高等数学试卷和答案.pdf

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1、高等数学（下）模拟试卷一一、填空题一、填空题（每空 3 分，共 15 分）11z x yx y的定义域为（1）函数z arctan（2）已知函数（3）交换积分次序，yzx，则x2yy220dyf(x,y)dx（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则(x y)ds L（5）已知微分方程y 2y 3y 0，则其通解为二、选择题二、选择题（每空 3 分，共 15 分）x3y2z 1 02x y10z 3 0，平面为4x2y z 2 0，则（）（1）设直线L为A.L平行于B.L在上 C.L垂直于D.L与斜交222xyz x y z 2确定，则在点(1,0,1)处的dz（）（2）设是由方

2、程A.dx dyB.dx 2dyC.2dx 2dyD.dx 2dy2224z 25(x y)及平面z 5所围成的闭区域，将（3）已知是由曲面22(x y)dv在柱面坐标系下化成三次积分为（）A.20dr3drdz0023502r25B.20dr3drdz002250045C.20dr dr5dzD.0dr2drdz（4）已知幂级数，则其收敛半径（）1A.2B.1C.2D.2x（5）微分方程y 3y 2y 3x2e的特解y的形式为y（）xxxA.B.(axb)xeC.(axb)ceD.(ax b)cxe得分阅卷人三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）x1y 2z 3x2y 1zLL0

3、1且平行于直线2：2111、求过直线1:1的平面方程zz22z f(xy,x y)，求x，y2、已知3、设D(x,y)x y 422，利用极坐标求x dxdyD22x2f(x,y)e(x y 2y)的极值4、求函数x t sint(2xy3sin x)dx(x e)dyy 1cost从点O(0,0)到5、计算曲线积分L，其中L为摆线A(,2)的一段弧2yy6、求微分方程xy y xe满足x1x1的特解2四.解答题解答题（共 22 分）1、利用高斯公式计算2xzdydz yzdzdx z dxdy22z x y，其中由圆锥面与上半球面z 2 x2 y2所围成的立体表面的外侧(10)n(1)n1n

4、13的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6）2、（1）判别级数n1（2）在x(1,1)求幂级数nxn1n的和函数（6）高等数学（下）模拟试卷二一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分）4x y2z ln(1 x2 y2)的定义域为；（1）函数（2）已知函数z e，则在(2,1)处的全微分dz；xy（3）交换积分次序，e1dxlnx0f(x,y)dy；2yds y xO(0,0)B(1,1)LL（4）已知是抛物线上点与点之间的一段弧，则；（5）已知微分方程y 2y y 0，则其通解为.二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）x y3z 0 x y z 0，平面为x y z

5、1 0，则L与的夹角为（）；（1）设直线L为A.0B.2C.3D.4z33z 3xyz ax（2）设是由方程确定，则（）；yzyzxzxy2222xy zz xyxy zz xyA.B.C.D.（3）微分方程y 5y 6y xe的特解y的形式为y（）；A.(axb)e2x2xB.(ax b)xe22xC.(ax b)ceD.(ax b)cxe222x2x在球面坐标系下化成（4）已知是由球面x y z a所围成的闭区域,将2dv三次积分为（）；A200d2sindr dr02a2B.2200d2drdr0aC.0ddrdr00aD.0dsindr2dr00a2n1nxn（5）已知幂级数n12，则

6、其收敛半径（）.得分阅卷人程.1A.2B.1C.2D.2三计算题三计算题（每题 8 分，共 48 分）:x2z 1和2:y 3z 2平行的直线方5、求过A(0,2,4)且与两平面1zzxyz f(sin xcos y,e)，求x，y.6、已知7、设得分D(x,y)x y 1,0 y x22，利用极坐标计算arctanDydxdyx.22f(x,y)x 5y 6x10y 6的极值.8、求函数xx(e sin y2y)dx(e cos y2)dy9、利用格林公式计算222L，其中L为沿上半圆周(xa)y a,y 0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段.3yy(x1)2x18、求微分方程的通解.四

