2010年高三数学高考最后冲刺必读题解析(11).pdf

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1、高考数学最后冲刺必读题解析（高考数学最后冲刺必读题解析（1111）20（本小题满分 12 分）alnx1，g(x)ln x 1ex x（其中e为自然对数的底数）x（1）判断函数f(x)在区间0,e上的单调性；已知aR，函数f(x)（2）是否存在实数x00,e，使曲线y g(x)在点x x0处的切线与y轴垂直?若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由20.（1）解：f(x)aa1xaln x1，f(x)22xxxx令f(x)0，得x a若a 0，则f(x)0，fx在区间0,e上单调递增.若0 a e，当x0,a时，f(x)0，函数fx在区间0,a上单调递减，当xa,e时，f(x)0，函数fx在

2、区间a,e上单调递增，若a e，则f(x)0，函数fx在区间0,e上单调递减.6分（2）解：g(x)lnx1e x，x0,e，xex 1xxg(x)ln x1e ln x1e1ln x1ex1ln x1ex1xx1由（1）可知，当a 1时，f(x)ln x1x1此时f(x)在区间0,e上的最小值为ln1 0，即ln x1 0 x 1x01x0ln x 1 0当x00,e，e 0，g(x0)ln x01e11 00 x0 x0曲线y g(x)在点x x0处的切线与y轴垂直等价于方程g(x0)0有实数解而gx00，即方程g(x0)0无实数解故不存在x00,e，使曲线y g(x)在点x x0处的切线

3、与y轴垂直12分21（本小题满分12分）已知线段CD 2 3，CD的中点为O，动点A满足AC AD 2a（a为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；（2）若a 2，动点B满足BC BD4，且OAOB，试求AOB面积的最大值和最小值21.（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系若AC AD 2a 2 3，即0 a 3，动点A所在的曲线不存在；若AC AD 2a 2 3，即a 3，动点A所在的曲线方程为y 0(3 x 3)；x2y2若AC AD 2a 2 3，即a 3，动点A所在的曲线方程为221.aa 34 分x2(2)当a 2时，其曲线方程为椭圆 y214x2

4、由条件知A,B两点均在椭圆 y21上，且OAOB4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA的斜率为k(k 0)，则OA的方程为y kx，OB的方程为y kx4k241222得x1，y1y x解方程组x22214k14kk y 1 444k222同理可求得x22，y22k 4k 411(1 k2)221 kx112x2=2AOB面积S 8 分222k(14k)(k 4)t21令1 k t(t 1)则S 2 2994t29t 92 4tt991125254令g(t)24 9()2(t 1)所以4 g(t)，即 S 1ttt244544当k 0时，可求得S 1,故 S 1，故S的最小值为，最大值为

5、 1.12 分55（2）另解：令A(r1cos,r1sin),B(r2sin,r2cos)，则244212222r r cosr sin11 411cos24sin213sin2,解得144r2sin2r2cos21r2222224sin4cos13cos21664222所以r1r2，而sin 20,122249sincos169sin 2因此S 144r1r2,1，即最大值是 1，最小值是.25522（本小题满分 12 分）x1(0 x1)的 反 函 数 为f1(x)，数 列an和bn满 足：a1，1x2an1 f1(an)，函数y f1(x)的图象在点n,f1(n)(nN)处的切线在y轴上

6、的截距为bn.函 数f(x)（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bnb5的项中仅最小,求的取值范围；22anana5a511x2xn满足:x11,0 xn1且（3）令函数g(x)f(x)f(x)2,0 x 1.数列1 x2xn1(xn1 xn)2(x1 x2)2(x2 x3)22 1 g(xn)，(其中nN).证明:.x1x2x2x3xnxn1822.解:(1)令y yx;由0 x 1,解得y 0.,解得x 1 y1 xx函数f(x)的反函数f1(x)(x 0).1 x111.an1an11是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，故an.4 分ann11x,(2)f1(x)(x 0),f1

