时的a。（2）由观察可构造函数f(x)x(1x22)再利用函数的性质，解决问题。解析：（1）令f(x)x22c

6、osx a2，xR f(x)f(x),f(x)是偶函数。f(x)的图像关于y轴对称，而题设方程f(x)0由唯一解，从而此解必为x 0（否则必有另一解），f(0)02 a2 0,解得 a 2。（2）设f(x)x(1x22),xR，易 证f(x)在 区 间0,内 为 增 函 数。f(x)x(1x22)f(x).f(x)是奇函数，从而 f(x)在区间（，）上为增函数，1原不等式可化为f(x)f(x1)0,即f(x1)f(x)f(x),即x1 x,x 2点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。2.选定主元，揭示函数关系222例 2对于a1,

7、1的一切值，使不等式()xax1()2xa恒成立的x的取值范围是33分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。解 析;222xax 1()()2xa332且01，x2ax1 2xa，即3a(x1)(x1)2 0。当x1时，不定式不成立。当x1时，设f(a)a(x1)(x1)2。当x 1时，f(a)时1,1 上的增函数，欲使f(a)0恒成立，则只需f(1)0，即(x1)2(x1)0,x1 0,x 2.又当，x1时，f(a)时1,1 上的减函数，欲使f(a)0恒成立，则只需f(1)0即(x1)2(x1)0,x1,x 0.故x的取值范围时(,0)(2,)。点评

8、：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x 反而以a 为主变元对x 进行讨论，这才是真正切中要害。若以x 为主元对a 进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。3选取变元，确定函数关系例 3函数y x 1 x的值域是。分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。x00,，则1xcos2，0 x1，设xsin2,解析：由21x0 3).0,那么ysincos2sin(4时,y2时，y4，2)在0，上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。函数y sin(x44mn。4当 0或min1;当mmax2.

9、于是函数的值域是1,2点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的424.利用二项式定理构造函数。m n例 4：求证：C CkC1Ck1 CkC0 Ckmnmnmn分析：构造函数f(x)(1 x)m(1 x)n(1 x)mn，比较两个展开式中xk的系数。解析：令f(x(1 x)m n，Ck是（1 x）n展开式中xk的系数，又mnf(x)(1 x)m(1 x)n(C0C1xC2x2 Cnxm)(C0C1x Cnxn),mmmmnnn其中xk的系数为C0CkC Cmn1k1mn CkC0，故C0CkC1Ck1 CkC0=Cmnmnmnmnk点评：利用函数f(x)

10、(axb)n(n N*)，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。5.用函数的思想方法解数列题11117例 5.已知不定式 log(a1)对一切大于1 的自然数 n 都成立，求实数a 的取值范围。n1n222n1212111分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，nn22n用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。111(nN且n 2),当n 2时，有解析：令f(n)nn22n1111f(n1)f(n)0，2n12n2n12(n1)(2n1)所以f(n1)f(n),f(n)为增函数，且f(n)min717解得1 a 2。log(a1),l

11、og(a1)0,由题意得121222127 f(2),12点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出f(n)的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。6.建立函数关系解应用题例 6.用总长为14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用 x表示，容积y是 x 的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。14.84x4(x0.5)解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为 3.22x(m).4由3.2

12、2x 0和 x 0得 0 x1.6，设容器的容积为y(m3),则有y x(x0.5)(3.2 2x)(0 x1.6),整理得y 2x32.2x21.6x，求导，得y 6x2 4.4x1.6，令y 0,有6x2 4.4x1.6 0,即15x211x4 0,解 得x 1,x 12415(不合题意，舍去)。从 而，在 定 义 域（01.6，）内 只 有 在x 1处使 y 0。因此，当x1时，y 取得最大值，ymax 22.21.61.8这时，高为3.2211.2(m)。答：当容器的高为1.2m 时，容积最大，最大容积是1.8(m3)。点评：此题容易忽视的时自变量x 的取值范围，缺少它，很难判断求出的

13、最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。二方程的思想方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。1.解方程或分析方程的解例 7.已知实数a,b,c成等差数列，a1,b1,c4成等比数列，且abc 15.求a,b,c。分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。abc 15 1ac2c2解析：由题意得由 1、2 两式，解得b5，将c10a带入(a1)(c4)(b1)2 33 式，整理得a213a 22 0.解得 a 2,或 a

14、 11.故a 2,b 5,c8,或 a 11,b 5,c 1。经验算，上述两组数符合题意。点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。2 通过换元构成新的方程例 8.关于x的方程9x(4 a)3x 4 0恒有解，求a的取值范围。分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。解析：（法一）设3x t,则 t 0.原方程有解即方程t2(4a)t 4 0有正根，0(4a)216 0,a0或a 8,a4,xx(4 a 4 x x 4 0,a)0即1212解得a 8.，（方法二）设f(t)t2(4 a)t4,当 0时，即(4 a)216 0,a 0或 a 8.a 0时,f

15、(t)(t 2)2 0,得 t 2 0,不符合题意；a 8时,f(t)(t2)2 0,得 t 2 0,符合题意。a 84a 0,即 a 8,或 a 0时 f(0)4,故只需对称轴 0,即 a 4.a 8.2综上可得，a 8。点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。3.构造方程求解例9.设函数f(x)ax2bxc(a 0)，且存在m,nR,使得 f(m)m 2 f(n)n2 0成立。若a 1,当 nm1且 t m时，试

16、比较f(t)与 m的大小；若直线x m与 x n分别与f(x)的图像交与 M,N 两点，且 M,N 两点的连线被直线3(a21)x(a21)y1 0平分，求出b的最大值。分析：对于小题，由题设条件易得am2bmc m和 an2bnc n，由方程根的意义可构造一个根为m,n的一元二次方程，再借助韦达定理发现m与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出f(t)与 m的大小；第小题可先建立b与 a的函数关系式，再运用均值不等式可求得b的最大值。解析：由题意f(m)m,f(n)n,2bmc m2(b1)mc 0amam22an bnc nan(b1)nc 0m,n是方程 ax2(b1)xc 0的

17、两根,当 a 1时,m n1b,而 nm1b 2m,m.f(x)x2bxc的图像的对称轴为x，22bt m f(t)f(m)m.2bb M(m,m),N(n,n),mn mn1b1b 1b的中点 为MNP(。由mn,),MN 的中点P为(,)，代22a2a2a1a151(a 0)1入直线方程，得b1222a22a224a当且仅当a 1时,bmax。54点评：若没有方程的思想意识，则不能从f(m)m,f(n)n,中观察出m,n 是某一个1b一元二次方程的两根，从而也就无法得出mn,这样有用的关系式，使解答陷a入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。三函数与方程

18、相互转化的思想解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。例 10.已知抛物线y (m1)x2(m2)x1(m R)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？若关于x的方程(m1)x2(m2)x1 0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；如果抛物线与x轴相交于A,B 两点，与y轴交于C 点，且ABC的面积等于2，试 确定m的值。分析：令函数y 0，则转化为求方程有两个不等的实根时m的值；利用根与系数的关系转化成解不等式；建立面积的函数关系式，再求函数值为 2 时方程的解。解析：令y 0,则(m1)x2(m2)x1 0,据题意，须m1,且 0，即(m2)24(m1)0,m2 0,m1且 m 0。11m21在m 0,1的条件下，x x m2,x x2,得121m11mxx12x2x11122(m2)22(m1)2,得 m22m 0,0 m 2.所以m 的取值范围是m|0 m1或 1 m 211m44由x y 2,得 1 2得m 4m1,解得m或。x c2122 m135点评：y ax2bxc型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。