7、解答题解答题（共 22 分）n1n(1)2 sin3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；61、（1）（）判别级数n1xn(1,1)（2）（4）在区间内求幂级数n1n的和函数.2xdydz ydzdx zdxdy22z x y(12)(0 z 1)的下侧2、利用高斯公式计算，为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分）1、函数y arcsin(x3)的定义域为.(n2)2lim22、n3n 3n2=.3、已知y ln(1 x)，在x 1处的微分dy.4、定积分211(x2006sin x x2)dx.dyy 2y x3x 0dx5、求由方程所确定的隐

8、函数的导数.二选择题（每空 3 分，共 15 分）x21y 2x 2x 3x2的间断点1、是函数57（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡1 x2、积分(A)(B)(C)0(D)110 x2dx=.xy e x1在(,0内的单调性是。3、函数（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。4、1xsintdt的一阶导数为.（A）sinx（B）sinx（C）cosx（D）cos xrr5、向量a 1,1,k与b 2,2,1相互垂直则k.（A）3（B）-1（C）4（D）2三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）2x3x1)x2x11、求极限xsin x

9、limx32、求极限x0dyx3、已知y lncose，求dxlim(四计算题（4 小题，每题 6 分，共 24 分）t2x 2d2yy 1t21、已知，求dx2、计算积分3、计算积分2xcos xdx10arctanxdx24、计算积分五觧答题（3 小题，共 28 分）42y 3x 4x 1的凹凸区间及拐点。(8)1、求函数02 x2dx 1x 01 xf(x)21x 0f(x1)dxx1(8)1 e02、设求22y xy x所围图形的面积；(6)3、（1）求由及（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。(6)高等数学（下）模拟试卷四一填空题一填空题（每空 3 分，共 15 分）1y 1 x

10、2x1、函数的定义域为.2、0eaxdx,a 0=.3、已知y sin(2x1)，在x 0.5处的微分dy.sin xdx11 x24、定积分=.143y 3x 4x 1的凸区间是.5、函数二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）x21y x 1x1的间断点1、是函数（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡a 0,f(0)0,f(0)1,lim2、若(A)1(B)a(C)-1(D)ax0f(ax)x=3、在0,2内函数y xsin x是。（A）单调增加；（B）单调减少；（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。r rrr4、已知向量a 4,3,4与向量b 2,2,1则ab为.（

11、A）6（B）-6（C）1（D）-3f(x0)为极值，y e5、已知函数f(x)可导，且0（C）0（D）（A）e（B）三计算题（3 小题，每题 6 分，共 18 分）f(x0)f(x)，则dydxxx0.f(x)f(x0)1、求极限lim(1-kx)x01kxlim2、求极限x01cosx2sint2dt1xx sin x3、已知四计算题（每题 6 分，共 24 分）y eylnsindy，求dxdy1、设e xy 1 0所确定的隐函数y f(x)的导数dx2、计算积分x0。arcsin xdx03a03、计算积分sin3xsin5xdxx223a x4、计算积分五觧答题（3 小题，共 28 分

12、）dx,a 03atx 1t22y 3at1t2，求在t 2处的切线方程和法线方程。1、(8)已知1lnalnb1(8)abb2、求证当a b 0时，a3y x3、（1）求由及y 0,x 2所围图形的面积；(6)（2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。(6)高等数学（下）模拟试卷五ln(x y)一填空题一填空题z（每空 3 分，共 21 分）y1函数的定义域为。2已知函数z ex2y2，则dz(1,0)。z3已知z exy，则x。2ds 22 x y11,01,0L4设 L 为上点到的上半弧段，则。5交换积分顺序1edxln x0f(x,y)dy。(1)n6.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛

13、？。7微分方程y sin x的通解为。二选择题二选择题（每空 3 分，共 15 分）1函数z fx,y在点x0,y0的全微分存在是fx,y在该点连续的（）条件。A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要2平面1:x 2y z 1 0与2:2x y z 2 0的夹角为（）。A6B4C2D3(x 5)nn3幂级数n1的收敛域为（）。A4,6B4,6C4,6D4,6y1(x)y(x)4设y1(x),y2(x)是微分方程y p(x)y q(x)y 0的两特解且2常数，则下列（）是其通解（c1,c2为任意常数）。AyCy c1y1(x)y2(x)By y1(x)c2y2(x)y1(x)

