曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册上海电机学院1.pdf

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1、.第十章第十章 曲线积分与曲面积分答案曲线积分与曲面积分答案一、选择题1曲线积分xf(x)esinydx f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导L数，且f(0)0，那么f(x)BA.1xx11(ee)B.(exex)C.(exex)D.02222闭曲线 C 为x y 1的正向，那么Cydx xdyCx yA.0B.2C.4D.63闭曲线 C 为4x y 1的正向，那么22Cydx xdyD4x2 y2A.2B.2C.0D.4为 YOZ 平面上y z 1，那么22(x2 y2 z2)ds D1214222225设C:x y a，那么(x y)ds CC22A.0B.C.D.A

2、.2aB.aC.2aD.4a6.设为球面x y z 1，那么曲面积分222331dSx y z12222的值为 B A.4B.2C.D.7.设 L 是从 O(0,0)到 B(1,1)的直线段，那么曲线积分Lyds C A.8.设 I=2211B.C.D.2222Lyds其中 L 是抛物线y x2上点0,0与点(1,1)之间的一段弧,那么 I=D A.5 55 55 5 15 5 1B.C.D.6126129.如果简单闭曲线l所围区域的面积为，那么是DA.11；B.xdx ydyydy xdx；ll22-优选.C.11；D.ydx xdyxdy ydx。2l2l222210设S:x y z R(

3、z 0)，S1为S在第一卦限中局部，那么有 CA.C.xds 4xdsB.yds 4ydsSS1SS1zds 4zdsD.xyzds 4xyzdsSS1SS1二、填空题1.设 L 是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为顶点的正方形边界正向一周，那么曲线积分Lydx(ey2 x)dy-22.S 为球面x2 y2 z2 a2的外侧,那么(y z)dydz(z x)dzdx(x y)dxdy 0s3.x2 y21x yydx xdy22=24曲线积分C(x2 y2)ds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，那么积分值为2a35设为上半球面z 4x2 y22z 0，那么曲面积分x2 y2

4、z2ds=326.设曲线C为圆周x y 1,那么曲线积分2xC2 y23xds 2.7.设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，那么曲线积分8.设为上半球面z 4 x y，那么曲面积分22C(x y)ds 1+8321dsx2 y2 z2的值为。9.光滑曲面z=fx，y在xoy平面上的投影区域为D，那么曲面z=fx，y的面积是S 1(Dz2z)()2dxy310 设L是抛物线y x上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，那么曲线积分(2x4y)dx L1211、设为螺旋线x cost,y sint,z 3t上相应于t从0到的一段弧，则曲线积分I(x2 y2 z2)d

5、s 212。-优选.12、设L为x y a的正向，那么222xdy ydxLx2 y22。三、计算题1eLx2y2ds，其中L为圆周x2 y21，直线y x及 x 轴在第一象限所围图形的边界。解：解：记线段OA方程y x,0 x 线段OB方程y 0,0 x 1。x cos2，圆弧AB方程,0 24y sin那么原式OAex2y2dsABex2y2dsOBex2y2ds220e2x2dxed exdx40012(e1)24eLx2 y2dx yxyln(xx2 y2)dy，其中L为曲线y sin x,0 x 与直线段y 0,0 x 所围闭区域D的正向边界。解：解：利用格林公式，P x2 y2，Q

6、 yxyln(xx2 y2)，那么Py故原式yx2 y2，Qy y222xx y(DQP)dxdy y2dxdy xyD220dxsinx0y2dy134sin xdx 039223y dx x dy，其中L为圆周x y R的上半局部，L的方向为逆时针。L2x Rcost解：解：L的参数方程为，t从 0 变化到。y Rsint故原式0R2sin2t(Rsint)R2cos2t(Rcost)dtR34322(1cos t)(sint)(1sin t)cos tdtR03224求抛物面z x y被平面z 1所割下的有界局部的面积。解解：曲面的方程为z x y,(x,y)D，这里D为在 XOY 平面

