高中数学联赛广东预赛解答最终.pdf

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1、20192019 年全国高中数学联赛广东省预赛试题年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：（考试时间：20192019 年年 9 9 月月 8 8 日上午日上午 1010000011112020）一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 6464 分把答案填在横线上分把答案填在横线上1.1.已知已知20122 2010201120132014 k2k 0，则，则k .答案：答案：20122 2（或（或4048142）解解:n2(n2)(n1)(n1)(n2)n2(n24)(n21)2.2.函数函数f(x)sin(x)sin(x)cos

2、x3的最小值等于的最小值等于 .66答案：答案：1 1解：因为解：因为所以所以f(x)的最小值为的最小值为 1.1.3.3.已知已知f(x)bx11，其中，其中a,b为常数，且为常数，且ab 2.若若f(x)f()k为常为常2xax数，则数，则k的值为的值为 .答案：答案：.解：由于解：由于是常数，故是常数，故2ak b，且，且(a24)k b21.将将b 2ak代入代入(a24)k b21整理得整理得(4k2k)a2(14k)0，分解因式得分解因式得(4k 1)(ka21)0.若若4k 1 0，则则ka21 0，14因此因此ab 2ka2 2，与条件相矛盾，与条件相矛盾.故故4k 1 0，即

3、，即k.4.4.已知方程已知方程32x3x1 p有两个相异的正实数解，则实数有两个相异的正实数解，则实数p的取值范围的取值范围是是 .答案：答案：(,2).解法一：令解法一：令t 3x，则原方程化为，则原方程化为t23t p 0.9414根据题意，方程根据题意，方程t23t p 0有两个大于有两个大于 1 1 的相异实根的相异实根.(3)24p 0,9令令f(t)t23t p，则，则f(1)1231 p 0,p 2.431.2解法二：令解法二：令y 3x，则原方程化为，则原方程化为y23y p 0.注意到这个关于注意到这个关于y的方程的方程最多有两个解，最多有两个解，而由而由y 3x严格单调递

4、增知每个严格单调递增知每个y最多对应一个最多对应一个x，因此所求的因此所求的p应当使应当使y23y p 0有两个相异的实数解有两个相异的实数解y1,y2，且满足，且满足3x y1,3x y2的两个实的两个实12数数x1,x2都是正的都是正的.由于由于x1,x2都是正的，故都是正的，故y1,y2都应大于都应大于 1.1.由于由于y1 y2 3，故，故y2 3 y1，因此，因此y1必须满足必须满足y11，3 y11及及y1 3 y1.因此因此y1的取值范围为的取值范围为339(1,)(,2).因此因此p y1y2 y1(3 y1)的取值范围为的取值范围为(,2).2245.5.将将 2525 个数

5、排成五行五列：个数排成五行五列：已知第一行已知第一行a11,a12,a13,a14,a15成等差数列，成等差数列，而每一列而每一列a1j，a2 j，a3 j，a4 j，都成等比数列，都成等比数列，且五个公比全相等且五个公比全相等.若若a24 4,a41 2,a4310,a5（j1 j5）则则a11a55的值为的值为_._.答案：答案：11解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等等.10(2)4且公差为且公差为 6 6，故，故a4416,a45 22.由由a41 2,a4310知知a422由由a24 4,a

6、4416知公比知公比q 2.21若若q 2，则，则a113,a55 222 411，故，故a11a55 11；s421若若q 2，则，则a113,a55 22(2)4(11)，故，故a11a55 11.s46.6.设点设点P在曲线在曲线y ex上，点上，点Q在曲线在曲线y ln(2x)上，则上，则PQ的最小值为的最小值为_._.解：解：2(1ln 2).函数函数y ex与函数与函数y ln(2x)互为反函数，图象关于互为反函数，图象关于y x对称对称.12121xe x1x1x2函数函数y e上的点上的点P(x,e)到直线到直线y x的距离为的距离为d.222设函数设函数g(x)ex x g(

7、x)ex1 g(x)min1ln2 dmin由图象关于由图象关于y x对称得：对称得：PQ最小值为最小值为2dmin2(1ln2).12121ln2.27.7.将将 2 2 个个a和和 2 2 个个b共共 4 4 个字母填在个字母填在 4 44 4 方格表的方格表的 1616 个小方格内，个小方格内，每个小每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有共有 .答案：答案：39603960解：解：使得使得 2 2 个个a既不同行也不同列的填法有既不同行也不同列的填法有C42A42 72种，种，使得