14、y2(x)Dy c1y1(x)c2y2(x)5在直角坐标系下化为三次积分为（），其中为x 3,x 0,y 3,y 0，z 0,z 3所围的闭区域。03zdvAdxdyzdz0033B30dxdyzdz0033C30dxdyzdz3003D30dxdyzdz0330三计算下列各题（共三计算下列各题（共21分，每题分，每题7分）分）z z,zln z e xy 0 x y。1、已知，求x 1y 2z(1,0,2)1 23的直线方程。2、求过点且平行直线22(x y)d223、利用极坐标计算D，其中 D 为由x y 4、y 0及y x所围的在第一象限的区域。四求解下列各题（共四求解下列各题（共20分

15、，第分，第1题题8分，第分，第2题题12分）分）2x2(y e)dx (2xy 5x siny)dyL1、利用格林公式计算曲线积分，其中 L 为圆域D：x2 y2 4的边界曲线，取逆时针方向。2、判别下列级数的敛散性：五、求解下列各题（共五、求解下列各题（共23分，第分，第1、2题各题各8分，第分，第3题题7分）分）1f(x,y)x3y23x 3y 121、求函数的极值。dy y exy 22、求方程dx满足x0的特解。x3、求方程y 2y8y 2e的通解。高等数学（下）模拟试卷六一、填空题一、填空题：（每题3分,共 21 分.）1函数z arccos(y x)的定义域为。z2已知函数z ln

16、(xy)，则x2,1。3已知z sinx2 y2，则dz。4设 L 为y x1上点(1,0)到0,1的直线段，则L2ds。5将01dx1x20f(x2 y2)dy化为极坐标系下的二重积分。(1)n26.级数n1n是绝对收敛还是条件收敛？。7微分方程y 2x的通解为。二、选择题选择题：（每题 3 分,共 15 分.）1函数z fx,y的偏导数在点x0,y0连续是其全微分存在的（）条件。A必要非充分，B充分，C充分必要，D既非充分，也非必要，xy2z 210与平面:x 2y z 3的夹角为（）。2直线1A6B3C2D4l:xnn23幂级数n13 n的收敛域为（）。A(3,3)B3,3C(3,3D3

17、,3)*4.设y(x)是微分方程y p(x)y q(x)y f(x)的特解，y(x)是方程y p(x)yq(x)y0的通解，则下列（）是方程y p(x)y q(x)y f(x)的通解。Ay(x)By(x)y(x)Cy(x)Dy(x)y(x)*52zdv2222x y z R在柱面坐标系下化为三次积分为（），其中为的上半球体。A220drdrz2dz00RR2r2020RRB20drdrz2dz00RrC0ddrz dzD20drdr0RR2r20z2dz三、计算下列各题（共三、计算下列各题（共18分，每题分，每题6分）分）z z,3z 3xyz 5x y1、已知，求2、求过点(1,0,2)且平

18、行于平面2x y 3z 5的平面方程。3、计算(xD2 y2)dxdy，其中 D 为y x、y 0及x 1所围的闭区域。四、求解下列各题（共四、求解下列各题（共25分，第分，第1题题 7 7 分分,第第2题题8分，第分，第3题题10分）分）2(x y)dx(xsiny)dy2L1、计算曲线积分，其中 L 为圆周y 2x x上点(0,0)到(1,1)的一段弧。2、利用高斯公式计算曲面积分：围区域的整个表面的外侧。xdydz ydzdx zdxdy22z 0,z 3,x y 1所，其中是由3、判别下列级数的敛散性：五、求解下列各题（共五、求解下列各题（共21分分,每题每题7分）分）1f(x,y)3