7、 的投影 区域22-优选.(x,y)x2 y21。故所求面积D20221 zx zydxdy D14(x2 y2)dxdyd1014r2rdr 5 5 16222xx5、计算(esinymy)dx(ecosym)dy，其中L为圆(xa)y a(a 0)的上L半圆周，方向为从点A(2a,0)沿L到原点 O。解：解：添加从原点到点 A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式P (exsin y my)，Q excos y m，于是(esinymy)dx(ecosym)dyPQ excos y m，excosyyxLxxOAxx(esiny my)dx(ecosy m)dyma2mdxdy

8、2D而OA(exsiny my)dx(ecosy m)dy0dx0 0，于是便有x2a0ma2(e sin ymy)dx(e cos ym)dy2Lxx2222226(y z)dx(z x)dy(x y)dz，其中L为球面x y z 1在第一L222卦限局部的边界，当从球面外看时为顺时针。解：解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB的参数方程x 0y cost，t从变化到 0。2z sint于是422sin t(sint)cos t(cost)dt(y z)dx(z x)dy(x y)dz32AB2222220由对称性即得222222222222(y z)dx(z x)dy(x y

9、)dz 3(y z)dx(z x)dy(x y)dz 4LAB-优选.7(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy，其中为平面x y z 1,x 0,y 0,z 0所围立体的外表的外侧。解：解：记1为该外表在 XOY 平面内的局部，2为该外表在 YOZ 平面内的局部，3为该外表在 XOZ 平面内的局部，4为该外表在平面x y z 1内的局部。1的方程为z 0,0 y 1 x,0 x 1，根据定向，我们有(x1)dydz(y1)dzdx(z 1)dxdy(z 1)dxdy110 x10y1x1dxdy 2同理，1(x1)dydz(y1)dzdx(z 1)dxdy 221(x1)dydz(y

10、1)dzdx(z 1)dxdy 234的方程为z 1 x y,0 y 1 x,0 x 1，故(z 1)dxdy 40 x10y1x(2 x y)dxdy 2，3由对称性可得(x1)dydz 4(y1)dzdx 42，3故(x1)dydz(y1)dzdx(z 1)dxdy 2411322xy8计算曲面积分：(x y z)dydz2ysin(z x)dzdx(3z e)dxdy，其中于是所求积分为2SS为曲面x y z 1的外侧。解：解：利用高斯公式，所求积分等于u v w1(123)dxdydz=6 81 1=83 29.计算 I=xydydz yzdzdx xzdxdy，其中 S 为 x+y+

11、z=1,x=0,y=0,z=0所围立s体的外表外侧解：解：设 V 是 x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体由 Gass 公式得:-优选.I=(x y z)dxdydzV=dx=10计算 I=101x1x ydy(x y z)dz0018x3dx 3zy2dy x2ydz,其中是从点 A(3,2,1)到点 B(0,0,0)的直线段 AB解：解：直线段 AB 的方程是xyz；化为参数方程得：321x=3t,y=2t,z=t,t从 1 变到 0，所以：I=0 x3dx 3zy2dy x2ydz(3t)333t(2t)22(3t)22tdt87t3dt 10187411.计算曲线积分 I=

12、AMO(e sin y 2y)dx (e cos y 2)dy,其中AMO是由点 A(a,0)xx至点 O(0,0)的上半圆周x2 y2 ax解：解：在 x 轴上连接点 O(0,0),A(a,0)将AMO扩大成封闭的半圆形AMOA在线段 OA 上,从而AMOOA(exsin y 2y)dx (excos y 2)dy 0AMOOAAMOA又由 Green 公式得:AMOA(exsin y 2y)dx(e cos y 2)dy xx2 y2axL2dxdy a2433312.计算曲线积分z dxx dyy dz其中 L 是 z=2(x2 y2)与 z=3 x2 y2的交线沿着曲线的正向看是逆时针

13、方向解：解：将 L 写成参数方程:x=cost,y=sint,z=2t:0 2于是:32243338sintdt cos tdtz dxx dyy dz=00L43另证：由斯托克斯公式得Lz dx x3dy y3dz=(3y20)dydz (3z20)dxdz (3x20)dxdy-优选.:z 2,x2 y21上侧，那么：Lz3dx x3dy y3dz 3213232x dxdy 3dr cosdr 004x2y2113.设曲面 S 为平面 x+y+z=1 在第一卦限局部，计算曲面S 的面积 I解：解：S 在 xoy 平面的投影区域为：Dxy(x,y)0 y 1 x,0 x 1I=dS=3dx