7、(x)(1 x)21 xn1y f1(x)在点(n,f1(n)处的切线方程为y(xn),2n1(1n)则错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。得n2bn222.2 n(n1)(n).令x 0得bn2(1n)anan24仅当n5时取得最小值，4.512 5.5.的取值范围为(9,11).8 分1 x2xx1 x2x,x(0,1).(3)g(x)f(x)f(x)1 x21 x1 x1 x21 x21 x所以xn1 xn xn(1 xn)2n,又因0 xn1,则xn1 xn.xn11显然1 xn1 xnx2.10 分21 x11112 1xn1 xn xn(1 xn)2

8、n2xn14x 1824 2 2 2nxn1(xn1 xn)2xn1 xn112 1 11(xn1 xn)(xn1 xn)()()xnxn1xnxn1xnxn18xnxn1(xn1 xn)2(x1 x2)2(x2 x3)22 1111111()()()x1x2x2x3xnxn18x1x2x2x3xnxn12 1 112 11()(2)12 分8x1xn18xn1111 2,0 21 xn11,1xx2n1n1(xn1 xn)2(x1 x2)2(x2 x3)22 112 1.14 分(2)x1x2x2x3xnxn18xn1820(本小题共 14 分)设 M 是由满足下列条件的函数f(x)构成的集

9、合：“方程f(x)x 0有实数根；函数f(x)的导数f(x)满足0 f(x)1.”（1）判断函数f(x)xsin x是否是集合 M 中的元素，并说明理由；24（2）集合 M 中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为 D，则对于任意m，nD，都存在x0m，n，使得等式f(n)f(m)(n m)f(x0)成立”，试用这一性质证明：方程f(x)x 0只有一个实数根.20.解：（1）因为f(x)11cosx，24所以f(x),满足条件0 f(x)1,又因为当x 0时，f(0)0，所以方程f(x)x 0有实数根 0.所以函数f(x)1 34 4xsin x是集合 M 中的元素.24（2）假设

10、方程f(x)x 0存在两个实数根,(），则f()0,f()0，不妨设，根据题意存在数c(,),使得等式f()f()()f(c)成立因为f(),f(),且，所以f(c)1与已知0 f(x)1矛盾，所以方程f(x)x 0只有一个实数根.21(本小题共 14 分)已知f(x)ln x，g(x)127x mx(m 0)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都22相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.()求直线l的方程及m的值；()若h(x)f(x 1)g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值；()当0 b a时，求证：f(a b)f(2a)21.解：()b a2af

11、(x)1，f(1)1.直线l的斜率为1，且与函数f(x)的图象的切点x坐标为(1,0).直线l的方程为y x 1.又直线l与函数y g(x)的图象相切,y x 1方程组127有一解.由上述方程消去y，并整理得y x mx 22x2 2(m 1)x 9 0依题意，方程有两个相等的实数根，2(m 1)49 02m 0m 2.17()由()可知g(x)x2 2x，g(x)x 2221x.h(x)ln(x 1)x 2(x 1).h(x)1x 1x 1当x(1,0)时，h(x)0，当x(0,)时，h(x)0.当x 0时，h(x)取最大值，其最大值为 2.()f(a b)f(2a)ln(a b)ln2a

12、ln解之，得m 4或m 2a bb a ln(1).2a2a1b a0b a，a ba 0，0.22a由()知当x(1,0)时，h(x)h(0)当x(1,0)时，ln(1 x)x，b ab ab a.f(a b)f(2a)2a2a2a2219.19.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知定点 A（0,1），点 B 在圆F:x(y 1)16上运动，F为圆ln(1心,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P（I）求动点 P 的轨迹E的方程；若曲线Q:x 2ax y a 1被轨迹E包围着，求实数a的最小值。（II）已知M(2,0)、N(2,0)，动点G在圆F内，且满足2226YBP PF4