19、x2 6x y3 2y2131、求函数的极值。dy y exy12、求方程dx满足x0的特解。3、求方程y5y 6y(x 1)e的通解。x高等数学（下）模拟试卷七一填空题一填空题（每空 3 分，共 24 分）1z 2222(x y)25 x y1二元函数的定义域为21yt1yt35的通解为2一阶差分方程3z xy的全微分dz _z arctan4ydx xdy 0的通解为_yzx，则x_5设6微分方程y 2y 5y 0的通解为7若区域D (x,y)|x y 4，则222dxdy D8级数2n01n的和 s=二选择题：择题：（每题 3 分，共 15 分）1fx,y在点a,b处两个偏导数存在是fx

20、,y在点a,b处连续的条件（A）充分而非必要（B）必要而非充分（C）充分必要（D）既非充分也非必要dx2累次积分01x0f(x,y)dy改变积分次序为10(A)10dyf(x,y)dx01（B）dyx0f(x,y)dx（C）10dyy20f(x,y)dx（D）10dy2f(x,y)dxy3x13下列函数中，是微分方程y 5y 6y xe23x3xy x(ax b)ey ae（C）（D）的特解形式(a、b 为常数)3x3xy (ax b)ey x(ax b)e（A）（B）4下列级数中，收敛的级数是(3)n(1)nnn22n12n 1n1n1n1（A）（B）（C）（D）n1nz222x y z 4

21、zx5设，则xxxx(A)z(B)2 z(C)z 2(D)z三、求解下列各题三、求解下列各题（每题 7 分，共 21 分）得分xz zz u2lnv,而u,v 3x4y,yx y1.设，求1阅卷人3nnn22.判断级数n1的收敛性3.计算xeD2y2dxdy，其中 D 为x2 y21所围区域四、计算下列各题四、计算下列各题（每题 10 分，共 40 分）1yy ln xx1.求微分方程的通解.2.计算二重积分I x ydxdyD，其中D是由直线y x,x 1及x轴围成的平面区域.32f(x,y)y x 6x12y 5的极值.3.求函数xn2nn 44.求幂级数n1的收敛域.高等数学（下）模拟试

22、卷一参考答案一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 15 分）4xy220dx12xf(x,y)dy(x,y)|x y 0,x y 0 x y1、2、3、x3xy C e C e1224、5、二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1.C2.D3.C4A5.D三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解：A(1,2,3)s11,0,1s22,1,1 2平面方程为x3y z 2 082u xy2、解：令v x2y23、解：D:0 20 r 2，32x2fx(x,y)e(2x2y 4y 1)012x(,1)fy(x,y)e(2y 2)0244解：得驻点11f(,1)e2

23、2Q A 2e 0,AC B 4e 0极小值为2285解：PQ 2x,P 2xy3sin x,Q x2ey，有yx曲线积分与路径无关2L1:y 0,x从0，L2:x,y从02411yy ex P,Q exxx26解：积分路线选择：dxdxP(x)dxxxxQ(x)edxC ee edxC通解为41xy(x1)e 1yx11C 18x代入，得，特解为y e P(x)dx11四、解答题解答题1、解：22xzdydz yzdzdx z dxdy(2z z 2z)dv zdv204方法一：原式d4cossind020r3dr 1210方法二：原式20drdr0n112r2rzdz 2r(1r2)dr

24、02、解：（1）令un(1)nlimun1nun3n1210n1 3n11n limn1 n1n3n3n13收敛，4(1)n1n1n3n1绝对收敛。6nn1n1（2）令s(x)nx xnxn1 xs1(x)2高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 15 分）dyyf(x,y)dx22222(x,y)|y 4x,0 x y 1e dx2e dy0e1、2、3、1(5 5 1)xy (C C x)e12124、5、二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1.A 2.B3.B4.D5.A三、计算题三、计算题（每题 8 分，共 48 分）1、解：1eA(