14、dydxSDxy011x03dy103(1 x)dx 3214.计算曲线积分L(x y)dx(x y)dyx2 y2其中 L 是沿着圆(x 1)2(y 1)21从点A(0,1)到点 B(2,1)的上半单位圆弧解：解：设P(x,y)x yx y22，Q(x,y)x yx y22PQy2 x2 2xy当x y0时，22 2yx(x y)22故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关那么：L(x y)dx(x y)dyx y2220=AB(x y)dx(x y)dyx y22=(15.确定的值，使曲线积分x 1x212)dx=1ln5-arctan22Cx 4xydx6x1y22ydy在XoY平

15、面上与路径无关。当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值。解：解：由，P x 4xy,Q 6x由条件得21y2 2y；PQ12,即4xy61x,3,yx2x0,03,114xy3dx6x2y22ydy x3 y22x2y332223,10,0 261dSz16.设曲面 S 为球面x y z 4被平面 z=1 截出的顶部，计算 I=S-优选.解：解：S 的方程为：z 4 x2 y2S 在 xoy 平面的投影区域为：Dxy(x,y)x2 y23I=Dxy4 x22 ydxdyd202302rdr4ln24 r217.计算 I=yzdydz xzdzdx (x y z)dxdy，其中是x2

16、y2(z a)2 a2，0 z a，取下侧解：解：作辅助曲面1:z=a，(x2 y2 a2)取上侧2222设为x y(z a)a,z a所围闭区域Dxy为平面区域x2 y2 a2I (1)yzdydz xzdxdz(x y z)dxdy1=dxdydzDxy(x y a)dxdy=23a adxdy(x y)dxdy 0)3DxyDxy=a18.L为上半椭圆圆周y133x acost，取顺时针方向，求ydx xdy.Ly bsint解：解：Lydx xdy bsint(asint)acost(bcost)dt00 abdtA0Bx ab.219计算曲面积分xdydz ydzdx(z2z)dxd

17、y，其中为锥面z x2 y2与z 1所围的整个曲面的外侧。解：解：由高斯公式，可得-优选.I(112z 2)dv 2zdv 2ddzdz002112.x2y220计算曲线积分I(ye)dx(3xe)dy，其中L是椭圆221的正向。Labxy解：解：令P y e,Q 3xe,那么xyQP 2xy。设L所围成的闭区域为D，那么其面积ab。从而由格林公式可得I L(yex)dx(3xey)dy 2dxdy 2dxdy 2ab.DD22221设为柱面x z a在使得x 0，y 0的两个卦限内被平面y 0及y h所截下局部的外侧，试计算Ixyzdxdy。解：解：将分成1与2，其中1：z a2x2取上侧，

18、2：z a2 x2取下侧，1与2在xoy面上的投影为Dxy:0 x a,0 y h，故xyzdxdy xyzdxdyxyzdxdy12xy a2 x2dxdyxy(a2 x2)dxdyDxyDxy 2xy a x dxdy 2dxx a x ydyDxy0022ah221a3h2.322222计算曲面积分I z dS，其中是柱面x y 4介于0 z 6的局部。解解：设1为在第一卦限的局部曲面。1:x 4 y2,xyx,0，得2yz4 y-优选.x x2dydzdS 1dydz 4 y2yzDyz:0 y 2,0 z 6。故22。1在yoz面 上 的 投 影 域 为z dS 4z dS 41Dy

19、z222z24 y2dydz 8214 y20dyz2dz 288.0623.计算曲面积分I 1222，其中是旋转抛物面z(x y)介于(z x)dydz zdxdy2z 0及z 2之间局部的下侧。解：解：利用高斯公式，取1:z 2且x y 4。取上侧，与1构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为，1对应的Dxy为：x y 4。22222(z x)dydz zdxdy 1(z2 x)dydz zdxdy(z2 x)dydz zdxdy1(11)dv2dxdy1 2dv2dxdyDxy 2ddr12rdz 222002222r88 0.24计算曲线积分I Cy xdxy xdy，其中C是自点Ax y22