8、使得 2 2 个个b既不同既不同行也不同列的填法有行也不同列的填法有C42A42 72种，故由乘法原理，这样的填法共有种，故由乘法原理，这样的填法共有722种种.其中不合要求的有两种情况：其中不合要求的有两种情况：2 2 个个a所在的方格内都填有所在的方格内都填有b的情况有的情况有 7272 种；种；1A921672种种.2 2 个个a所在的方格内恰有所在的方格内恰有 1 1 个方格填有个方格填有b的情况有的情况有C16所以，符合条件的填法共有所以，符合条件的填法共有722721672 3960种种.8.8.一个直角梯形的上底比下底短，一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋

9、转体该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为的体积为112，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80，该梯形，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156，则该梯形的周长为，则该梯形的周长为 .答案：答案：16 2 13.解：设梯形的上底长为解：设梯形的上底长为a，下底长为，下底长为b，高为，高为h，则梯形绕上底旋转所得旋，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为转体的体积为h2bh2(ab)h2(a2b)，因此，因此h2(a2b)112，即，即13a2b3367h2(a 2b)336.同理有同理有h2(

10、2a b)240，两式相除得，两式相除得，去分母化，去分母化2ab24051313简得简得b 3a，代入，代入h2(a 2b)336得得ah2 48.注意到直角腰长等于高注意到直角腰长等于高h，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为其体积为h(a2abb2)156.将将b 3a代入化简得代入化简得a2h 36.结合结合ah2 48可解可解得得a 3,h 4，因此，因此b 9，由勾股定理知另一条腰的长度为，由勾股定理知另一条腰的长度为42(93)2 2 13，因此梯形的周长为因此梯形的周长为39 4 2 13 16 2 13.二、解答题：本大

11、题共二、解答题：本大题共 3 3 小题，共小题，共 5656 分解答应写出文字说明、证明过程分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤x2y21 1（本小题满分（本小题满分 1616 分）设椭圆分）设椭圆2+2=1(ab0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为A,B，ab13点点P在椭圆上且异于在椭圆上且异于A,B两点，两点，O为坐标原点为坐标原点.若若|AP|=|OA|，证明：直线，证明：直线OP的的斜率斜率k满足满足|k|3.解法一：设解法一：设P(acos,bsin)(0 2),A(a,0).由由|AP|OA|，有，有(acosa)2(bsin)2 a，即即a2cos22a2co

12、sb2sin2 0.4 4 分分1 cos 0,从而从而2222222a cos2a cosb sin a sin.b2sin221 3.所以，所以，cos 0，且，且22 1a coscos2所以，所以，|k|bsin213.1616 分分acoscos解法二：设解法二：设P(acos,bsin)(0 2).则线段则线段OP的中点的中点Q(cos,sin).|AP|=|OA|AQ OP kAQk 1.a2b2kAQbsin bsinakAQcos 2akAQ.8 8 分分2aacos|kAQ|1|k|3.1616 分分32 2（本小题满分（本小题满分 2020 分）分）设非负实数设非负实数a

13、，b，c满足满足a bc 3.求求的最大值的最大值.解：不妨设解：不妨设a b c.显然有显然有b2 bc c2 b2，c2 ca a2 a2.5 5 分分根据根据 AM-GMAM-GM 不等式可得不等式可得1515 分分所以所以 S S 的最大值为的最大值为 1212，这时，这时a,b,c2,1,0.2020 分分3 3（本小题满分（本小题满分 2020 分）求出所有的函数分）求出所有的函数f:N*N*使得对于所有使得对于所有x，y N，(f(x)2 y都能被都能被f(y)x2整除整除.*解：根据题目的条件，令解：根据题目的条件，令x y 1，则，则(f(1)21能被能被f(1)1整除整除.

14、因此因此(f(1)2 f(1)能被能被f(1)1整除，也就是整除，也就是f(1)(f(1)1)能被能被f(1)1整除整除.因为因为f(1)与与f(1)1互素，所以互素，所以f(1)1能被能被f(1)1整除，且整除，且f(1)1 f(1)1，所以所以f(1)1 0，f(1)1.1010 分分令令y 1，则，则(f(x)21能被能被1 x2整除，因此整除，因此(f(x)2 x2.从而从而f(x)x，对所，对所有有 x x N*.令令x 1，则，则1 y能被能被f(y)1整除整除.从而从而y f(y)，对所有，对所有 y y N*.综上所述，综上所述，f(x)x，对所有，对所有 x x N*.2020 分分