25、0,2,4)n11,0,2n20,1,32xy 2z 4318直线方程为2xyu sin xcos yv e22、解：令D:0 3、解：40 r 1，3fx(x,y)2x6 0fy(x,y)10y 10 0得驻点(3,1)44解：Q A 2 0,AC B2 20 0极小值为f(3,1)88xP e sin y2y,5解：Q excos y2，Q excos y,x2取A(2a,0),OA:y 0,x从02a42原式aOAP excos y2,有yPdx Qdya 0 a22831P ,Q (x1)2x126解：通解为y e P(x)dxdxdxP(x)dxQ(x)edxC ex1(x1)2ex

26、1dxC 4131四、解答题解答题un13n121 limnnun3un(1)n12nsinn2nsinn331、解：（1）令n2 sinn(1)n12nsinn3收敛，n13绝对收敛6n1limxns(x)n1n（2）令2n1sin4nx1s(x)xn11 x，2n1nn12、解：构造曲面1:z 1,上侧高等数学（下）模拟试卷三参考答案一填空题一填空题：（每空 3 分，共 15 分）2210,0,X 1且x 01.；2.a；3.2dx；4.0；5.3或3二选择题：二选择题：（每空 3 分，共 15 分）1.A;2.D;3.A;4.A;5.C.三计算题：三计算题：1.lim1kxx01cosx

27、1(k)kx1kxk4 ek222.limx0sint2dtx32(sincos2x)(sin x)limx03x24 221lnsindy111 excos21dxxxsinx3.四计算题：计算题：1lnsin11 2excotxxdydxyey x 03x0eyy y xy 02;x 0,y 01;1.2.原式x0 xarcsin xx32211 x220dx2 xarcsin x 32；12 1 x232d(1 x2)24153.原式(sin x)cosx dx(sin x)d sin x(sin x)dsin x30202 3a2 x24.原式五解答题五解答题:1213ad(3a2 x

28、2)3 3a2 x203a23a3a23a1。2t46a12ay,t 2,k ,x,y,切线:4x3y 12a 01,法线：3x-4y+6a=0121t355211lnalnb1设f(x)lnx,xb,a,a b 0,ln alnb(ab),b a,aabb3.2212（1）S 20 x432x dx40822 428225364 2Vy4 y3dy4y y320505（2）、高等数学（下）模拟试卷四参考答案一填空题一填空题：（每空 3 分，共 15 分）121x61241.2 x 4；2.3；3.dx；4.3；5.25y。二选择题：二选择题：（每空 3 分，共 15 分）1.C；2.D；3.

29、B；4.B；5.C。三三1.3 1 lim2xx112x x3 3 1512x2x23g lim e2x(2)x11 112x 2x32x 33 21cosx212 lim2x03x262.x03xdy1(sinex)ex3 excotexx3.dxcose四 lim2sin2x2231221d yt2 y ,2tdxt1.22 t322；22.x d sin x x sin xsin x2xdx101 x sin x 2xcos x 2sin x c120241ln(1 x2)2 xarctan xxdx201 x423.242ln22214.五解答题五解答题y 12x312x2,y 36x

30、224x,2x 2sint,201sin2t22cost2costdtt 22。022x1 0,x2为拐点，3 2240、，为凹区间，0，为331.1.凸区间1,x 11211xxf(x1),(2)dxdx(2)lne1x01ex1,x 11ex2.3.（1）、1102ln(1ex)10ln x1(2)1003x324 22x x dx x 303121322（2）、Vxx x4dx x2x5425013102高等数学（下）模拟试卷五参考答案一、填空题一、填空题：（每空 3 分，共 21 分）x2y2x2y2(x,y)x y,y 0dx2yedy22xe1、，、，3、0,4、2，5、01dye

31、eyf(x,y)dx，6、条件收敛，7、y cosxc（c为常数），二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、A，2、D，3、A，4、D，5、BzF(x,y,z)ln z e xy 1三、解：1、令1,2,3 22、所求直线方程的方向向量可取为x 1yz 2 23 7则直线方程为：13、原式四、解：1、令dr3dr4002 4PQ 2y,2y 5yx 3P(x,y)y2 ex,Q(x,y)2xy 5x sin2y,QP)dxdyxy 6原式D2、(1)此级数为交错级数 1111lim 0nnn 1(n 1,2,)4因，n(故原级数收敛 6(2)此级数为正项级数 1(n 1)2n