20、2,1沿曲线y cos2x到点B2,1的曲线段。x yy xPx22xy y2Q22,Q,x y 0,解：解：P 2222222x yx yyx yx22取小圆周C:x y,充分小,取逆时针方向,那么由 Green 公式可得:22I 12C(y x)dx(y x)dy1 xdx 22arctan 221 x25用高斯公式计算221及平面xy dxdyyz xdydzy，其中柱面:xz 0,z 3围成封闭曲面的外侧。-优选.解：解：P yzx,Q 0,R x yPQR y z,0,0 xyz原式=yzdvrsinzrdrddz3=202drdrrsin zdz0019 d3r2sinrdr021

21、0=2099sind=422x 8z 1 dydz 4yzdzdx y2zdxdy，其中是曲面26计算曲面积分I z 1 x2 y2被平面z 3所截下的局部，取下側。x2 y2 2解：解：补1:,取上侧,I,而z 3111dv dzdxdy(z 1)dz 2,其中D(z):x2 y2 z 11D(z)133(y 18)dxdy 18dxdy 36,I 381DxyDxy27计算曲线积分(x xy)dx (x y)dy，其中 L 是区域 0 x1，l3220y1 的边界正向。解：解：利用 Green 公式11322(x xy)dx(x y)dy=xdxdyxdydx lD001228、计算曲面积

22、分的上侧。解：解：222x dydzy dxdzz dxdy，其中为平面方程 x+y+z=1 在第一卦限1222222x y (1 x y)dxdy x dydzy dxdzz dxdy=4D222x dydz y dzdx zdxdy，或由对称性：-优选.而2zdxdy 11，故I。124或3dS dxdy dydz dzdx可知。29.计算L xcos ydx ysin xdy，其中L是由点A0，0到B，2的直线段。解：解：AB的方程y 2xx0,dy 2dxxcos ydx ysin xdy xcos2x4xsin xdx 4L030、设f(x)可微，f(0)1且曲线积分2x2 f(x)

23、eydx f(x)dy与路径无关。求Lf(x)。解：解：PQ 2 fxe2x,f xyxPQ,有2 fxe2x f x。令y f(x)，yx因该项积分与路径无关，所以得微分方程y2y e2x，解得y e2xxc，2 分代入条件f(0)1得 C=1从而有y e2xx131、计算对面积的曲面积分解解:Zx2222ds,:z,其中1 z 2。yyxzx22x y,Zyy22x y曲面在 XOY 平面上的投影为1x2 y 422yx1ZZ122222x yx y2x2y2原式=Dxyyx22 y22dxdy=2dr5sin2dr01222=21sin224016221 2r1=2632、计算曲面积分侧

24、。22z 2xz dydzzdxdy，其中是曲面在z 1的局部的下yx-优选.解：解：补充曲面1:z 1且取上侧，又PQR3，由高斯公式xyz2x zdydz zdxdy 2x zdydz zdxdy 2x zdydz zdxdy 11211=3dxdydz x221ydxdy=drdr3dz 00r2322四、综合题1、证明在整个 XOY 平面上，(esiny my)dx(ecosy mx)dy是某个函数的全微分，xx求这样的一个函数并计算(esinymy)dx(ecosymx)dy，其中 L 为从(0,0)到Lxx(1,1)的任意一条道路。解：解：令P(x,y)esiny my，Q(x,y

25、)e cos y mx，那么有xxPQ excos y m，yx故知(esiny my)dx(ecosy mx)dy是某个函数的全微分。xx取路径(0,0)(x,0)(x,y)，那么一个原函数为U(x,y)x(x,y)(0,0)(exsin ymy)dx(excos ymx)dy(x,y)(0,x)(0,x)(0,0)x(e sin ymy)dx(e cos ymx)dyx(exsin ymy)dx(excos ymx)dy00dxy0(excos y mx)dyexsiny mxyx最后(esinymy)dx(ecosymx)dyU(1,1)U(0,0)esin1mLx2、证明曲线积分2,11,0 x22 y2(xdx ydy)在 XOY 面与路径无关，并求值。3解：Px,yx3 xy，Qx,yx2y yPQ 2xy yx可知该曲线积分与路径无关。2,11,0 x2 y(xdx ydy)22311xdx4y ydy03-优选.11x42y2y4 6414021-优选