13、|MG|NG|OG|2，求MG NG的取值范围19.19.解析：解析：（I）由题意得|PA|PB|，52X5A-2|PA|PF|PB|PF|r 4|AF|2P 点轨迹是以 A、F 为焦点的椭圆.3 分-4xy22y x22 1 1(a b 0)，设椭圆方程为22aba2222则2a 4,a 2,a b c 1,故b 3，y2x214 分点p的轨迹方程为4322222曲线Q:x 2ax y a 1化为(xa)y 1，-10-12则曲线Q是圆心在(a,0)，半径为 1 的圆。y2x20)(3，0)1为焦点在 Y 轴上的椭圆，短轴上的顶点为(3，而轨迹 E：436 分结合它们的图像知：若曲线Q被轨迹

14、 E 包围着，则 3 1 a（II）设G(x，y)，由|MG|NG|OG|得：23 1a的最小值为 3 18 分(x2)2 y2(x2)2 y2 x2 y2，化简得x y 2，即x y 210 分222而MG NG (x 2，y)(x2，y)x y 4 2(y 1).22222222点G在圆F:x(y 1)16内，x(y 1)16(y 1)16 3 y 5 0 y 25，12 分222 y 1）48，GA GB的取值范围为2,48)14 分2 （20.20.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设数列an的前n项和为Sn，且a121，Sn an11。n()求数列an的通项公式；（）是否存

15、在实数，使得数列Snn2 为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。（）求证：1222232n1。3(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)20.20.解析：解析：()an1Sn1 0n 2时,an Sn11 0得：(an1an)(SnSn1)0(an1an)an 0an1 2(n 2)an2 分由an12Sn1 0及a11得a2S11 0 a2 S11 a11 2n1公比为 2 的等比数列，an 2 4an是首项为1，分12n 2n1 5（）解法一：解法一：由()知Sn12分n若Snn2 为等差数列，则S12,S224,S338则成等差数列

16、,6 分(S1)(S35)2(S22)86 64，1 8 分nn当1时，Snn2 Sn n2 n1，显然n1成等差数列，n存在实数1，使得数列Snn2 成等差数列。9 分12n 2n1 5 分解法二：解法二：由()知Sn12nnnnSnn2 (2 1)n2 n1(1)2 7分n要使数列Snn2 成等差数列，则只须1 0，即1即可。8 分n故存在实数1，使得数列Snn2 成等差数列。9分2k2k11（）k1 2()10kk1k(ak1)(ak11)(21)(2 1)212 1分222232n(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)11111111 2(0

17、)(2)(22)(k1k)2 121212 12 12 1212 111 2(k)22 112 分0 11111，2()1，2k13322k11222232n114 分3(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)21.21.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）设函数f(x)x2 2x2ln(1 x).()求函数fx的单调区间；22()当x 1,e1时,是否存在整数m，使不等式m fx m 2me恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由。()关于x的方程fx x x a在0,2上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围。21e21.21.解析

18、：解析：()由1 x 0得函数f(x)的定义域为(1,)，2xx22fx 2x2。2x1x1分x0得x 0；由fx0得1 x 0，函数f(x)的递增区间是0,；递减区间是1,0。4由f分()由(1)知,fx在 1,0上递减,在0,e1上递增。f(x)min f(0)0又f(1)1e111221e 31,，且f e1 e 322eee12x 1,e1时,fxmaxe 3。6e分m22me2f(x)max不等式mf xm2me恒成立,，mf(x)minm22me2e23m22m301m3即1m0m0m0m0m是整数，m1。存在整数m，使不等式mf xm22me2恒成立。922分()由f xx2xa得xa2ln(1 x)0，x0,22x 1，x0,21xx1由gx0得1x2；由gx0得0 x1。令g xxa2ln(1 x),则g x1g x在0,1上单调递减,在1,2上单调递增.11 分方程f xxxa在0,2上恰有两个相异的实根,2函数g x在0,1和1,2上各有一个零点,g 00a0a0g 101 a2ln20a1 2ln21 2ln2a22ln3，2a2ln30a22ln3g 20实数a的取值范围是1 2ln2a22ln3 14 分