32、113lim1n3n23n 4故原级数收敛 6因2f(x,y)3x 3 0，fy(x,y)3 y 0得驻点(1,3),(1,3)2x1五、解：、由A fxx(1,3)6,B fxy(1,3)0,C fyy(1,3)1在(1,3)处2AC B 0,，所以在此处无极值 5因A fxx(1,3)6,B fxy(1,3)0,C fyy(1,3)1在(1,3)处2因AC B 0,A 0，所以有极大值f(1,3)152 82、通解y exedx cedx1dx 3xy (x 2)e 8特解为3、1)其对应的齐次方程的特征方程为r2 2r 8 0有两不相等的实根r1 2,r2 42x4xy c e c e1

33、2所以对应的齐次方程的通解为（c1,c2为常数）L L L 32)设其特解y*(x)aex5aex 2ex,a 将其代入原方程得252y*(x)ex5 6故特解3)原方程的通解为y c1ec2e2x4x2ex5L L L 7高等数学（下）模拟试卷六参考答案一、一、填空题填空题：（每空 3 分，共 21 分）122221、(x,y)x1 y x1，2、2，3、2xcos(x y)dx 2ycos(x y)dy,2y x c（c为常数），67，、绝对收敛，、二、选择题：二、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D三、解：31、令F(x,y,z)z 3xyz 5

34、24、2 2，5、20df(r2)rdr012、所求平面方程的法向量可取为2,1,3 2则平面方程为：2(x 1)y 3(z 2)0 63、原式dx(x2 y2)dy001x 4PQ 1yx 3四、解：1、令12P(x,y)x2 y,Q(x,y)(xsin y),1原式(x 0)dx(1siny)dy00 62、令P x,Q y,R z 2PQR()dvxyz 5原式3、(1)此级数为交错级数 1111lim 0因nlnn，lnnln(n 1)(n 2,3 )4故原级数收敛 5(2)此级数为正项级数 1n143lim1n34nsinn3 4故原级数发散 5因2f(x,y)4y y 0f(x,y

35、)6x 6 0yx五、解：1、由，得驻点(1,0),(1,4)34n1sin在(1,0)处A fxx(1,0)6,B fxy(1,0)0,C fyy(1,0)42AC B 0,A 0，所以有极小值f(1,0)2 5因A fxx(1,4)6,B fxy(1,4)0,C fyy(1,4)4在(1,4)处2AC B 0,，所以在此处无极值 7因1dxdxy exedxce 32、通解xy (x1)e 7特解为3、1)对应的齐次方程的特征方程为r25r 6 0,有两不相等的实根r1 2,r2 32x3xy c e c e12所以对应的齐次方程的通解为（c1,c2为常数）L L L 32)设其特解y*(

36、x)(ax b)ex152ax3a2b x1,a,b 24将其代入原方程得15y*(x)(x)ex24L L L 6故特解15x2x3x(x)e3)原方程的通解为y c1e c2e24L L L 7高等数学（下）模拟试卷七参考答案一填空题：（每空一填空题：（每空 3 3 分，共分，共 2424 分）分）2t3y C()y1yt(x,y)|0 x y 25353.yxdx x ln xdy1.2.yx22y e(C1cos2x C2sin 2x)7.88.2y Cx1 x y4.5.6.22二选择题：（每题二选择题：（每题 3 3 分，共分，共 1515 分）分）1.D2.D3.B4.C5.B三求解下列微分方程（每题三求解下列微分方程（每题 7 7 分，共分，共 2121 分）分）zz uz v2x3x22ln(3x4y)y(3x4y)y2(4 分)1.解：xu xv xzz uz v2x24x23ln(3x4y)yu yv yy(3x4y)y2(7 分)四计算下列各题（每题四计算下列各题（每题 1010 分，共分，共 4040 分）分）